Temas de física

Gravitación

Contenido del artículo La observación de los planetas El aporte decisivo  de Newton Determinación de la constante G  Propiedades de las órbitas no circulares La gravedad y los cuerpos esféricos grandes Como varía g con la altura

Hay muchos tipos de fuerzas que nos rodean, la de rozamiento, la resistencia fluida, las que se desarrollan en una cuerda o cable cuando se somete a tracción, la de dos cuerpos que se empujan por contacto etc. Un caso especial de esas fuerzas que nos rodean, y podemos palpar con claridad es la gravedad. La gravedad es la manifestación de una de las fuerzas fundamentales y gobierna no solo la caída de una manzana, si no también, los majestuosos movimientos orbitales de la luna alrededor de la Tierra, los de la Tierra y los planetas alrededor del sol y el de las estrellas en su viaje por la galaxia.

La observación de los planetas

La fascinación de los hombres de todas las épocas por observar el firmamento de noche fue acumulando, a través de mas de un milenio, la información que condujo a la brillante formulación por Newton de la ley de la gravitación universal.

Los primeros observadores del cielo nocturno separaron los puntos brillantes del firmamento en dos grupos: las llamadas estrellas fijas, que se movían aparentemente en círculos perfectos alrededor de la Tierra; y los "vagabundos" (planetas), que parecían moverse en patrones complejos y erráticos por el cielo.

En el siglo II dC, Tolomeo dio una mas detallada formulación de las nociones que se tenían hasta ese momento, y para explicar los diferentes perfiles de movimiento de los planetas, concibió un modelo esférico donde estos se movían en una trayectoria circular propia (epiciclos) y a la vez giraban en círculos alrededor de la Tierra (deferentes). Un esquema de la teoría de Tolomeo, llevada solamente hasta el planeta Marte (aunque para la época de Tolomeo se sabía ya de Júpiter y Saturno), se muestra en la figura 1. Esta teoría, aunque errada como se demostró después, explicó el comportamiento de los planetas y estuvo vigente por 1400 años. 

Figura 1.

En 1543 Nicolás Copérnico cambia el cuadro geocéntrico (la Tierra en el centro) e introduce un nuevo marco heliocéntrico (el sol en el centro), Copérnico sienta las bases para una interpretación mas simple, pero desafortunadamente sigue insistiendo en las órbitas circulares y como se observaba que el verdadero movimiento de los planetas no era de acuerdo a círculos, se mantuvo el uso de los epiciclos para explicarlo. Las estrellas fijas, en su teoría, ya no estaban embebidas en una esfera, su aparente inmovilidad se explicaba por la gran distancia. El uso de los epiciclos significaba que la hipótesis de Copérnico no aportaba cambios sustanciales al modelo anterior y sus trabajos no fueron aceptados por casi un siglo.

Durante este período de transición, las tareas de perfeccionamiento de los instrumentos de observación llevados a cabo por Tycho Brahe al final de siglo XVI dieron un conocimiento de las órbitas de los planetas con una mayor exactitud.

Al morir Brahe en 1601, su asistente, Johannes Kepler, hereda los datos acumulados por Brahe, y después de 20 años de análisis de estos, buscando regularidades matemáticas, llega a la conclusión de que el modelo de órbitas circulares, tan aceptado como parte de la simetría de las leyes naturales, estaba errado y las sustituye por órbitas elípticas.

Sus trabajos los resume en tres leyes, conocidas como Leyes de Kepler:
1.- Los planetas se mueven en una trayectoria plana y elíptica con el sol en uno de los focos de la elipse.

2.- Durante intervalos de tiempo iguales, el vector radio desde el sol al planeta barre áreas iguales.

3.- Si T es el tiempo que tarda un planeta en hacer una revolución completa alrededor del sol, y R es la mitad del radio mayor de la elipse entonces:

T²/ R³ = C       (ecuación 1)

El valor de C es constante e igual para todos los planetas. 

El aporte decisivo de Newton.

Newton comprendió la importancia de las leyes de Kepler y debido al hecho de que los planetas no se movían en linea recta se dio cuenta que estaban sujetos a una fuerza, llegando a la conclusión de que esta fuerza estaba dirigida del planeta al sol. Trabajando en el tema, concluyó también, que las trayectorias elípticas descritas por Kepler eran la consecuencia de una fuerza central inversamente cuadrática.
Magistralmente mostró que las trayectorias de una masa bajo la influencia de esta fuerza eran equivalentes a las curvas producida cuando se secciona un cono (figura 2). Las secciones de cono son las curvas que se obtienen cuando un cono se corta con un plano. Si el plano corta al cono paralelo a la base resulta un círculo, si el plano se inclina un poco resulta una elipse. Cuando el plano corta el cono paralelo a la inclinación de la pared se tiene una parábola y finalmente, si el plano tiene una inclinación mas pronunciada que el cono, una hipérbola. Las órbitas de los planetas descrita por Kepler son elipses cerradas, pero hay cuerpos celestes que se mueven en trayectorias que concuerdan con los otros perfiles.

Al postular la ley de la fuerza central inversamente cuadrática, Newton la estableció matemáticamente como igual a k/r² donde k es una constante y r la distancia entre los centros de los cuerpos. Haciendo uso de sus propias leyes relacionadas con las fuerzas, conocidas como la Tres Leyes de Newton, llegó a la conclusión de que la fuerza que interactúa entre un cuerpo de masa m y otro de masa M  separadas por una distancia r respondía a la expresión:

Figura 2

(ecuación 2)

Donde G es una constante. Esta expresión de conoce como la Ley de Newton de la gravitación universal.

Determinación de la constante G

La constante G debe ser determinada experimentalmente ya que caracteriza la magnitud de la fuerza de la gravedad. Para el cálculo de la constante G resulta necesario conocer los valores de las masas m y M, por ese motivo no se puede medir usando objetos astronómicos como la luna o el sol cuyas masas son desconocidas.

El valor de G fue primeramente determinado por Henry Cavendish en 1798 usando un ingenioso montaje (Figura 3) de dos masas esféricas iguales m, colocadas en los externos de una varilla de masa despreciable. La varilla con las masas fue colgada en su centro con una fibra de cuarzo muy fina, de manera que el conjunto quedaba en posición horizontal y podía rotar muy fácilmente torciendo la fibra de cuarzo. Luego, Cavendish colocó otras dos masas esféricas grandes M a los lados de las masas de los extremos m, a una distancia d, de forma que la atracción entre m y Mhiciera rotar el conjunto y torciera la fibra de cuarzo. Usando un principio óptico para amplificar el pequeño giro, se pudo determinar con precisión el ángulo de torcimiento de la fibra, y como se conoce el valor de las masas y previamente se había determinado la resistencia a la torsión de la fibra, la constante G pudo ser determinada.

Figura 3 Esquema del aparato de Cavendish.   Figura 4. Figura 5.

Las mediciones recientes nos dejan el valor de:

G = 6.673 x 10^-11 N m²/Kg²

Propiedades de las órbitas no circulares

Vamos a dar a continuación algunas características de las órbitas de los planetas, es decir las órbitas elípticas anotadas por Kepler.

Usemos para ello la figura 4, en ella están señaladas las principales cotas geométricas de una orbita elíptica: el planeta se mueve en una trayectoria de elipse trazada en azul, a una distancia variable al sol r  y quien está fijo en uno de los focos de la elipse. Cuando el planeta está lo mas cerca posible del sol se dice que está en su perihelio, r es mínimo, y cuando está mas lejos se le llama afelio, r es máximo. Hay además dos medidas muy características que se usan en los cálculos, el semieje mayor y el semieje menor, que son las mitades de los ejes, mayor y menor de la elipse respectivamente y se muestran en el esquema. El tercer postulado de Kepler implica el semieje mayor.

Otro valor importante es la excentricidad, e,  que da idea de cuan alargada es la órbita y es proporcional a la diferencia entre r_max y  r_min. Para el caso de que r_max =  r_min estamos en presencia de una órbita circular. Si llamamos al semieje mayor, a, su cálculo responde a la expresión:

 semieje mayor = a = ½(r_min - r_max)         (ecuación 3)

Y la excentricidad:
 

(ecuación 4)

Decía Kepler en su segundo postulado que durante intervalos de tiempo iguales, el vector radio, r, desde el sol al planeta barre áreas iguales. Para que este postulado sea cierto resulta necesario que el planeta se mueva a distintas velocidades para las distintas posiciones dentro de su órbita. Usemos la figura 5 para aclarar.

Observe la figura 5, en ella se muestra como debe comportarse la velocidad de rotación del planeta para que las áreas barridas en un mismo tiempo sean iguales a distancias r muy diferentes. Esto se desprende de la conservación del impulso del movimiento. Es el mismo caso típico de la bailarina de ballet, que acecelera su rotación cuando cierra arriba los brazos y la disminuye cuando los abre a los lados del cuerpo.

La gravedad y los cuerpos esféricos grandes

Hasta ahora hemos considerado los cuerpos que interactúan  gravitacionalmente como cuerpos puntuales, y para el caso del Sistema Solar tratado, esta consideración es muy aproximada, aunque los planetas y el sol sean enormes, ya que las distancias entre ellos son muy grandes comparadas con su tamaño. Pero ¿como resulta para el caso de la clásica manzana que cae al suelo desde un árbol?. Para la manzana la Tierra es verdaderamente extendida.

Aunque en apariencia, el hecho de que la Tierra sea enorme en relación a la manzana pueda resultar en un compleja interacción, no hay nada mas lejos de eso. Los experimentos han demostrado que cuando un cuerpo es esférico y tiene una distribución de masa simétrica se puede considerar su masa total como concentrada en un punto en su centro. Esta afirmación es la que nos permite determinar la aceleración, g, debido a la gravedad en la superficie de la Tierra,. De hecho, para cualquier objeto esférico de masa M y radio R, cuya densidad cambie solo con la distancia desde el centro, la aceleración debido a la gravedad en la superficie es:

(ecuación 5)

 
Muchos de los cuerpos con los que tenemos que trabajar desde el punto de vista gravitacional, tal como la Tierra, son al menos, aproximadamente esféricos y simétricos. Para tales cuerpos lo importante es que la densidad de masa dependa solamente de su distancia al origen del sistema esférico. La densidad de masa en el centro puede ser mayor o menor que en la superficie, pero dada una distancia radial desde el centro, la densidad de masa debe ser la misma. La Tierra casi cumple con ese requisito, se acepta que tiene un núcleo mayoritariamente de hierro que es mas denso que las capas externas. Tiene además una pequeña desviación de la forma esférica que se debe a su rotación, lo que la hace algo achatada en los polos y abultada en el ecuador; cuando se hace necesario tener en cuenta las pequeñas desviaciones en el comportamiento de la gravedad en la superficie, hay que sumar a estos factores el hecho de que en ciertas zonas hay densidades de masa locales mayores o menores. Estos factores de desviación no tienen importancia alguna cuando relacionamos la Tierra dentro del Sistema Solar, las distancias "borran" el efecto. Pero para el caso de la manzana que cae, es decir de otro cuerpo pequeño en sus cercanías estas desviaciones aunque muy pequeñas pueden notarse. 

Figura 6. Una masa puntual afuera de la Tierra   Figura 7. Una masa puntual en el interior de la Tierra.

Vamos a hacer ahora un resumen de las dos diferentes situaciones que pueden presentarse cuando se habla de objetos grandes y cercanos a otro objeto de masa que se puede considerar puntual en relación a la del objeto grande.

1.- Supongamos que un punto de masas está afuera de una distribución esférica de materia. La distribución de la masa es esférica y simétrica, de modo que la densidad de masa dependa solo de la distancia al centro geométrico. Entonces, como ya vimos, la fuerza que experimenta el punto de masa es idéntico a la fuerza que se tiene si toda la masa del cuerpo esférico estuviera concentrada en su centro.

2.- Supongamos ahora que el cuerpo de masa puntual está en algún lugar dentro de una capa fina y esférica de materia de densidad constante, algo equivalente al interior de una esfera hueca de paredes muy finas. En este caso no hay  fuerza gravitacional sobre la masa puntual. Esta conclusión se puede extender para el caso de que capa de la esfera hueca sea gruesa, siempre y cuando la distribución de la densidad de la capa dependa solo de la distancia al centro.

Estos dos postulados muestran entonces, que la fuerza gravitacional de un punto de masa dentro de la Tierra, es aquella fuerza que se obtendría debido a una masa M' concentrada en su centro, pero, M' es solamente la masa del material contenido dentro del radio r, que es la distancia del punto de masa al centro de la Tierra.

En la figura 6 se ha representado este caso, el punto m está dentro de la Tierra separado de su centro una distancia r, la fuerza ejercida sobre la masa puntual m y dirigida al centro de la Tierra es equivalente a la que produce la masa M' , que se calcula fácilmente como el producto del volumen de la esfera de radio r por la densidad del material.

Para que se cumpla lo que decimos, la concha esférica de material que está por fuera de la masa puntual no debe producir ningún efecto. Remitámonos a la figura 7.

En la figura 7 se presenta un esquema de un punto de masa m colocado dentro de una esfera hueca con el espesor de pared τ. 

Vea que el punto de masa m está colocado fuera del centro de la esfera hueca. Consideremos ahora los dos conos que se forman a partir del punto de masa con un ángulo en el vértice ѳ, en particular el efecto gravitacional que las dos secciones circulares que los conos generan en la esfera hueca. El punto de masa esta a la distancia r₁ de cada punto de la sección de área A₁ de la derecha, y a la distancia r₂ del área A₂ de la izquierda. La concha esférica es tan fina que las áreas no cambian cuando se va de la superficie interior a la exterior. Si la densidad del material de la esfera es ρ y su grueso es τ, entonces la fuerza de atracción del punto de masa al lado derecho es:

(ecuación 6)

y la fuerza que atrae al punto de masa a la izquierda es:

(ecuación 7)

Si no fijamos las áreas A₁ y  A₂ son proporcionales a los radios r₁  y  r₂ por lo que se cumple la condición:

(ecuación 8)

  
Esto significa que las dos fuerzas son independientes de la distancia del punto de masa a la sección circular, y como las fuerzas tiran en direcciones opuestas se cancelan mutuamente no importa el valor de ѳ . En efecto, cuando el punto de masa está mas cerca de un lado, el factor de la distancia al cuadrado incrementa la fuerza de atracción, pero la cantidad de masa disminuye en la misma proporción (cuadrático) y las fuerzas con que cada sección tira del punto de masa m son iguales y se cancelan.

Como varía g con la altura

Del hecho de que la fuerza de la gravedad disminuya con la distancia entre los centros de masa de los cuerpos que interactúan, nos indica que también el valor de la aceleración de la gravedad g debe descender a medida que aumentamos la altura sobre la superficie de la Tierra. Suponga que medimos una altura h partiendo del nivel del mar y que el radio de la Tierra a nivel del mar es R_t . Sustituyendo en la ecuación 5 para los casos de  R_t  (a nivel del mar)  y [ R_t + h]  (a la altura h) obtendremos ambos valores y podremos tener la diferencia. Calculando diferentes valores del cambio de g con respecto a la altura se puede llegar a la conclusión de que la disminución de g es casi lineal con el cambio de altura en las inmediaciones de la superficie de la Tierra, y muy aproximadamente responde a la relación:

(ecuación 9)

  
Donde g(h) es la aceleración de la gravedad a un altura h y g(0) es la aceleración a la altura 0, esto es, a nivel del mar.

Para estimar la magnitud del efecto, podemos calcular usando la ecuación 9 el valor de g en el pico del monte Everest que tiene 8848 m de altura, se verá que tiene un valor de 99.74% con respecto al nivel del mar.

El valor de g también se ve afectado por la rotación de la Tierra. Su efecto es mayor en el ecuador, donde g = 99.54% del valor que tendría si la Tierra no rotara y va disminuyendo a medida que cambia la latitud, hasta no estar presente en los polos.

Finalmente, la Tierra no es una esfera perfecta, como ya se dijo, y además su densidad no es constante regionalmente por lo que la ecuación 5 es solo una aproximación para el planeta. Los cambios mínimos que se producen de g, medidos con exactitud, son cruciales en los estudios geológicas, y puede llevar al hallazgo de menas minerales importantes.

Impulso y cantidad de movimiento

Contenido del artículo Cantidad de movimiento Conservación de la cantidad de movimiento Impulso

Todos tenemos un concepto coloquial del significado de la palabra impulso, por ejemplo, si queremos saltar una distancia para vencer una corriente de agua, sabemos que lo lograremos mejor si "cogemos impulso" antes del salto. También en todas las situaciones donde una persona quiere derribar una puerta, se separa de ella y "coge impulso" para lograrlo. Estas apreciaciones coloquiales de la palabra corresponden mejor al concepto físico de cantidad de movimiento, pero no están muy lejos del concepto físico de impulso que trataremos en este artículo. El impulso y la cantidad de movimiento están estrechamente relacionados aunque son conceptualmente diferentes.

Cantidad de movimiento

Aquellas magnitudes que se conservan constantes durante algún proceso de interacción, son muy útiles para la determinación de las cantidades físicas involucradas en el proceso antes y después de realizado, como es el caso de la ley de la conservación de la energía o el teorema trabajo-energía. Ahora identificaremos otra cantidad que se conserva en los sistemas aislados: la cantidad de movimiento. Como el nombre lo indica este concepto es otra magnitud derivada del movimiento de los cuerpos y está relacionado con la segunda ley de Newton.

La segunda ley de Newton (F = ma) mantiene su certeza aun en el caso de sistemas donde la masa cambie, se agregue o quite masa del sistema. Si consideramos ahora que en un proceso físico donde se aplique una fuerza constante a un cuerpo, la masa del cuerpo cambie una cantidad finita fija esta ley se puede expresar como:

(ecuación 1)

   
Agrupando los términos de otra forma por conveniencia podemos llega a:

 

(ecuación 2)

Figura 1

A la cantidad mv se le llama cantidad de movimiento y la representaremos como p, de forma que:

p = mv          (ecuación 3)

La cantidad de movimiento es un vector cuya dirección es la misma que la de la velocidad y cuya unidad, como se puede deducir de la ecuación 3, es  kg·m/seg.

Sustituyendo en la ecuación 2 el factor (mv) por el nuevo concepto de cantidad de movimiento, tendremos una expresión de la segunda ley de Newton en términos de cantidad de movimiento:
 

(ecuación 4)

Esta expresión, en palabras, significa que cuando a un cuerpo se le aplica una fuerza su cantidad de movimiento cambia con respecto al tiempo, y es evidente, ya que la fuerza provoca una aceleración, por lo tanto un cambio de velocidad lo que según la definición, p = mv, produce también un cambio en la cantidad de movimiento del cuerpo.

La importancia de la cantidad de movimiento no solo radica en que es una presentación de la segunda ley de Newton en una nueva forma, si no, también, porque juega un rol central en una importante ley de conservación.

Conservación de la cantidad de movimiento.

Consideremos la interacción entre dos cuerpos 1 y 2 de la figura 1. Aquí hemos considerado los cuerpos como puntuales, pero el procedimiento es utilizable para cuerpos reales utilizando su centro de masa. Decir que dos cuerpos interactúan es lo mismo que decir que uno ejerce una fuerza sobre el otro, y según la tercera ley de Newton, de la acción y la reacción, los cuerpos reciben mutuamente una fuerza de igual magnitud y de sentido contrario.

Cuando interactúan las dos partículas lo pueden hacer de varias formas, pueden estar en contacto (figura 1a), como cuando chocan dos bolas, lo pueden hacer a distancia (figura 1b), que es el caso de la fuerza de atracción de la Tierra y la luna, o también a través de un elemento elástico (figura 1c) como un resorte. Nombremos como F₁₂ a la fuerza que ejerce el cuerpo 1 sobre el cuerpo 2 y F₂₁ a la que hace el cuerpo 2 sobre el 1. La tercera ley de Newton establece que:

 F₁₂ =  - F₂₁     (ecuación 5)

El signo menos en la parte derecha de la ecuación 5 significa que las fuerzas tienen sentido contrario.

Si expresamos las fuerzas en términos de la cantidad de movimiento:

 

(ecuación 6)

(ecuación 7)

Ahora la expresión 5 toma la forma:

(ecuación 8)

O bien: 

(ecuación 9)

La ecuación 9 dice  que la suma de la tasa de cambio con respecto al tiempo, de las cantidades de movimiento de dos cuerpos que interactúan es cero, lo que significa que:

p₁ + p₂ = una constante     (expresión 1)

La expresión 1 es la presentación matemática de un principio físico importante:

 La suma de las cantidades de movimiento de un sistema aislado de dos cuerpos que ejercen fuerzas uno al otro es una constante, no importa la forma en que las fuerzas se ejerzan.

Esta regla es una profunda y general ley de la naturaleza con la que se pueden resolver muchos problemas.

Impulso

El impulso y la cantidad de movimiento son conceptos muy íntimamente relacionados, tanto, que en ocasiones se pueden confundir, pero son aspectos diferenciados de la acción de fuerzas sobre los cuerpos. Habíamos visto arriba que la cantidad de movimiento era p = mv lo que implica que cualquier cuerpo de masa m que se mueve a cierta velocidad tiene una cierta cantidad de movimiento, si consideramos ahora que sobre el cuerpo actúa una fuerza por cierto tiempo, esta fuerza modificará la cantidad de movimiento del cuerpo, debido a que necesariamente cambiará su velocidad, en esta situación es que entra en juego el concepto de impulso, el que podía definirse como:

El impulso es el cambio en la cantidad de movimiento de un cuerpo que produce una fuerza que actúa durante un cierto tiempo. 

Matemáticamente puede expresarse como:

I = F_pΔt      (ecuación 10)

Donde F_p es la magnitud promedio de la fuerza actuante y Δt = t₂ - t₁ , el lapso de tiempo en el actúa la fuerza. No es difícil determinar que las unidades del impulso son las mismas que para la cantidad de movimiento, kg·m/seg.

El concepto de impulso encuentra su mayor aplicación en el caso de las llamadas fuerzas impulsivas, que son aquellas que actúan sobre un cuerpo durante un breve período de tiempo, como en el caso de los choques, las explosiones y otros fenómenos de esa naturaleza.