ONDAS O MOVIMIENTO ONDULATORIO

ONDAS ESTACIONARIAS

Las ondas estacionarias no son ondas de propagación sino los distintos modos de vibración de una cuerda, una membrana, etc. En esta página, vamos a describir los modos de vibración de una cuerda, con la ayuda de una "experiencia" similar a la que se lleva a cabo en el laboratorio.

Modos de vibración de una cuerda sujeta por ambos extremos

Una cuerda horizontal está sujeta por uno de sus extremos, del otro extremo cuelga un platillo en el que se ponen pesas. Una aguja está sujeta al centro de la membrana de un altavoz y por el otro extremo está sujeta a la cuerda. La aguja empieza a vibrar cuando se conecta el altavoz al generador de ondas .

Tenemos un sistema oscilante, la cuerda, y la fuerza oscilante proporcionada por la aguja. Cuando la frecuencia de la fuerza oscilante, la que marca el generador coincide con alguno de los modos de vibración de la cuerda, la amplitud de su vibración se incrementa notablemente, estamos en una situación de resonancia
Nuestra experiencia simulada, difiere de la experiencia en el laboratorio, en que no cambiamos directamente la tensión de la cuerda sino la velocidad de propagación de las ondas. La relación entre una y otra magnitud se explica en la página que estudia las ondas transversales en una cuerda

Donde T es la tensión de la cuerda y m la densidad lineal de la cuerda.
Una vez establecida la velocidad de propagación, o la la tensión de la cuerda, vamos cambiando la frecuencia de la fuerza oscilante para buscar los distintos modos de oscilación de la cuerda.

Una vez que encontramos la frecuencia del primer modo de vibración, se pueden buscar rápidamente los restantes: la frecuencia del segundo modo es el doble que la del modo fundamental, la frecuencia del tercer modo es triple, y así sucesivamente...f1 modo fundamental f n=nf1 armónicos n=2, 3, 4.... Antes de realizar esta "experiencia" se sugiere volver a mirar la página que     describe losmodos de vibración de un sistema de partículas unidas por muelles elásticos.

Explicación de las ondas estacionarias en una cuerda

En este apartado, obtendremos la fórmula que nos da las frecuencias de los modos de vibración de una cuerda de longitud L, sujeta por sus extremos.
Una onda estacionaria se puede considerar como la interferencia de dos movimientos ondulatorios armónicos de la misma amplitud y longitud de onda:

• una incidente, que se propaga de izquierda a derecha

y_i=A·sen(kx-w t)

• y otra relejada, que se propaga de derecha a izquierda.

y_r=A·sen(kx+w t)

La onda estacionaria resultante es
y =y_i+y_r=2A·sen(kx)·cos(w t).
Como vemos esta expresión no corresponde a una onda de propagación, no tiene el término (kx-w t), sino que cada punto de la cuerda vibra con una frecuencia angular w y una amplitud 2A·sen(kx).
Se denominan nodos a los puntos x que tienen una amplitud mínima, 2A·sen(kx)=0, por lo que kx=np con n=1, 2, 3, .... o bien, x= l /2, l, 3l /2, ... La distancia entre dos nodos consecutivos es media longitud de onda, l /2.
Considérese ahora una cuerda de longitud L fija en los extremos. La cuerda tiene un conjunto de modos normales de vibración, cada uno con una frecuencia característica. Las frecuencias se pueden calcular fácilmente.
En primer lugar, los extremos de la cuerda deben de ser nodos ya que estos puntos se encuentran fijos. El primer modo de vibración será aquél en el que la longitud de la cuerda sea igual a media longitud de onda L=l /2. Para el segundo modo de vibración, la longitud de la cuerda será igual a una longitud de onda, L=l. Para el tercer modo, L=3l /2, y así sucesivamente. En consecuencia, las longitudes de onda de los diferentes modos de vibración se puede expresar como

Para hallar las frecuencias empleamos la relación l =vP, o bien l =v/f .

En la experiencia simulada que se ha realizado anteriormente, la cuerda tiene una unidad de longitud, las frecuencias de los distintos modos de vibración son por tanto, v/2, v, 3v/2,2v, ...Siendo v la velocidad de propagación de las ondas en la cuerda.

Ondas superficiales .- .....................................................:http://www.mttmllr.com/sismologia_files/sismologia_clase2.pdf

ONDAS PLANAS .- .............................................:http://grupos.unican.es/electromagnetismo/OLD_WEB/paginas/docencia/4481/web-propag-guiada/pdf/apuntes/tema4-ondasplanas.pdf

ONDAS PLANAS: DIFRACCIÓN

Descripción

Sea b la anchura de la rendija, y consideremos que las infinitas fuentes secundarias de ondas están distribuidas a lo largo de la rendija.

• La diferencia de caminos entre la fuente que pasa por el origen y la que pasa por el punto x es, x·senq .
• La diferencia de caminos entre la fuente situada en el origen y la situada en el otro extremo de la rendija será b·senq .

El estado del punto P es la superposición de infinitos M.A.S. La suma de los infinitos vectores de amplitud infinitesimal produce un arco de circunferencia, cuya cuerda es la resultante A.
El ángulo δ que forma el vector situado en x con la horizontal vale kx·senq

El ángulo a que forma el vector situado en x=b con la horizontal vale, kb·senq =2p b·senq /l . Este ángulo es el mismo que el que subtiende el arco de la circunferencia de radio r.

Calculamos la longitud de la cuerda, es decir, la resultante.


Eliminando el radio r, queda

y como las intensidades son proporcionales a los cuadrados de las amplitudes


El máximo de la difracción se produce cuando el argumento del seno es cero, ya que

Para que dicho argumento sea cero, el ángulo q debe ser cero. Tenemos un máximo de intensidad en el origen, en la dirección perpendicular al plano de la rendija.
Mínimos de intensidad
Los mínimos de intensidad se producen cuando el argumento del seno es un múltiplo entero de p, es decir, cuando

o bien, cuando

b·senq =nl (n=1, 2, 3...)    mínimos de intensidad

Esta es la fórmula que describe el fenómeno de la difracción Fraunhofer producido por una rendija estrecha.
Máximos secundarios
Los máximos y mínimos se calculan derivando la fórmula de la intensidad respecto de x=πb·senq /l

• Cuando senx/x =0 tenemos un mínimo de intensidad, pues I=0
• Cuando xcosx-senx=0  o bien, cuando x=tanx tenemos un máximo de intensidad

Por ejemplo cuando x=0, pero también para otros valores de x que son las raíces de la ecuación trascendente x=tanx. Estas raíces se pueden calcular numéricamente o gráficamente.

Como observamos en la gráfica los máximos secundarios ocurren aproximadamente para x_n≈(2n+1)π/2 donde n=±1, ±2, ±3…

teniendo en cuenta que sen(x_n)=1.  La intensidad debida a la difracción en la dirección correspondiente a los máximos secundarios es aproximadamente igual a

que como vemos decrece rápidamente a medida que se incrementa n.

Actividades

Se introduce

• La anchura de la rendija b, actuando sobre el dedo de la barra de desplazamiento titulada Anchura rendija.
• La longitud de onda l, actuando sobre el dedo de la barra de desplazamiento titulada longitud onda.
• el número de fuentes secundarias, en el control de selección titulado nº de fuentes de ondas, que situamos en la rendija. Cuanto mayor sea el número de fuentes secundarias mejor se reproduce la difracción producida por la rendija, mayor es también el tiempo que emplea el ordenador en mostrar los resultados.

Se pulsa el botón titulado Dibuja
Se muestra las ondas planas incidentes sobre una rejilla y las ondas difractadas como si fuese una fotografía tomada de una cubeta de ondas..
A continuación, se muestra la intensidad en la posición x=200, codificada en escala de grises. La máxima intensidad en color blanco, la intensidad cero en color negro. Finalmente, la representación gráfica de la intensidad en dicha posición, en el borde derecho de la "cubeta de ondas"
Ejemplo:

Se introduce Longitud de onda λ=10 Anchura de la rendija b=40 Se seleccionan 20 fuentes secundarias

Se observa el primer mínimo de difracción en la posición y=50. Primero, calculamos el ángulo tanθ=50/200, y luego, comprobamos que b·senθ≈λ
Se ha de tener en cuenta que en la difracción Fraunhofer, el observador se encuentra a una distancia grande en comparación con la anchura de la rendija y esta condición no se cumple en esta simulación. Su objetivo no es el cálculo de los mínimos de difracción sino la de mostrar que la difracción no es un fenómeno cualitativamente distinto de la interferencia.