Descripción de la propagación
Podemos observar ejemplos de movimiento ondulatorio en la vida diaria: el sonido producido en la laringe de los animales y de los hombres que permite la comunicación entre los individuos de la misma especie, las ondas producidas cuando se lanza una piedra a un estanque, las ondas electromagnéticas producidas por emisoras de radio y televisión, etc.
Comencemos por un fenómeno familiar, la propagación de las ondas en la superficie de un estanque. La superficie de un líquido en equilibrio es plana y horizontal. Supongamos que arrojamos un objeto a un estanque. Cuando el objeto entra en contacto con la superficie del agua se produce una perturbación de su estado físico. Una perturbación de la superficie produce un desplazamiento de todas las moléculas situadas inmediatamente debajo de la superficie. Teniendo en cuenta las fuerzas que actúan sobre los elementos de fluido: peso del fluido situado por encima del nivel de equilibrio y la tensión superficial, se llega a una ecuación diferencial, a partir de la cual se puede calcular la velocidad de propagación de las ondas en la superficie de un fluido. El análisis de esta situación es complicado, pero veremos con detalle una más simple la propagación de las ondas transversales en una cuerda.
Antes de que Hertz realizara sus experimentos para producir por primera vez ondas electromagnéticas, su existencia había sido predicha por Maxwell como resultado de un análisis cuidadoso de las ecuaciones del campo electromagnético. El gran volumen de información que se ha acumulado sobre las ondas electromagnéticas (cómo se producen, propagan, y absorben) ha posibilitado el mundo de las comunicaciones que conocemos hoy en día.
Aunque el mecanismo físico puede ser diferente para los distintos movimientos ondulatorios, todos ellos tienen una característica común, son situaciones producidas en un punto del espacio, que se propagan a través del mismo y se reciben en otro punto.
Consideremos una función Y =f(x), si reemplazamos x por x-a, obtenemos la función Y =f(x-a). La forma de la curva no cambia, los mismos valores se obtienen de Y para valores de x aumentados en a. Si a es una cantidad positiva, la curva se traslada sin cambiar de forma hacia la derecha desde el origen a la posición a. Del mismo modo Y=f(x+a) corresponde a un desplazamiento de la función hacia la izquierda, en la cantidad a.
Si a=vt, donde t es el tiempo, la función "se desplaza" con velocidad v. Y =f(x-vt) describe la propagación de una perturbación representada por la función f(x), sin distorsión, a la largo del eje X, hacia la derecha, con velocidad v.
podemos estar seguros que estamos describiendo un movimiento ondulatorio que se propaga a lo largo del eje X, sin distorsión y con velocidad v.
Podemos comprobar que una solución de esta ecuación diferencial es Y =f(x-vt).
Descripción matemática de una onda.
Por tanto y(x,t)=y0 sen K(x-vt) representa una onda sinusoidal de longitud de onda λ propagándose hacia la derecha según el eje x con velocidad v
También y(x,t)=y0 sen K(x-vt) =y0 sen (Kx-ωt) donde ω=Kv= 2πv/λ es la frecuencia angular de la onda ω=2π/T donde T es el periodo temporal con lo cual la situación física varía en cada punto x. Tenemos λ=vT que relaciona la longitud de onda, el periodo y la velocidad de propagación. Si T es el periodo de oscilación se puede escribir la onda como:
Comencemos por un fenómeno familiar, la propagación de las ondas en la superficie de un estanque. La superficie de un líquido en equilibrio es plana y horizontal. Supongamos que arrojamos un objeto a un estanque. Cuando el objeto entra en contacto con la superficie del agua se produce una perturbación de su estado físico. Una perturbación de la superficie produce un desplazamiento de todas las moléculas situadas inmediatamente debajo de la superficie. Teniendo en cuenta las fuerzas que actúan sobre los elementos de fluido: peso del fluido situado por encima del nivel de equilibrio y la tensión superficial, se llega a una ecuación diferencial, a partir de la cual se puede calcular la velocidad de propagación de las ondas en la superficie de un fluido. El análisis de esta situación es complicado, pero veremos con detalle una más simple la propagación de las ondas transversales en una cuerda.
Antes de que Hertz realizara sus experimentos para producir por primera vez ondas electromagnéticas, su existencia había sido predicha por Maxwell como resultado de un análisis cuidadoso de las ecuaciones del campo electromagnético. El gran volumen de información que se ha acumulado sobre las ondas electromagnéticas (cómo se producen, propagan, y absorben) ha posibilitado el mundo de las comunicaciones que conocemos hoy en día.
Aunque el mecanismo físico puede ser diferente para los distintos movimientos ondulatorios, todos ellos tienen una característica común, son situaciones producidas en un punto del espacio, que se propagan a través del mismo y se reciben en otro punto.
Descripción de la propagación
Consideremos una función Y =f(x), si reemplazamos x por x-a, obtenemos la función Y =f(x-a). La forma de la curva no cambia, los mismos valores se obtienen de Y para valores de x aumentados en a. Si a es una cantidad positiva, la curva se traslada sin cambiar de forma hacia la derecha desde el origen a la posición a. Del mismo modo Y=f(x+a) corresponde a un desplazamiento de la función hacia la izquierda, en la cantidad a.
Si a=vt, donde t es el tiempo, la función "se desplaza" con velocidad v. Y =f(x-vt) describe la propagación de una perturbación representada por la función f(x), sin distorsión, a la largo del eje X, hacia la derecha, con velocidad v.
Ecuación diferencial del movimiento ondulatorio
Cada vez que conozcamos que una propiedad física Y, por ejemplo el desplazamiento de un punto de una cuerda, satisface la ecuación diferencialpodemos estar seguros que estamos describiendo un movimiento ondulatorio que se propaga a lo largo del eje X, sin distorsión y con velocidad v.
Podemos comprobar que una solución de esta ecuación diferencial es Y =f(x-vt).
Clases de movimiento ondulatorios
- El movimiento ondulatorio transversal es aquél en el que la dirección de propagación es perpendicular a la dirección de vibración, tal como sucede en una cuerda, o las ondas electromagnéticas.
- En el movimiento ondulatorio longitudinal coinciden la dirección de vibración y de propagación, un ejemplo es el del sonido.
Descripción matemática de una onda.
Consideremos la función y = f(x) representada gráficamente. Si reemplazamos x por x-a obtenemos la función y = f(x-a). La forma de la curva no cambia, los mismos valores de y se obtiene para valores e x aumentados en a. La curva se ha desplazado sin deformación, hacia la derecha, una cantidad a. Análogamente vemos que y = f(x+a) corresponde a un desplazamiento hacia la izquierda una cantidad a. Esto se observa enhttp://personal.redestb.es/jlabreu/descartes/funciones.htm
Si a = vt donde t es el tiempo obtenemos una curva viajera, esto es y = f(x-a) representa una curva que se mueve hacia la derecha con velocidad v. Del mismo modo y = f(x+a) representa una curva que se mueve hacia la izquierda con velocidad c. Por tanto una expresión del tipo y = f(x±a) es adecuada para describir una situación física que viaja o se propaga en la dirección x. Esto se llama movimiento ondulatorio. La cantidad y(x,t) puede representar distintas magnitudes físicas como la presión de un gas o su densidad, el desplazamiento transversal de una cuerda, el valor de un campo eléctrico E o B.
Ondas armónicas
Un caso muy interesante es aquel en el cual y(x,t) es una función sinusoidal armónica como:
y(x,t)=y0 sen K(x-vt)
Reemplazando el valor de x por x + 2π/K obtenemos para el mismo valor:
y(x + 2π/K -vt)=y0 sen K(x + 2π/K-vt)= y0 sen (Kx -vt+ 2π)= y(x + -vt) 
λ= 2π/K
λ= 2π/K
λ es el periodo espacial de la función, es decir, la curva se repite cada longitud λ. La cantidad λ se denomina longitud de onda.
K= 2π/λ representa el número de longitudes e onda en la distancia 2π y se denominará número de onda. El valor máximo que puede tener la onda y0 se denomina amplitud
En http://surendranath.tripod.com/Twave/Twave01.html podemos cambiar de onda longitudinal a transversal.
También y(x,t)=y0 sen K(x-vt) =y0 sen (Kx-ωt) donde ω=Kv= 2πv/λ es la frecuencia angular de la onda ω=2π/T donde T es el periodo temporal con lo cual la situación física varía en cada punto x. Tenemos λ=vT que relaciona la longitud de onda, el periodo y la velocidad de propagación. Si T es el periodo de oscilación se puede escribir la onda como:
y(x,t)=y0 sen K(x-vt)=
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Es conveniente señalar que la velocidad de propagación depende de la naturaleza de la onda y las características del medio, pero no de su frecuencia
Una onda armónica se puede expresar como un seno o un coseno ya que esta s funciones solo difieren en que el seno está retrasado π/2, la diferencia estará en la fase inicial f0que se incluye en la ecuación de ondas:
y(x,t)=y0 sen K(x- vt + f0 ).
La cantidad f se llama fase de la onda y define el estado de vibración de un punto x en un instante t. Cuando dos puntos tienen en todo instante el mismo estado de vibración se dice que están en fase. Todos los puntos en fase en un instante forman un frente de onda. Se utiliza el término oposición de fase para indicar que dos puntos tienen estados de vibración opuestos. La diferencia de fase entre dos puntos en oposición de fase es π radianes.
En el movimiento ondulatorio tenemos un doble periodo: uno en el tiempo T, y otro en el espacio dado por la longitud de onda λ estando ambos relacionados por λ =vT
ONDAS ARMÓNICAS
Descripción matemática del movimiento ondulatorio armónico: Ondas armónicas
Como hemos visto en la descripción de la propagación, la ecuación y=f(x-vt) describe la propagación de una perturbación, que está representada por la función f(x), sin distorsión, a la largo del eje X, hacia la derecha, con velocidad v.Muchos movimientos que se producen en la naturaleza se explican mediante una ecuación que contiene la función seno o coseno. .
La función y (x, t) que contiene una función seno o coseno se denomina función armónica.
y(x,t)=A· sen k(x-vt)
Las características de esta función de dos variables, son las siguientes:- La función seno es periódica (periódicamente, al aumentar t, varía entre +1 y -1) : se repite cuando el argumento se incrementa en 2p.
¿Qué valor debe tener "k" para la función sea períodica?.
La función y (x, t) se repite cuando x se incrementa en 2p /k. . En efecto al multiplicar por "k" los miembros del argumento, ese término vale 2p:
Si el argumento se incrementa en 2p, la función toma el mismo valor que tenía sin 2p.
Los puntos de una cuerda que vibra (o de cualquier medio perturbado por una onda) están en fase -tiene el mismo valor de la función "y" que es la que da su separación de la posición de equilibrio-, cuando están separados por una distancia igual a: 2p / k. A este valor se le llama longitud de onda l
l=2p / k.El argumento de la función hace que sea una función periódica, de periodo espacial o longitud de onda l =2p / k., cuyos valores se repiten periódicamente a una distancia igual a la longitud de onda.
La magnitud k se denomina número de onda.
- La función y (x,t) describe la posición respecto al punto de equilibrio de un punto del medio, situado a una distancia "x"del origen, por el que se propaga una perturbación que le comunica un Movimiento Vibratorio Armónico Simple
y (x,t)=A·sen (kx-w t)
- A es la amplitud o separación máxima respecto al punto de equilibrio
- La frecuencia angular es :w=k v
( "v" es la velocidad de avance de la onda en el medio por el que se propaga- v=l / T )
- El periodo de la oscilación en cada punto viene dado por T=2p / w,, y la frecuencia por u=1 / T
- La ecuación w=kv, nos permite relacionar el periodo espacial o longitud de onda l y el periodo de la oscilaciónT.
La relación anterior la podemos expresar de forma alternativa por:
l=v /u .Existe una relación de proporcionalidad inversa entre la longitud de onda y la frecuencia. Para una misma velocidad de propagación, a mayor longitud de onda menor es la frecuencia y viceversa.
Doble periodicidad
La ecuación de onda muestra su doble periodicidad: es función de t y x
y(x,t)=A· sen k(x-vt)
- Las posiciones de alejamiento respecto a la posición de equilibrio se repite periódicamente con el paso del tiempo para cualquier punto determinada de la onda.Esto supone que si asigno a la x un valor fijo (constante), la onda es armónica respecto a la otra variable, el tiempo.
Por ejemplo a la distancia x=5, la función será y(x,t)=A· sen k(5-vt) ).Aplicado la ecuación anterior a una onda que se propaga por una una cuerda, supone estudiar los desplazamientos "y" respecto a la posición de equilibrio, de un punto de la cuerda que está a una distancia fija x del origen.En esta animación la cuerda oscila por detrás del marco negro, pero nosotros sólo vemos lo que le ocurre a un punto.Mirando a través de una aberturave situada a una distancia x del origen, vemos oscilar un punto de la cuerda. Sus posiciones se repiten periodicamente.Si representamos los alejamientos,y por los que pasa el punto x, frente a t dan la siguiente gráfica.
- Las posiciones de los puntos de una cuerda se repiten periódicamente a una distancia igual a la longitud de onda de cada punto. Esto lo vemos si "congelamos el tiempo" sacándole una foto al movimineto ondulatorio. En la onda obtenida se ve la posición de cada ounto se repite a una distanca l de él.
La representación de la función y frente a x es como la foto instantánea de una cuerda vibrando. Al tomar la foto hemos detenido el tiempo y "registrado/anotado" las posiciones de la cuerda en ese momento.
Si a la posición de un punto, se le suna l el valor de y se repite.Las posiciones de alejamineto del equilibrio de los puntos de la onda se repiten con una periodicidad igual a una longitud de onda.
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