Temas de física

Circuitos RL

Cuando un elemento de un circuito eléctrico tiene una elevada inductancia se le denomina inductor y se representa como . Normalmente en tales circuitos solo se tiene en cuenta la auto-inductancia del propio inductor y se desprecia la posible auto-inductancia del resto del circuito, ya que la magnitud de esta última es solo una pequeña fracción de la del inductor.

Si por un inductor circula una corriente que cambia con el tiempo se produce en él una caída de potencial, y esta caída de potencial dentro del inductor depende de cuan rápido cambia la corriente. Este fenómeno nos lleva a pensar que la presencia de un inductor en un circuito eléctrico conduce a un comportamiento diferente de la corriente con respecto al tiempo en comparación con los circuitos en los que solo existen resistores. A fin de poder interpretar mejor la influencia de un indutor en un circuito, consideremos el circuito de la figura 1 que consiste en un resistor de resistencia R, conectado a través de un interruptor a una fuente de fem ξ (pila). Si aplicamos la ley de Ohm a este circuito con el interruptor cerrado tenemos que:

Figura 1. Circuito con resistencia pura. Figura 2. La resistencia se ha cambiado por un inductor. Figura 3. Circuito RL Figura 4. Corriente contra tiempo en el circuito RL

ξ = RI      (ecuación 1)

En la ecuación 1 el término I es la magnitud de la corriente y el valor de R (resistencia eléctrica), se interpreta como una medida de la oposición al paso de la corriente, ya que si despejamos Iresulta ser el cociente entre ξ y R, es decir:

I = ξ / R

Note que a medida que R es mayor para una misma fem la magnitud de la corriente necesariamente decrece.

Ahora consideremos otro circuito consistente en un inductor conectado a los terminales de la pila (ξ) como aparece en la figura 2. En el instante en el que el interruptor se cierra se produce una fem de auto-inducción en el inductor que se opone a la fem de la pila según dicta la ley de Lenz. En ese preciso momento se tiene que:

ξ = − L (ΔI /Δt)     (ecuación 2)

Aquí L es la inductancia del inductor, t el tiempo, y el signo menos se incluye para significar que esta fem es contraria a la fem de la pila que la induce.

Si comparamos la ecuación 2 con la ecuación 1 veremos que ahora la posición de R está ocupada por L mientras que la posición de I está ocupada por ΔI /Δt. Utilizando el mismo razonamiento anterior podemos interpretar que L es una medida de la oposición al cambio de la corriente con respecto al tiempo. 

Ahora consideremos un caso de estudio algo más complejo en un circuito en el que hay una fuente de fem ξ, un resistor de resistencia eléctrica R, y un inductor de inductancia L, además del interruptor para establecer la corriente, como se muestra en la figura 3. A tales circuitos se les llama circuitos RL.

Cuando se cierra el interruptor, el inductor reacciona al cambio en la corriente y según la ley de Lenz se opone a él, lo que trae como resultado que la corriente alcanza el valor máximo de la ley de Ohm en cierto tiempo y no de manera instantánea.

Supongamos que cerramos el interruptor al tiempo t = 0. Antes de t = 0 no existe corriente. Transcurrido un tiempo largo la corriente se establece y alcanza el valor máximo constante de la ley de Ohm I = ξ / R. Cuando esto sucede, la corriente constante implica que el inductor no tiene ningún efecto en el circuito, es como si no existiera. La expresión para la corriente que satisface esos dos extremos es:

I = (ξ /R) [1 − e^−t/(R/L)] = (ξ /R) [1 − e^− Rt/L]          (ecuación 3)

Donde e es la base del logaritmo natural, e igual a 2.718.

Note que en la ecuación 3 cuando t = 0 resulta I = 0 y cuando t alcanza el valor infinito (si es que esto fuera posible), es decir t → ∞ entonces I = ξ / R. 

La figura 4 muestra el gráfico del comportamiento de la corriente en el circuito RL con respecto al tiempo. Este gráfico tiene una gran similitud con el de la carga de un condensador de placas con respecto al tiempo descrito en el artículo Circuitos de corriente directa. En aquella ocasión resultó conveniente introducir una magnitud denominada constante de tiempo del circuito que daba idea del tiempo que tardaba un condensador en alcanzar la carga máxima constante. En el mismo sentido se define la constante de tiempo para los circuitos que contienen resistencias e inductores; y esta constante de tiempo para los circuitos RL queda definida como:

τ ≡ L / R*

* Se usa el símbolo ≡ para indicar que es una definición.

Como teóricamente el tiempo que demora la corriente para alcanzar el valor máximo ξ / R, es infinito, se ha establecido convencionalmente que la constante de tiempo de un circuito RL en particular es el tiempo requerido para que se alcance el 63% del valor máximo de la corriente.

Las unidades de τ son unidades de tiempo, si la resistencia está en Ω y la inductancia en H entonces la constante de tiempo resulta en milisegundos (ms).

CIRCUITOS RL            

Los circuitos RL son aquellos que contienen una bobina (inductor) que tiene autoinductancia, esto quiere decir que evita cambios instantáneos en la corriente. Siempre se desprecia la autoinductancia en el resto del circuito puesto que se considera mucho menor a la del inductor. Para un tiempo igual a cero, la corriente comenzará a crecer y el inductor producirá igualmente una fuerza electromotriz en sentido contrario, lo cual hará que la corriente no aumente. A esto se le conoce como fuerza contraelectromotriz. Esta fem está dada por:  V = -L (inductancia) dI/dt Debido a que la corriente aumentará con el tiempo, el cambio será positivo (dI/dt) y la tensión será negativa al haber una caída de la misma en el inductor. Según kirchhoff:                     V = (IR) + [L (dI /  dt)]          IR = Caída de voltaje a través de la resistencia. Esta es una ecuación diferencial y se puede hacer la sustitución:                x = (V/R) – I           es decir;       dx = -dI Sustituyendo en la ecuación:     x + [(L/R)(dx/dt)] = 0      dx/x = - (R/L) dt Integrando:                                  ln (x/xo) = -(R/L) t Despejando x:                               x = xo e –Rt / L Debido a que                                     xo = V/R El tiempo es cero , y corriente cero              V/R – I = V/R e –Rt / L                                  I = (V/R) (1 - e –Rt / L) El tiempo  del circuito está representado por  t = L/R                                  I = (V/R) (1 – e – 1/t)  Donde para un tiempo infinito, la corriente de la malla será  I = V/R. Y se puede considerar entonces el cambio de la corriente en el tiempo como cero. Para verificar la ecuación que implica a t y a I, se deriva una vez y se reemplaza en la inicial:                                  dI/dt = V/L e – 1/t  Se sustituye:                             V = (IR) + [L (dI /  dt)]  V = [ (V/R) (1 – e – 1/t)R + (L V/ L e – 1/t)]  V – V e – 1/t = V – V e – 1/t    OSCILACIONES EN UN CIRCUITO LC Cuando un condensador se conecta a un inductor, tanto la corriente como la carga den el condensador oscila. Cuando existe una resistencia, hay una disipación de energía en el sistema porque una cuanta se convierte en calor en la resistencia, por lo tanto las oscilaciones son amortiguadas. Por el momento, se ignorará la resistencia. En un tiempo igual a cero, la carga en el condensador es máxima y la energía almacenada en el campo eléctrico entre las placas es U = Q2máx/(2C). Después de un tiempo igual a cero, la corriente en el circuito comienza a aumentar y parte de la energía en el condensador se transfiere al inductor. Cuando la carga almacenada en el condensador es cero, la corriente es máxima y toda la energía está almacenada en el campo eléctrico del inductor. Este proceso se repite de forma inversa y así comienza a oscilar. En un tiempo determinado, la energía total del sistema es igual a la suma de las dos energías (inductor y condensador):  U = Uc + UL  U = [ Q2/(2C) ] + ( LI2/2 ) En un circuito existe una corriente que produce un campo magnético ligado al propio circuito y que varía cuando lo hace la intensidad. Por tanto, cualquier circuito en el que exista una corriente variable producirá una fem inducida que denominaremos fuerza electromotriz autoinducida. Supongamos un solenoide de N espiras, de longitud l y de sección S recorrido por una corriente de intensidad i. 1.- El campo magnético producido por la corriente que recorre el solenoide suponemos que es uniforme y paralelo a su eje, cuyo valor hemos obtenido aplicando la ley de Ampère 2.-Este campo atraviesa las espiras el solenoide, el flujo de dicho campo a través de todas las espiras del solenoide se denomina flujo propio. 3.-Se denomina coeficiente de autoinducción L al cociente entre el flujo propio F y la intensidad i. Del mismo modo que la capacidad, el coeficiente de autoinducción solamente depende de la geometría del circuito y de las propiedades magnéticas de la sustancia que se coloque en el interior del solenoide. La autoinducción de un solenoide de dimensiones dadas es mucho mayor si tiene un núcleo de hierro que si se encuentra en el vacío La unidad de medida de la autoinducción se llama henry, abreviadamente H, en honor a Joseph Henry. f.e.m. autoinducida Cuando la intensidad de la corriente i cambia con el tiempo, se induce una f.e.m. en el propio circuito (flecha de color rojo) que se opone a los cambios de flujo, es decir de intensidad. Derivando respecto al tiempo la expresión del flujo propio La fem autoinducida VL siempre actúa en el sentido que se opone a la variación de corriente. Establecimiento de una corriente en un circuito Cuando se aplica una fem V0 a un circuito cerrando un interruptor, la corriente no alcanza instantáneamente el valor V0/R dado por la ley de Ohm, sino que tarda un cierto tiempo, teóricamente infinito, en la práctica, un intervalo de tiempo que depende de la resistencia. La razón de este comportamiento hay que buscarla en el papel jugado por la autoinducción L que genera una fem que se opone al incremento de corriente. En la figura, se muestra un circuito formado por una batería, una resistencia y una autoinducción. Se conecta la batería y la intensidad i aumenta con el tiempo. Para formular la ecuación del circuito sustituimos la autoinducción por una fem equivalente. Medimos la diferencia de potencial entre los extremos de cada uno de los tres elementos que forman el circuito. Se cumplirá que Vab+Vbc+Vca=0 Integrando, hallamos la expresión de i en función del tiempo con las condiciones iniciales t=0, i=0. Si R/L es grande, como sucede en la mayor parte de los casos prácticos, la intensidad de la corriente alcanza su valor máximo constante V0/R muy rápidamente. Caída de la corriente en un circuito Si se ha establecido la corriente máxima en el circuito y desconectamos la batería, la corriente no alcanza el valor cero de forma instantánea, sino que tarda cierto tiempo en desaparecer del circuito. De nuevo, la razón de este comportamiento hay que buscarla en el papel jugado por la autoinducción L en la que se genera una fem que se opone a la disminución de corriente. Para formular la ecuación del circuito sustituimos la autoinducción por una fem equivalente. Medimos la diferencia de potencial entre los extremos de cada uno de los dos elementos que forman el circuito. Se ha de tener en cuenta, que i disminuye con el tiempo por lo que su derivada di/dt<0 es="" negativa="" p="">Vab+Vba=0 Integrando, hallamos la expresión de i en función del tiempo con las condiciones iniciales t=0, i=i0. La corriente disminuye exponencialmente con el tiempo. En la mayor parte de los casos, R/L es grande, por lo que la corriente desaparece muy rápidamente. Energía del campo magnético Hemos visto que para mantener una corriente en un circuito es necesario suministrar energía. La energía suministrada por la batería en la unidad de tiempo es V0· i. Esta energía se disipa, en la resistencia por efecto Joule y se acumula en la autoinducción en forma de energía magnética. De la ecuación del circuito iR=V0+VL Multiplicando ambos miembros por la intensidad i. El término R·i2 es la energía por unidad de tiempo disipada en la resistencia. El primer término V0·i es la energía suministrada por la batería. El último término, es la energía por unidad de tiempo que se necesita para establecer la corriente en la autoinducción o su campo magnético asociado. Simplificando dt e integrando entre 0 e i, obtenemos Esta es la energía acumulada en forma de campo magnético, cuando circula por la bobina una corriente de intensidad i. Para un solenoide la energía en forma de campo magnético que guarda en su interior se escribe La energía EB es el producto de dos términos: la densidad de energía magnética (energía por unidad de volumen) y el volumen S·l. En general, la energía asociada a un campo magnético se calcula mediante la siguiente fórmula La integral se extiende a todo el espacio donde el campo magnético B es no nulo. Comprobación Cuando se cierra el circuito La energía suministrada por la batería hasta el instante t es La energía disipada en la resistencia es La energía acumulada en la autoinducción en forma de campo magnético es Como podemos comprobar E0=ER+EB Cuando se abre el circuito y cae la corriente, toda la energía acumulada en la autoinducción se disipa en la resistencia. La energía inicial acumulada en la bobina, cuando la intensidad es i0 Al abrir el circuito la intensidad disminuye exponencialmente con el tiempo. La energía por unidad de tiempo disipada en la resistencia por efecto Joule seráP=i2R Integrando entre cero e infinito obtenemos la energía total disipada. Establecimiento y caída de la corriente eléctrica en el circuito Un circuito RL se conecta a un generador de señales cuadradas, podemos observar en un osciloscopio el proceso de establecimiento y caída de la corriente en el circuito. Una experiencia análoga la efectuamos para verificar el proceso de carga y descarga de un condensador a través de una resistencia. Como se ve en la figura, durante el primer semiperiodo de la señal, la fem tiene un valor constante e igual a V0. Se establece la corriente en el circuito durante un tiempo P/2. La intensidad i en el intervalo 0<t<P/2 es Se calcula la intensidad final i1 en el instante t=P/2. En este instante, la fem se hace cero, la corriente cae en el circuito. La corriente i en el intervalo P/2<t<P es, Se calcula la intensidad final i2 en el instante t=P La corriente i en el intervalo P<t<3 i="">P/

2 es, se obtiene integrando no es entre los límites 0 y i, sino entre la intensidad remanente i₂ e i.

Calculamos la intensidad final i₃ en el instante t=P+P/2. Y así, sucesivamente.