ONDAS O MOVIMIENTO ONDULATORIO

ENERGÍA TRANSPORTADA POR UN MOVIMIENTO ONDULATORIO ARMÓNICO

Introducción

Es muy importante entender que en un movimiento ondulatorio no hay un flujo de materia sino una propagación de vibración y por lo tanto de energía, desde el punto en que se origina. La energía se transmite de una partícula a la siguiente y así sucesivamente. La onda llega a una partícula del medio y la hace oscilar como si estuviera unida a un muelle.

Toda partícula que oscila tiene una energía que es la suma de la energía cinética y la potencial y la oscilación al arrastrar a las partículas vecinas crea un movimiento ondulatorio que es el reflejo de la propagación de la energía.

Si tiramos una piedra a un estanque la superficie del agua se perturba en el lugar donde cae la piedra. Las partículas de la superficie se hunden, pero cuando la piedra las sobrepasa vuelven a subir con suficiente velocidad para sobresalir por encima y quedar vibrando. Estas partículas arrastran a las vecinas y la perturbación se propaga en forma de movimiento ondulatorio hasta que llega a la orilla del estanque.

No existe ninguna corriente de agua que fluya radialmente desde el punto de impacto hasta la orilla, y los distintos objetos que flotan en el agua oscilan, moviéndose hacia arriba y hacia abajo mientras dura la propagación del movimiento ondulatorio. Las distancias de dichos objetos respecto a la orilla permanecen fijas mientras oscilan arriba y abajo.
En la descripción de la propagación de un pulso y del movimiento ondulatorio armónico, observamos el movimiento de la fuente de ondas representada por un émbolo que se transmite a las partículas adyacentes, de éstas a las siguientes y así sucesivamente. El movimiento ondulatorio se propaga con una velocidad que depende de las características del medio, tal como hemos deducido al describir las ondas transversales en una cuerda.

Energía transportada por un movimiento ondulatorio armónico

En este apartado obtendremos, mediante un razonamiento cualitativo, una expresión para la energía transportada por un movimiento ondulatorio armónico. Las líneas de razonamiento son las siguientes:
Examinaremos primero el concepto de flujo. Pensemos en el símil del agua que fluye por una cañería de sección S y con velocidad constante v. El volumen de agua que recogemos en el extremo de la cañería en la unidad de tiempo, 1 segundo, es igual al producto de la sección de la cañería por la velocidad de la corriente de agua.

Como vemos en la figura, el agua recogida por unidad de tiempo es la contenida en el volumen cilíndrico de color azul, cuya sección es S y cuya longitud es: l= v·t. Si t=1 la longitud es v..

Flujo (volumen de agua recogida en la unidad de tiempo)=S v
En un movimiento ondulatorio la energía fluye desde la fuente de ondas a través del medio con la velocidad de propagación v.

Supongamos que producimos un estampido ("bang") en la boca del tubo y el sonido se propaga haciendo vibrar las partículas del tubo.

Las partícula del medio describen movimientos armónicos simples (MAS) de amplitud A, y frecuencia angular w, cuando en dicho medio se propaga un movimiento ondulatorio armónico.

y (x,t)=A sen k(x-vt)=A sen (kx-w t)

La energía de una partícula se reparte en energía potencial y cinética y su suma se mantiene constante. En el punto medio de la vibración de la partícula toda la energía es cinética y lleva velocidad máxima (v _máx = w A). la energía total de una partícula valdrá en cualquier punto:

La velocidad en cualquier punto separado "y" de la posición de equilibrio será: donde "y" para una distancia "x" del origen de la perturbación vale:

y (x,t)=A sen k(x-vt)=A sen (kx -w t)

La velocidad máxima del punto oscilante será Podemos igualar la energía total a la cinética máxima:
donde m_i es la masa de la partícula, w es la frecuencia angular del MAS y A su amplitud.

El flujo de la energía transportada en la unidad de tiempo P,-potencia- es igual a la energía de todas las partículas contenidas en el volumen cilíndrico de sección A y longitud v·1
y se reparte entre todas las partículas a las que llega en esa unidad de tiempo.

Se define r como la densidad de la sustancia del medio en que se propaga la onda. La masa de todas las partículas, entre paréntesis en la segunda igualdad, es igual al producto de la densidad rpor el volumen del cilindro S v.

Si la energía se propaga en tres dimensiones (como un estampido en el espacio) los conceptos son los mismos y se reparte por todo el volumen en el que se propagó durante 1 segundo: V=4 p r² · v. El volumen es la superficie de la esfera en un instante por el espesor de esa superficie que equivale a lo que recorrió por la onda en un segundo (v). Piensa en la superficie interior de la piel de la naranja y su espesor.

Intensidad

Se define la intensidad del movimiento ondulatorio, como la energía transportada por unidad de área y por unidad de tiempo. Dividiendo la fórmula anterior por el área S obtenemos una expresión general para la intensidad de un movimiento ondulatorio armónico de frecuencia angular w y de amplitud A que se propaga en un medio de densidad r con velocidad v.

La unidad de medida es W/m², pero en el caso del sonido se suele emplear una medida más familiar, el decibel. El nivel de intensidad de un sonido (o de cualquier otro movimiento ondulatorio) se indica conB y se expresa en decibeles (abreviado db), según la definición

donde I₀ es una intensidad de referencia. Para el caso del sonido en el aire el nivel de referencia tomado arbitrariamente es de 10^-12 W/m².

Veamos ahora el significado de la intensidad del movimiento ondulatorio. Supongamos una fuente puntual de ondas situada en un medio homogéneo. El movimiento ondulatorio se propaga en todas las direcciones de forma isótropa. La energía fluye radialmente desde la fuente en todas las direcciones del espacio. La sección S se transforma en el área de una superficie esférica de radio r cuyo centro está en la fuente. El valor de dicha área es: 4 p r2  La energía producida no se acumula y fluye hacia el exterior atravesando un volumen cada vez mayor. Cada vez llega a más masa aunque el espesor de la capa que avanza en un "dt" siempre es el mismo En la misma unidad de tiempo el número de partículas a las que llega es cada vez mayor, a cada una le toca menos energía, y los efectos de la onda se atenúan. La intensidad del movimiento ondulatorio a una distancia r de la fuente emisora valdrá: Siendo P la potencia de la fuente emisora.

La potencia que se transmite no se acumula y va cruzando el medio. Es igual en un punto a una distancia r₁ que en otro a distancia r_2.La frecuencia de la vibración es constante y se propaga con velocidad constante.

De esta igualdad obtenemos que: La amplitud es inversamente proporcional a la distancia

Como sabemos que I vale:

Como la intensidad es proporcional al cuadrado de la amplitud, reemplazando el valor de P de la ecuación de la energía por unidad de tiempo y despejando I, hallamos la relación de la I con la distancia

La intensidad de las ondas propagándose en el espacio tridimensional es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia a la fuente emisora.
A este fenómeno se le llama atenuación de la onda. El origen de esta atenuación está en que al alejarse reparte su energía en una masa mayor de partículas.
La disminución de la amplitud de la oscilación debido a la atenuación hace que los efectos de la onda sean menos observables al aumentar la distancia al foco.
El rayo láser, por su cualidad de no abrirse al avanzar (el rayo mantiene una sección constante), no se atenúa

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Ondas superficiales

Para una onda que se propaga sobre una superficie, (en dos dimensiones) la relación entre la amplitud y la distancia es diferente. En este caso la onda cubre anillos cilíndricos de mayor radio a medida que se aleja del foco.
La masa que se mueve vale en este caso m=r (2p r· v). La frecuencia de la vibración es constante y se propaga con velocidad constante:

De la igualdad obtenemos:

En este caso la intensidad disminuye sólo inversamente con la distancia (no con el cuadrado de la distancia).

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Onda unidireccional

La onda que se propaga unidireccionalmente, como la que viaja en una cuerda, mueve siempre, en el mismo tiempo, la misma cantidad de masa de cuerda aunque este más lejos del origen, cosa que no ocurre en las ondas que se transmiten en tres direcciones del espacio.
Para una cuerda

d m₁= dm ₂ ; A₁ =A₂ ; I₁=I₂

Energía transportada por un movimiento ondulatorio armónico

En este apartado obtendremos, mediante un razonamiento cualitativo, una expresión para la energía transportada por un movimiento ondulatorio armónico. Las líneas de razonamiento son las siguientes:

1. Examinaremos primero el concepto de flujo, para ello pensemos en el símil del agua que fluye por una cañería de sección A, y con velocidad constante v. El volumen de agua que recogemos en el extremo de la cañería en la unidad de tiempo (por segundo) es igual al producto de la sección de la cañería por la velocidad de la corriente de agua.

Como vemos en la figura, en la unidad de tiempo, el agua recogida es la contenida en el volumen cilíndrico de color azul, cuya sección es A y cuya longitud es v.

Flujo (volumen de agua recogida en la unidad de tiempo)=AvEn un movimiento ondulatorio, la energía fluye desde la fuente de ondas a través del medio con la velocidad de propagación v.

2. Las partícula del medio describen movimientos armónicos simples (MAS) de amplitud y₀, y frecuencia angular w , cuando en dicho medio se propaga un movimiento ondulatorio armónico.

Y (x,t)=Y₀·sen k(x-vt)=Y₀·sen (kx-w t)
La energía de una partícula vale

donde m_i, es la masa de la partícula, w es la frecuencia angular del MAS y y₀ es su amplitud.

3. El flujo de energía P, es la energía transportada en la unidad de tiempo, y será igual a la energía de todas las partículas contenidas en el volumen cilíndrico de sección A y longitud v

La masa de todas las partículas, entre paréntesis en la segunda igualdad, es igual al producto de la densidad r por el volumen del cilindro Av.

Intensidad

Se define intensidad del movimiento ondulatorio, como la energía transportada por unidad de área y por unidad de tiempo. Dividiendo la fórmula anterior por el área A obtenemos una expresión general para la intensidad de un movimiento ondulatorio armónico de frecuencia angular w y de amplitud y₀ que se propaga en un medio de densidad r con velocidad v.

La unidad de medida es W/m², aunque para el sonido se suele emplear una medida más familiar, el decibel. El nivel de intensidad de un sonido (o de cualquier otro movimiento ondulatorio) se indica con B y se expresa en decibeles (abreviado db), según la definición

Donde I₀ es una intensidad de referencia. Para el caso del sonido en el aire el nivel de referencia tomado arbitrariamente es de 10^-12 W/m².

Supongamos una fuente puntual de ondas situada en un medio homogéneo. El movimiento ondulatorio se propaga en todas las direcciones de forma isótropa. La energía fluye radialmente desde la fuente en todas las direcciones del espacio. La sección A constante del cilindro que consideramos anteriormente, se transforma en el área de un superficie esférica de radio r cuyo centro está en la fuente. Así pues, la intensidad del movimiento ondulatorio a una distancia r de la fuente emisora vale, Siendo P la potencia de la fuente emisora.

La intensidad es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia a la fuente emisora. Como la intensidad es proporcional al cuadrado de la amplitud, la amplitud del movimiento ondulatorio es inversamente proporcional a dicha distancia.