Circuitos osciladores (LC y RLC)
Los tres elementos más comunes que se presentan en los circuitos eléctricos son los resistores, los condensadores y los inductores. Las magnitudes de estos elementos que influyen en el comportamiento de la corriente en el circuito son: la resistencia eléctrica (R) para los resistores, la capacidad (C) para los condensadores, y la inductancia (L) para los inductores.
Estos tres elementos se pueden combinar mutuamente en un mismo circuito dando lugar a cinco tipos básicos de circuitos eléctricos:
1.- Circuito de resistencia pura: Cuando un circuito presenta solo resistores se dice que es un circuito de resistencia pura y una descripción de este circuito obedece en términos generales a la ley de Ohm.
Este artículo está dirigido a la descripción de los dos últimos tipos de circuito.
La figura 1 presenta un diagrama de circuito RLC, en él están conectados en serie un resistor, un condensador y un inductor. Para establecer la corriente en el circuito RLC se ha instalado una pila en paralelo con el condensador. Si el interruptor S2 se mantiene abierto y se cierra el interruptor S1 la fem de la pila carga el condensador en un tiempo relativamente corto al valor inicial Q0. Luego abrimos el interruptor S1 y cerramos el S2. Con esta operación el condensador comienza a descargarse a través del circuito principal RLC y se establece una corriente. Pero ¿cómo se comporta esta corriente?
A diferencia con los circuitos de resistencia pura, RC y RL en los que la corriente fluye en una misma dirección, ahora, en el circuito RLC esta se convierte en una corriente oscilante que "va y viene" entre condensador e inductor, es decir el circuito se ha hecho un circuito oscilador. El gasto de energía como calor en la resistencia va amortiguando la oscilación hasta que se disipa como calor toda la energía acumulada inicialmente en el condensador y la corriente se hace cero.
La naturaleza de la oscilación de la corriente es análoga al movimiento oscilatorio de una masa (m) dentro de un fluido que cuelga de un resorte, en la que la fuerza de arrastre debido a la viscosidad del fluido termina por detener el movimiento.
El movimiento de una masa en un resorte se destaca por su naturaleza armónica. La amortiguación, caracterizada por el coeficiente de amortiguación (b), modula el comportamiento harmónico al cambiar ligeramente el período e impone una resistencia al movimiento que va haciendo disminuir la amplitud de la oscilación de manera exponencial a medida que transcurre el tiempo (figura 2). Si el coeficiente de amortiguación no es muy alto la oscilación se mantiene y el sistema realiza varios ciclos antes de detenerse. Como podemos esperar, dada la similitud planteada, la corriente en el circuito RLC es también armónica con una amplitud exponencialmente decreciente en el tiempo si el valor de R no es muy alto.
El tratamiento matemático para la determinación de las expresiones que caracterizan el circuito LC es complejo y sale del interés del artículo, así que nos limitaremos a brindarlas sin deducción.
La frecuencia angular del circuito LC es:
La expresión para la carga del condensador (Q) en un instante cualquiera de tiempo (t) es:
La ecuación 2 nos dice que la carga del condensador se comporta con respecto al tiempo como una función coseno, es decir, desciende desde un máximo hasta cero, luego se carga en sentido contrario hasta el máximo para volver a descender y repetir el ciclo indefinidamente ya que no hay amortiguación y por lo tanto pérdidas de energía por calentamiento. Ahora salta la pregunta, ¿a donde va a parar la energía del condensador si su carga se hace cero?, ¿quién le devuelve más tarde la energía para volverse a cargar? Evidentemente el responsable de este "trasiego" de energía debe ser el inductor ya que no hay más elementos en el circuito. Más adelante veremos en detalle el asunto.
El voltaje entre los terminales del inductor en un instante de tiempo cualquiera es:
Note que también el voltaje entre los terminales del inductor se comporta como una función coseno.
El período para la carga del condensador (que es el mismo para el voltaje entre los terminales del inductor) es:
La corriente que fluye por el circuito en un instante de tiempo cualquiera es:
donde:
y ω' es la nueva frecuencia angular impuesta por la amortiguación:
Note que si la constante de amortiguación α es pequeña, la frecuencia angular ω' es solo ligeramente menor que la frecuencia angular del sistema sin amortiguación ω (circuito LC).
La figura 3 muestra la diferencia de comportamiento de la carga del condensador con respecto al tiempo para el circuito no amortiguado (R = 0), y para el circuito que tiene una baja resistencia amortiguadora. Pero ¿qué sucede si la resistencia sube de valor?
La ecuación 8 muestra la dependencia entre la frecuencia angular de la oscilación y la resistencia, de aquí se puede ver que existirá un valor de R para el cual la frecuencia angular (ω') decrece hasta cero, esto es, no existe oscilación, y ese valor se conoce como resistencia crítica Rc.
Para determinar el valor de la resistencia crítica igualamos la ecuación 8 a cero:
Resolviendo la igualdad se tiene que:
Los valores de R mayores que la resistencia crítica producen sobreamortiguacióncuya analogía con el movimiento oscilatorio mecánico de una masa en un resorte se produce cuando la masa se mueve en un líquido muy viscoso como la miel, lo que tiene el efecto de que la posición de equilibrio de la masa se alcanza en un tiempo largo. En la figura 4 se muestra el comportamiento de la carga en el condensador para cuatro hipotéticos valores crecientes de resistencia.
Para R1 cuyo valor de resistencia es bajo la carga del condensador se comporta como una oscilación amortiguada tal y como en la figura 3. La resistencia R2 un poco mayor, ya tiene un efecto de amortiguación notable y solo se produce un tímido ciclo oscilatorio. Si seguimos aumentando el valor de la resistencia llegamos al valor de Rc para la cual, como podrá apreciar, no existe oscilación y la carga del condensador solo decrece hasta cero. Finalmente la resistencia R4, mayor que la resistencia crítica, también impide la oscilación pero la descarga del condensador es más demorado, el sistema está sobreamortiguado.
Por su parte la energía magnética almacenada en un inductor, según lo visto en el artículo Inductancia es EpL = ½LI2
Sustituyendo el valor de I según la ecuación 5 y teniendo en cuenta que ω responde a la ecuación 1 llegamos finalmente que:
La ecuación 10 indica que la energía en el condensador cambia como una función coseno, es decir, baja desde un valor máximo positivo en +Q0 , pasa por energía cero cuando Q = 0 para volver a cargar la misma cantidad de energía máxima en dirección contraria al alcanzar -Q0 y reiniciar de nuevo la carga hacia el lado positivo para alcanzar de nuevo +Q0 y recomenzar el ciclo. De la misma manera, según la ecuación 11 sucede lo mismo con la energía contenida en el campo magnético del inductor, pero en este caso como una función seno, lo que implica que cuando la energía en uno de los elementos baja a cero, la energía en el otro elemento es máxima.
Como no hay resistor en el circuito no existen pérdidas de energía por calentamiento, así que según la ley de la conservación de la energía podemos plantear que la suma de la energía potencial en el condensador más la energía potencial en el inductor es constante:
La ecuación 12 demuestra que la energía total del sistema coincide con la energía potencial inicial (Q0) almacenada en el condensador (EpC = Q2/2C) antes de comenzar las oscilaciones.
De todo este análisis se desprende que los dos elementos del circuito intercambian la energía total armónicamente como un "va y viene" entre uno y otro, de la misma manera que el sistema mecánico de masa en resorte intercambia la energía total del sistema entre energía potencial en el resorte y energía cinética de la masa que oscila de manera armónica.
La figura 5 presenta los gráficos de comportamiento de corriente en el circuito y carga en el condensador a medida que transcurre el tiempo, y la figura 6 lo que sucede con la energía en función del tiempo.
La potencia gastada en el circuito responde a la expresión
Note que la potencia es proporcional al cuadrado de la corriente siendo éste el origen de la amortiguación exponencial en los circuitos RLC.
Estos tres elementos se pueden combinar mutuamente en un mismo circuito dando lugar a cinco tipos básicos de circuitos eléctricos:
1.- Circuito de resistencia pura: Cuando un circuito presenta solo resistores se dice que es un circuito de resistencia pura y una descripción de este circuito obedece en términos generales a la ley de Ohm.
2.- Circuitos RC: Si además de los resistores hay también condensadores en el circuito, entonces se le llama circuito RC y ha sido descrito aquí.
3.- Circuitos RL: Un tercer tipo de circuito puede contener resistores e inductores cuya denominación es circuitos RL y ha sido descrito aquí.
4.- Circuitos LC: El cuarto tipo de circuito presenta condensadores e inductancias.
5.- Circuitos RLC: Este es el más complejo de los circuitos básicos y en él aparecen tanto los resistores como los condensadores y los inductores.Este artículo está dirigido a la descripción de los dos últimos tipos de circuito.
 Figura 1. Circuito RLC. |
A diferencia con los circuitos de resistencia pura, RC y RL en los que la corriente fluye en una misma dirección, ahora, en el circuito RLC esta se convierte en una corriente oscilante que "va y viene" entre condensador e inductor, es decir el circuito se ha hecho un circuito oscilador. El gasto de energía como calor en la resistencia va amortiguando la oscilación hasta que se disipa como calor toda la energía acumulada inicialmente en el condensador y la corriente se hace cero.
La naturaleza de la oscilación de la corriente es análoga al movimiento oscilatorio de una masa (m) dentro de un fluido que cuelga de un resorte, en la que la fuerza de arrastre debido a la viscosidad del fluido termina por detener el movimiento.
 Figura 2. Perfil exponencial de la disminución de la amplitud en una oscilación amortiguada. |
El circuito sin el resistor (circuito LC)
Para cuantificar el circuito RLC supongamos primero que no hay amortiguación, es decir R = 0. En este caso podemos esperar que el sistema inductor-condensador (circuito LC) tenga un comportamiento como el de una masa y un resorte sin amortiguación, un sistema de este tipo mantiene un movimiento harmónico simple teóricamente perpetuo.El tratamiento matemático para la determinación de las expresiones que caracterizan el circuito LC es complejo y sale del interés del artículo, así que nos limitaremos a brindarlas sin deducción.
La frecuencia angular del circuito LC es:
 | (ecuación 1) |
La expresión para la carga del condensador (Q) en un instante cualquiera de tiempo (t) es:
Q = Q0 cos(ωt) (ecuación 2)
La ecuación 2 nos dice que la carga del condensador se comporta con respecto al tiempo como una función coseno, es decir, desciende desde un máximo hasta cero, luego se carga en sentido contrario hasta el máximo para volver a descender y repetir el ciclo indefinidamente ya que no hay amortiguación y por lo tanto pérdidas de energía por calentamiento. Ahora salta la pregunta, ¿a donde va a parar la energía del condensador si su carga se hace cero?, ¿quién le devuelve más tarde la energía para volverse a cargar? Evidentemente el responsable de este "trasiego" de energía debe ser el inductor ya que no hay más elementos en el circuito. Más adelante veremos en detalle el asunto.
El voltaje entre los terminales del inductor en un instante de tiempo cualquiera es:
VL = ω2LQ = ω2LQ0 cos(ωt) (ecuación 3)
Note que también el voltaje entre los terminales del inductor se comporta como una función coseno.
El período para la carga del condensador (que es el mismo para el voltaje entre los terminales del inductor) es:
T = 2π/ω (ecuación 4)
La corriente que fluye por el circuito en un instante de tiempo cualquiera es:
I = −Q0 sen(ωt) (ecuación 5)
El circuito con el resistor
Veamos el caso del circuito RLC completo, con inductor, condensador y resistor. Ahora la corriente en el circuito se comporta de la misma forma que un sistema de masa y resorte con amortiguación como ya hemos dicho, la carga del condensador en un instante de tiempo t cualquiera responde a la expresión:
Q = Q0e-αt cos(ω't) (ecuación 6)
donde:
α = R/2L (ecuación 7)
y ω' es la nueva frecuencia angular impuesta por la amortiguación:
ω' 2 = 1/LC − R2/4L2 = 1/LC − α2 (ecuación 8)
Note que si la constante de amortiguación α es pequeña, la frecuencia angular ω' es solo ligeramente menor que la frecuencia angular del sistema sin amortiguación ω (circuito LC).
 Figura 3. Comportamiento con respecto al tiempo de la carga del condensador para los circuitos LC y RLC. |
La ecuación 8 muestra la dependencia entre la frecuencia angular de la oscilación y la resistencia, de aquí se puede ver que existirá un valor de R para el cual la frecuencia angular (ω') decrece hasta cero, esto es, no existe oscilación, y ese valor se conoce como resistencia crítica Rc.
Para determinar el valor de la resistencia crítica igualamos la ecuación 8 a cero:
0 = 1/LC − Rc2/4L2
Resolviendo la igualdad se tiene que:
 | (ecuación 9) |
Los valores de R mayores que la resistencia crítica producen sobreamortiguacióncuya analogía con el movimiento oscilatorio mecánico de una masa en un resorte se produce cuando la masa se mueve en un líquido muy viscoso como la miel, lo que tiene el efecto de que la posición de equilibrio de la masa se alcanza en un tiempo largo. En la figura 4 se muestra el comportamiento de la carga en el condensador para cuatro hipotéticos valores crecientes de resistencia.
 Figura 4. Un circuito RLC con diferentes resistencias de amortiguación. |
La energía en el circuito RLC
Tratemos el tema separando los dos casos descritos anteriormente, primero con el circuito sin resistencia y luego introducir la resistencia amortiguadora.Energía sin amortiguación (circuito LC).
El hecho de no haber resistencia eléctrica significa que no hay amortiguación. Del artículo Condensadores sabemos que la energía potencial almacenada en un condensador es EpC = Q2/2C. Como partimos con una energía inicial Q0 tenemos que la energía en un momento cualquiera t es:
EpC = [(Q0)2/2C] cos2(ωt) (ecuación 10)
Por su parte la energía magnética almacenada en un inductor, según lo visto en el artículo Inductancia es EpL = ½LI2
Sustituyendo el valor de I según la ecuación 5 y teniendo en cuenta que ω responde a la ecuación 1 llegamos finalmente que:
EpL = [(Q0)2/2C] sen2(ωt) (ecuación 11)
La ecuación 10 indica que la energía en el condensador cambia como una función coseno, es decir, baja desde un valor máximo positivo en +Q0 , pasa por energía cero cuando Q = 0 para volver a cargar la misma cantidad de energía máxima en dirección contraria al alcanzar -Q0 y reiniciar de nuevo la carga hacia el lado positivo para alcanzar de nuevo +Q0 y recomenzar el ciclo. De la misma manera, según la ecuación 11 sucede lo mismo con la energía contenida en el campo magnético del inductor, pero en este caso como una función seno, lo que implica que cuando la energía en uno de los elementos baja a cero, la energía en el otro elemento es máxima.
Como no hay resistor en el circuito no existen pérdidas de energía por calentamiento, así que según la ley de la conservación de la energía podemos plantear que la suma de la energía potencial en el condensador más la energía potencial en el inductor es constante:
Ep = [(Q0)2/2C] [ cos2(ωt) + sen2(ωt)] = (Q0)2/2C (ecuación 12)
 Figura 5. Comportamiento de la carga del condensador y de la corriente en el circuito RLC con respecto al tiempo. |
 Figura 6. Comportamiento con respecto al tiempo de la energía acumulada en los elementos del circuito. |
De todo este análisis se desprende que los dos elementos del circuito intercambian la energía total armónicamente como un "va y viene" entre uno y otro, de la misma manera que el sistema mecánico de masa en resorte intercambia la energía total del sistema entre energía potencial en el resorte y energía cinética de la masa que oscila de manera armónica.
La figura 5 presenta los gráficos de comportamiento de corriente en el circuito y carga en el condensador a medida que transcurre el tiempo, y la figura 6 lo que sucede con la energía en función del tiempo.
Energía con amortiguación (circuito RLC)
Cuando se introduce la resistencia eléctrica la corriente en el circuito debe transitar por ella, lo que implica que siempre se disipará una potencia eléctrica (P) en el resistor con independencia de la dirección de la corriente.La potencia gastada en el circuito responde a la expresión
PR = I2R (ecuación 13)
Note que la potencia es proporcional al cuadrado de la corriente siendo éste el origen de la amortiguación exponencial en los circuitos RLC.
Circuito LC. Oscilaciones libres
El equivalente mecánico del circuito LC son las oscilaciones de un sistema formado por una masa puntual unida a un muelle perfectamente elástico. El equivalente hidráulico es un sistema formado por dos vasos comunicantes.En primer lugar, estudiamos las oscilaciones que se producen en un circuito LC
 |  |
La ecuación del circuito es
Vab+Vba=0
Como i=-dq/dt, ya que la carga q disminuye con el tiempo, llegamos a la siguiente ecuación diferencial de segundo orden
Esta es la ecuación diferencial de un Movimiento Armónico Simple (M.A.S.) de frecuencia angular propia o natural
Carga:
La solución de la ecuación diferencial esIntensidad:
q=Q·sen(w0t+j ),
donde la amplitud Q y la fase inicial j se determinan a partir de las condiciones iniciales, la carga del condensador q0 y la intensidad de la corriente eléctrica en el circuito i0 en el instante inicial t=0.
Derivando la expresión de la carga q obtenemos la intensidad iEnergía:
i=dq/dt=Q·w0 ·cos(w0t+j )
La energía del circuito en el instante t es la suma de la energía del campo eléctrico en el condensador y la energía del campo magnético en la bobina.
Se puede fácilmente comprobar que la suma de ambas energías es constante e independiente del tiempo.
1 | 2 |
3 | 4 |
- En un instante inicial el condensador está completamente cargado con una carga Q. Toda la energía está acumulada en el condensador en forma de campo eléctrico.
- El condensador se empieza a descargar, la intensidad aumenta, en la bobina se produce una fem autoinducida que se opone al incremento de intensidad. Al cabo de un cuarto de periodo, se alcanza la intensidad máxima i=Q·w0
- La intensidad empieza a disminuir, en la bobina se produce una fem que se opone a que la intensidad disminuya. El condensador se empieza a cargar, el campo en el condensador cambia de sentido. Al cabo de un cuarto de periodo más, el condensador ha adquirido la carga máxima Q, y la intensidad en la bobina se ha reducido a cero.
- Ahora comienza de nuevo a descargarse el condensador, la intensidad aumenta, el campo en la bobina cambia de sentido. Al cabo de un cuarto de periodo más, la intensidad alcanza su valor máximo (en valor absoluto).
- La intensidad decrece, el condensador empieza a cargarse, el campo eléctrico en el condensador cambia de sentido. Al cabo de un cuarto de periodo más, se ha alcanzado la situación inicial de partida.
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