ONDAS O MOVIMIENTO ONDULATORIO

ONDAS ESTACIONARIAS

Explicación teórica de las ondas estacionarias en una cuerda sujeta por los extremos

Vamos a deducir la fórmula que da las frecuencias de los modos de vibración (el sonido) de una cuerda de longitud L fija por sus extremos.
Una onda estacionaria se puede considerar como la interferencia de dos ondas de la misma amplitud y longitud de onda: una incidente que se propaga de izquierda a derecha y la otra que resulta de reflejarse esta en el extremo y se propaga de derecha a izquierda.

y₁=A sen (kx -w t) de izquierda a derecha

y₂=A sen (kx +w t) de derecha a izquierda

La onda estacionaria resultante es la suma de las dos:

y_resultante=y ₁+ y₂ =2 A sen(wt).

El extremo por el que está sujeta la cuerda no vibra nunca y la función suma en ese punto valdrá cero (durante todo el tiempo). Para que la función anterior sume cero la única justificación es que las amplitudes se inviertan en el punto de rebote de la onda (el punto fijo) y que una valga +A y la otra -A. Sumando las funciones y sabiendo que:

sen a - sen b=2 sen(a-b) /2 ·cos (a+b)/ 2

obtenemos (compruébalo):

y_resultante=y ₁+ y₂=2A sen(kx) cos(w t).

Como vemos esta no es una onda de propagación, no tiene el término (kx-w t), sino que cada punto de la cuerda vibra con una frecuencia angular w y con una amplitud 2A sen(kx).
La amplitud puede alcanzar distintos valores según la posición, x, del punto. Algunos puntos tendrán amplitud cero y no vibrarán nunca (puntos estacionarios ): son los llamados nodos.
Los puntos que pueden alcanzar un máximo de amplitud igual a "2A" sólo pueden hacerlo cada cierto tiempo, cuando cos(w t) sea igual a 1.
Se llaman nodos a los puntos x que tienen una amplitud mínima, 2A sen(kx)=0, por lo que kx=np siendo n =1, 2, 3, ....(recuerda que k=2p/l), o bien, x = l/2, l, 3 l/2, ... La distancia entre dos nodos consecutivos es media longitud de onda, l/2.
Supongamos ahora una cuerda de longitud L fija en los extremos. La cuerda tiene un conjunto de modos normales de vibración, cada uno con una frecuencia característica. Las frecuencias se pueden calcular fácilmente.
En primer lugar, los extremos de la cuerda deben de ser nodos ya que estos puntos se encuentran fijos. El primer modo de vibración será aquel en el que la longitud de la cuerda sea igual a media longitud de onda L= l/2.
Para el segundo modo de vibración -un nodo en el centro-, la longitud de la cuerda será igual a una longitud de onda, L=l.
Para el tercer modo, L = 3l/2, y así sucesivamente.
Podemos proceder al revés y variar las longitudes de onda, manteniendo la longitud de la cuerda fija, para obtener diferentes modos de vibración.
Se producirán nodos para una cuerda de longitud "L" cuando la l de la onda tenga los valores dados por la fórmula:

Como la frecuencia y la longitud de onda están realcionadas con la velocidad de propagación, para hallar las frecuencias que puede tener la onda empleamos la relación l =vT, o bien l =v/u.

En una cuerda de longitud "L" obtenemos un sonido de frecuencia fundamental dada por la fórmula al sustituir "n" por 1. También se pueden obtener los armónicos de las frecuencias dadas por la fórmula anterior para n =1,2,3
La velocidad de propagacion v de la onda está relacionada con la tensión que se aplique a la cuerda y con el tipo de cuerda. Ver velocidad de propagación de odas transversales

La fórmula que indica que frecuencia debe tener una onda que rebota entre los extremos de una cuerda de longitud L y masa m atada por los extremos y tensada con una fuerza T es:

EFECTO DOPPLER Teoría En primer lugar vamos a observar el fenómeno. Después obtendremos la fórmula que relaciona la frecuencia de las ondas observadas con la de las ondas emitidas, la velocidad de propagación de las ondas vs, la velocidad del emisor vE y la velocidad del observador vO. Consideraremos que el emisor produce ondas de forma continua, pero solamente representaremos los sucesivos frentes de ondas, (circunferencias centradas en el emisor), separados por un periodo (tiempo T), de modo semejante a las que se pueden observar en la experiencia con la cubeta de ondas. Vamos a establecer que la velocidad de propagación es la unidad vs =1 y que el periodo de las ondas es también la unidad, T=1, de modo que los sucesivos frentes de onda se desplazan una unidad de longitud en el tiempo de un periodo, es decir, la longitud de las ondas emitidas es una unidad, l =vsT . El observador en reposo Empezamos por el caso más sencillo: el observador está en reposo, a la izquierda o a la derecha del emisor de ondas. Vamos a estudiar diversas situaciones dependiendo de la velocidad del emisor. El emisor está en reposo (vE=0) Se forman frentes de onda, que son circunferencias separadas un periodo de tiempo P, centradas en el emisor. El radio de cada circunferencia es igual al producto de la velocidad de propagación por el tiempo transcurrido desde que fué emitido.En el estudio de las ondas armónicas establecimos la relación entre la longitud de onda y el periodo, l =vsT . El observador mide la misma longitud de onda, igual a la distancia entre dos frentes de onda consecutivos. La longitud de onda medida por el emisor y por el observador es la misma, una unidad, l E=l O=1. Consideraremos primero el caso en el que la velocidad del emisor vE es menor que la velocidad de propagación de las ondas en el medio vs (vE< 1). Si el movimiento del emisor va de izquierda a derecha (velocidades positivas), la longitud de onda medida por el observador situado a la derecha es más pequeña que la unidad, y la longitud de onda medida por el observador situado a la izquierda es mayor que la unidad. Observador situado a la derecha del emisor l O < l E Observador situado a la izquierda del emisor l O > l E Como l =vT, o bien l =v/u, hay una relación inversa entre longitud de onda y frecuencia. Observador situado a la derecha del emisor u O>u E La longitud de onda que ve el observador es más corta que la que vería si la fuente no se moviera. Sustituyendo en la frecuencia del observador la nueva longitud de onda obtenemos la fórmula que relaciona la frecuencia de la onda en el emisor y la que detecta el observador: (El signo del denominador debe ser + cuando el emisor se aleje del observador). Observador situado a la izquierda del emisor u O< u E Si el emisor emite ondas sonoras, el sonido escuchado por el observador situado a la derecha del emisor, será más agudo y el sonido escuchado por el observador situado a la izquierda será más grave. En otras palabras, cuando el emisor se acerca al observador éste escucha un sonido más agudo, y cuando el emisor se aleja del observador éste escucha un sonido más grave. Si pulsamos el botón titulado Pausa, la imagen congelada de los sucesivos frentes de onda puede ser fácilmente reproducida con la regla y el compás, sobre todo en el caso en que la velocidad del emisor seavE=0´5. En un periodo de tiempo, el frente de ondas se desplaza una longitud de onda (una unidad) mientras que el emisor se desplaza en el mismo tiempo media longitud de onda (media unidad). Pulsando sucesivamente en el botón titulado Paso, podemos medir el periodo o intervalo de tiempo que transcurre para el observador en el paso de dos frentes de ondas consecutivos. La inversa de las cantidades medidas nos dará las frecuencias de las ondas para el observador situado a la izquierda del emisor y para el situado a su derecha. El emisor está en movimiento (vE=vs) Cuando la velocidad del emisor vE sea igual que la velocidad de propagación de las ondas en el medio vs (vE=1), la longitud de onda medida por el observador situado a la derecha del emisor es cero. Si el emisor es un avión que va a la velocidad del sonido los sucesivos frentes de las ondas emitidas se agrupan en la punta o morro del avión. Cuando el emisor está en movimiento (vE> vs) Cuando la velocidad del emisor vE es mayor que la velocidad de propagación de las ondas en el medio vs (vE> 1), el movimiento ondulatorio resultante es entonces una onda cónica (la envolvente de los sucesivos frentes de onda es un cono con el vértice en el emisor). Esta onda se llama onda de Mach u onda de choque y no es más que el sonido repentino y violento que oímos cuando un avión supersónico pasa cerca de nosotros. Estas ondas se observan también en la estela que dejan los botes que se mueven con mayor velocidad que las ondas superficiales sobre el agua. Introducimos las velocidades del emisor y del observador en sus controles de edición respectivos. Las cantidades introducidas deben ser menores que la unidad en valor absoluto, positivas en el caso del emisor y positivas o negativas en el caso del observador. Podemos comprobar que el efecto Doppler se debe al movimiento relativo del observador con respecto al emisor, haciendo que el observador y el emisor se muevan con la misma velocidad y en la misma dirección. Medimos el tiempo que tardan en pasar dos frentes de ondas consecutivos, y lo comparamos con el periodo de las ondas emitidas (una unidad de tiempo). ¿Coinciden ambas cantidades?. Para medir los intervalos de tiempo, utiliza los botones Pausa/Continua y Paso. De la observación del movimiento del emisor, del observador y de los sucesivos frentes de onda vamos a obtener la fórmula que describe el efecto Doppler. Supongamos dos señales que pueden corresponder a dos picos consecutivos de una onda armónica, separados un periodo T. En el instante inicial 0 en el que se emite la primer señal, el emisor y el observador están separados una distancia d desconocida, que no afecta al fenómeno en cuestión. La primera señal es recibida por el observador en el instante t tal como indica el trazo grueso negro en la parte superior de la figura (desde que se emite hasta que se recibe). La ecuación correspondiente será: vst=d+vOt La segunda señal se emite en el instante T , y se recibe en el instante t’. En el intervalo de tiempo entre la primera y la segunda señal, el emisor se desplaza vET . La segunda señal recorre desde que se emite hasta que se recibe, el camino señalado en trazo grueso negro en la parte inferior de la figura. La ecuación correspondiente será: d-vET + vOt’=vs(t’- T ) Eliminando la cantidad desconocida d entre las dos ecuaciones relacionamos el periodo T ’=t’-t de las ondas observadas con el periodo T de las ondas emitidas. Teniendo en cuenta que la frecuencia es la inversa del periodo, obtenemos la relación entre frecuencias o fórmula del efecto Doppler. ESPECTRO ELECTROMAGNÉTICO Las ondas electromagnéticas se agrupan bajo distintas denominaciones según su frecuencia, aunque no existe un límte muy presiso para cada grupo. Además, una misma fuente de ondas electromagfnéticas puede generar al mismo tiempo ondas de varios tipos.  Ondas de radio: son las utilizadas en telecomunicaciones e incluyen las ondas de radio y televisión. Su frecuencia oscila desde unos pocos hercios hasta mil millones de hercios. Se originan en la oscilación de la carga eléctrica en las antenas emisoras (dipolo radiantes). Microondas: Se utilizan en las comunicaciones del radar o la banda UHF ( Ultra High Frecuency) y en los hornos de las cocinas. Su frecuencia va desde los milmillones de hercios hasta casi el billon.Se producen en oscilaciones dentro de un aparato llamado magnetrón. El magnetrón es una cavidad resonante formada por dos imanes de disco en los extremos, donde los electrones emitidos por un cátodo son acelerados originado los campos electromagnéticos oscilantes de la frecuencia de microondas. Infrarrojos: Son emitidos por los cuerpos calientes. Los transitos energéticos implicados en rotaciones y vibraciones de las moléculas caen dentro de este rango de frecuencias. Los visores nocturnos detectan la radiación emitida por los cuerpos a una temperatura de 37 º .Sus frecuencias van desde 10 11Hz a 4·1014Hz. Nuestra piel también detecta el calor y por lo tanto las radiaciones infrarrojas. Luz visible: Incluye una franja estrecha de frecuencias, los humanos tenemos unos sensores para detectarla ( los ojos, retina, conos y bastones). Se originan en la aceleración de los electrones en los tránsitos energéticos entre órbitas permitidas. Entre 4·1014Hz y 8·1014Hz Ultravioleta: Comprende de 8·1014Hz a 1·1017Hz. Son producidas por saltos de electrones en átomos y molécualas excitados. Tiene el rango de energía que interviene en las reacciones químicas. El sol es una fuente poderosa de UVA ( rayos ultravioleta) los cuales al interaccionar con la atmósfera exterior la ionizan creando la ionosfera. Los ultravioleta puden destruir la vida y se emplean para esterilizar. Nuestra piel detecta la radiación ultravioleta y nuestro organismo se pone a fabricar melanina para protegernos de la radiación. La capa de ozono nos proteje de los UVA. Rayos X: Son producidos por electrones que saltan de órbitas internas en átomos pesados. Sus frecuencias van de 1'1·1017Hz a 1,1·1019Hz. Son peligrosos para la vida: una exposición prolongada produce cancer. Rayos gamma: comprenden frecuencias mayores de 1·1019Hz. Se origina en los procesos de estabilización en el núcleo del átomo después de emisiones radiactivas. Sus radiación es muy peligrosa para los seres vivos.

Una vez encontrada la frecuencia del primer modo de vibración (frecuencia fundamental o primer armónico), se pueden encontrar rápidamente los restantes armónicos: la frecuencia del segundo modo es el doble que la del modo fundamental, la frecuencia del tercer modo es triple, y así sucesivamente...u 1 Modo fundamental. u n =nu 1 Armónicos n=2, 3, 4....