Historia y conceptos
En
1772, el matemático ítalofrancés
Joseph-Louis Lagrange estaba trabajando en el célebre
problema de los tres cuerpos cuando descubrió una interesante peculiaridad. Originalmente, trataba de descubrir una manera de calcular fácilmente la interacción gravitatoria de un número arbitrario de cuerpos en un sistema. La
mecánica newtoniana determina que un sistema así gira
caóticamente hasta que, o bien se produce una colisión, o alguno de los cuerpos es expulsado del sistema y se logra el
equilibrio mecánico. Es muy fácil de resolver el caso de dos cuerpos que orbitan alrededor del centro común de gravedad. Sin embargo, si se introduce un tercer cuerpo, o más, los cálculos matemáticos son muy complicados, al ser una situación en la que se tendría que calcular la suma de todas las interacciones gravitatorias sobre cada objeto en cada punto a lo largo de su trayectoria.
Sin embargo, Lagrange quería hacer esto más sencillo, y lo logró mediante una simple hipótesis:
La trayectoria de un objeto se determina encontrando un camino que minimice la acción con el tiempo. Esto se calcula substrayendo la
energía potencial de la
energía cinética. Desarrollando esta hipótesis, Lagrange reformuló la mecánica clásica de Newton para dar lugar a la
mecánica lagrangiana. Con su nueva forma de calcular, el trabajo de Lagrange lo llevó a plantear la
hipótesis de un tercer cuerpo de masa despreciable en órbita alrededor de dos cuerpos más grandes que ya estuvieran girando a su vez en órbita cuasi circular. En un sistema de referencia que gira con los cuerpos mayores, encontró cinco puntos fijos específicos en los que el tercer cuerpo, al seguir la órbita de los de mayor masa, se halla sometido a fuerza cero. Estos puntos fueron llamados puntos de Lagrange en su honor.
En el caso más general de
órbitas elípticas no hay ya puntos estacionarios sino que más bien se trata de un «área» de Lagrange. Los puntos de Lagrange sucesivos, considerando órbitas circulares en cada instante, forman órbitas elípticas estacionarias, geométricamente
semejantes a la órbita de los cuerpos mayores. Esto se debe a la
segunda ley de Newton (
), dónde
p = mv (
p es la
cantidad de movimiento,
m la masa y
v la velocidad).
p es un
invariante si la fuerza y posición se multiplican por un mismo factor. Un cuerpo en un punto de Lagrange orbita con el mismo período que los dos cuerpos grandes en el caso circular, implicando, como sucede, que tienen la misma proporción entre fuerza gravitatoria y distancia radial. Este hecho es independiente de la circularidad de las órbitas e implica que las órbitas elípticas descritas por los puntos de Lagrange son soluciones de la
ecuación de movimiento del tercer cuerpo.
Complicaciones a las leyes de Kepler
Tanto la Tierra como el Sol se influencian mutuamente a través de sus fuerzas gravitacionales. Esto hace que, si bien el Sol causa
mareas sobre la Tierra, esta a su vez causa perturbaciones en el movimiento del Sol. De hecho ambos cuerpos (el sistema Sol-Tierra) se mueven alrededor del punto llamado centro de masas o
baricentro, que está ubicado cerca del centro del Sol debido a la diferente masa de ambos cuerpos y la muchísimo mayor influencia del Sol debido a su masa. En el caso del sistema Sol-Júpiter, el baricentro se encuentra cerca de la superficie solar. Por otra parte, debido a que la
masa de un satélite artificial es insignificante respecto de los cuerpos mencionados, su masa no tiene influencia significativa sobre el baricentro de los tres.
Las
leyes de Kepler describen de forma simple el comportamiento de dos cuerpos que orbitan uno alrededor del otro. La tercera ley que dice que el cuadrado de su
período orbital (tiempo que tarda en dar una vuelta alrededor del Sol) es directamente proporcional al cubo de la distancia media con el Sol. Por esta razón, el aumento del radio da lugar a un incremento del período orbital, por tanto, dos cuerpos situados a diferentes distancias del
Sol nunca tendrán un movimiento sincronizado.
Las simplicidades de las leyes de Kepler no son válidas si se tienen en cuenta las interacciones de varios cuerpos en lugar de dos o tres, como sucede en el
sistema solar. Incluso si se considerara solo un grupo de tres, el
Sol, la
Tierra y un
satélite artificial, las predicciones se complican. Así, un satélite situado en la línea Sol-Tierra y entre ellos debería tener un periodo orbital menor de un año, pero si está a la distancia de 1,5 millones de km de la Tierra, en lo que luego se llamará L
1, la atracción de la Tierra disminuye la atracción solar y su periodo es el mismo que el de la Tierra. Menor distancia no significa menor periodo.
Los puntos de Lagrange
Diagrama que muestra los cinco puntos de Lagrange en un sistema de dos-cuerpos de masa muy diferente (por ejemplo el Sol y la Tierra). En un sistema así, L4–L5 parece que giran en la misma órbita que el cuerpo segundo, aunque de hecho lo hace ligeramente más alejado del primero.
Los cinco puntos lagrangianos se llaman y definen como sigue:
El punto L1
El punto L1 está entre las dos masas grandes M1 y M2 en la recta que las une. Es el más intuitivo de los puntos de Lagrange, aquel en que las atracciones opuestas de los dos cuerpos mayores se compensan.
- Ejemplo: un objeto que orbite alrededor del Sol más cerca que la Tierra tendría un período orbital más corto que la Tierra, pero eso ignora el efecto de atracción gravitatoria de la Tierra. Si el objeto está directamente entre la Tierra y el Sol, entonces el efecto de la gravedad de la Tierra es el de debilitar la fuerza que tira del objeto hacia el Sol y, por lo tanto, aumenta el período orbital del objeto. Cuanto más cerca está el objeto de la Tierra, mayor es este efecto. En el punto L1, el período orbital del objeto es precisamente igual al período orbital de la Tierra. Este punto se encuentra a 1 502 000 km de la tierra.1
El punto L
1 del sistema Sol-Tierra es ideal para hacer observaciones del Sol. Los objetos aquí situados nunca son eclipsados por la Tierra o la Luna. La sonda espacial Observatorio Solar y de la Helioesfera (
SOHO) está estacionada en el punto L
1, y el satélite
Advanced Composition Explorer (ACE) está en una
órbita Lissajous alrededor también del punto L
1. El punto L
1 del sistema Tierra-Luna permite un acceso fácil a la órbita lunar y de la Tierra con un mínimo cambio de velocidad,
delta-v, y sería ideal para una estación espacial tripulada situada a medio camino pensada para ayudar al transporte de carga y personal hacia y desde la Luna.
El punto L2
Diagrama del sistema Sol-Tierra, que muestra el punto L2, más alejado que la órbita lunar.
El punto L2 está en la línea definida por las dos masas grandes M1 y M2, y más allá de la más pequeña de las dos. En él la atracción gravitatoria de los dos cuerpos mayores compensa la fuerza centrífuga causada por el menor.
- Ejemplo: un objeto que orbite el Sol más lejos que la Tierra tendría un período orbital más largo que el de la Tierra. La fuerza adicional de la gravedad de la Tierra hace disminuir el período orbital del objeto, y precisamente el punto L2 es aquel en que el período orbital es igual al de la Tierra.
El punto L
2 del sistema Sol-Tierra es un buen punto para los observatorios espaciales, porque un objeto alrededor de L
2 mantendrá la misma orientación con respecto al Sol y la Tierra, y la calibración y blindaje son más sencillos. El
Wilkinson Microwave Anisotropy Probe (
WMAP), así como el
Observatorio Espacial Herschel ya están en órbita alrededor del punto L
2 del sistema Sol-Tierra. El futuro
Telescopio Espacial James Webb, también se situará en el punto L
2 del sistema Sol-Tierra. El punto L
2 del sistema Tierra-Luna sería una buena localización para un
satélite de comunicaciones que cubriera la
cara oculta de la Luna.
2
Si M
2 es mucho más pequeño que M
1, entonces L
1 y L
2 están a distancias aproximadamente iguales
r de M
2, igual al radio de la
esfera de Hill, dado por:
donde R es la distancia entre los dos cuerpos.
Esta distancia puede describirse como aquella en la que el
período orbital correspondiente a una órbita circular con esta distancia alrededor de M
2 y en ausencia de M
1, es el tiempo que tarda en girar M
2 alrededor de M
1, dividido por
.
Ejemplos:
- Sistema Sol y Tierra: 1.500.000 km de la Tierra
- Sistema Tierra y Luna: 61.500 km de la Luna
El punto L3
El punto L3 está en la línea definida por las dos masas grandes M1 y M2, y más allá de la mayor de las dos.
- Ejemplo: el punto L3 en el sistema de Sol–Tierra está en el lado opuesto del Sol, un poco más cerca del Sol que la propia Tierra. Esta aparente contradicción se explica porque el Sol está también afectado por la gravedad terrestre, y así gira en torno al centro de masas común o baricentro que, no obstante, se encuentra dentro del Sol. En L3 la fuerza gravitatoria combinada de la Tierra y del Sol hace que el objeto orbite con el mismo período que la Tierra. El punto L3 en el sistema de Sol–Tierra fue un lugar popular utilizado para ubicar una "Contra-Tierra", en libros de ciencia ficción o en cómics; aunque la observación directa por sondas y satélites demostró luego su inexistencia. En la realidad, L3 en el sistema Sol-Tierra es muy inestable, pues las fuerzas gravitatorias de los demás planetas pueden llegar a superar a la de la Tierra, (Venus, por ejemplo, pasa a 0.3 AU de L3 cada 20 meses).
Los puntos L4 y L5
Acciones gravitatorias en L4.
El punto L4 y el punto L5 están en los vértices de triángulos equiláteros cuya base común es la recta que une las dos masas, de forma que el punto L4 precede al cuerpo pequeño un ángulo de 60º visto desde la masa grande, mientras que L5 gira detrás del cuerpo pequeño, aunque con radio mayor que éste, con un retraso de 60º visto a su vez desde el cuerpo grande. Estos puntos, así como el cuerpo menor de masa M2, no giran sobre el cuerpo grande, sino sobre el baricentro de ambos cuerpos marcado como b en la figura. El cuerpo grande también gira sobre b con un radio r1
El radio
de la órbita común a los puntos L
4 y L
5 puede deducirse de la figura mediante razonamientos geométricos:
Teniendo en cuenta que los radios de las órbitas de los cuerpos grandes
y
están en relación inversa de sus masas:
, se resuelve el triángulo formado por L
4,
b y el centro de masa del cuerpo menor; resultando en la relación
.
Expresando el resultado en función de
resulta:
Este radio, como se aprecia en la figura es generalmente mayor que el radio
del cuerpo pequeño porque
y por tanto el radical que multiplica tiene también un valor mayor a uno.
El ángulo de precesión verdadero de L
4, es decir el ángulo que forma L
4con el cuerpo pequeño visto desde el centro de giro
b, también puede calcularse con procedimientos geométricos, obteniéndose:
.
- Ejemplos:
- Para el sistema Tierra-Luna tenemos.
- Distancia Tierra-Luna: d = r1 + r2 = 3,844·108 m
- Masa Tierra: M1 = 5,974·1024 kg
- Masa Luna: M2 = 7,35·1022 kg
- Valor de γ = M2/M1 = 12,30·10-3
- Entonces, como:
,
- se tiene:
.
- Con estos datos y la fórmula anterior se evalúa:
- Para α, usando la otra fórmula, se tiene: α = 60,6067º
- Es decir; la órbita común de L4 y L5 excede a la de la Luna en 2360 km y dichos puntos forman con ella ángulos de 60º 18' 22" con respecto al baricentro b del sistema
- Si M1 = M2, caso de las estrellas dobles simétricas, el parámetro gamma se hace igual a uno.
- En estas condiciones las dos masas ocupan una órbita común, el ángulo α aumenta hasta 90º y el radio de la órbita de L4 y L5 se hace igual al radio de la órbita común de las estrellas multiplicado por la raíz de 3. Este radio coincide con la altura del triángulo equilátero cuya base coincide con la distancia entre las estrellas.
La razón de que estos puntos estén en equilibrio es que el punto L
4 y el punto L
5 están a la misma distancia de las dos masas. Por ello, las fuerzas gravitatoria de los dos cuerpos están en la misma relación que sus masas respectivas, y la fuerza
resultante actúa a través del
baricentro del sistema; además, la geometría de triángulo hace que la aceleración resultante esté a la distancia del baricentro en la misma proporción que para los dos cuerpos mayores. Y siendo el baricentro centro de masas y centro de rotación del sistema, esta fuerza resultante es exactamente la que se requiere para mantener un cuerpo en el punto de Lagrange en
equilibrio con el resto del sistema.
L
4 y L
5 son llamados a veces «puntos triangulares de Lagrange» o «puntos troyanos». El nombre de «puntos troyanos» viene de los
asteroides troyanos del sistema Sol–
Jupiter, nombrados según personajes de la
Ilíada de
Homero —la legendaria guerra de
Troya—. Los asteroides del punto L
4, que preceden a Júpiter, son el «
campamento griego», los «griegos», mientras que los del punto L
5 son el «
campamento troyano». Los nombres están extraídos de personajes de la
Ilíada.
- Ejemplos:
- Los puntos L4 y L5 del sistema Sol-Tierra solo contienen polvo interplanetario y el asteroide troyano terrestre 2010 TK7.
- Los puntos L4 y L5 del sistema Tierra-Luna cuya ubicación se ha calculado antes, contienen polvo interplanetario, las llamadas nubes de Kordylewski.
- Los puntos L4 y L5 del sistema Sol-Júpiter están ocupados por los asteroides troyanos.
- Neptuno tiene objetos Troyanos del cinturón de Kuiper en sus puntos L4 y L5.
- La luna de Saturno Tetis tiene dos satélite más pequeños en sus puntos L4 y L5, de nombre Telesto y Calipso, respectivamente.
- La luna de Saturno Dione tiene lunas menores, Helena y Pollux, en sus puntos L4 y L5, respectivamente.
- La hipótesis del gran impacto sugiere que un objeto (Theia) se formó en L4 o L5 y se estrelló contra la Tierra al entrar en órbita inestable, dando origen así a la Luna.
Estabilidad
Los primeros tres puntos de Lagrange son técnicamente estables sólo en el plano perpendicular a la línea entre los dos cuerpos. Esto puede verse más fácilmente considerando el punto L
1. Una masa de prueba desplazada perpendicularmente de la línea central sentiría una fuerza atrayéndola hacia el punto de equilibrio. Esto es así porque las componentes laterales de la gravedad de las dos masas se suman para producir esta fuerza, mientras que las componentes a lo largo del eje se anulan. Sin embargo, si un objeto situado en el punto L
1 fuera llevado hacia una de las masas, la atracción gravitatoria que siente por esa masa sería más grande, y sería atraído hacia ella (el modelo es muy similar al de la
fuerza de marea).
Aunque los puntos L
1, L
2 y L
3 son nominalmente inestables, resulta que es posible encontrar órbitas periódicas estables alrededor de estos puntos, por lo menos en el problema restringido de los tres-cuerpos. Estas órbitas perfectamente periódicas, denominadas órbitas de "halo", no existen en un sistema dinámico de n-cuerpos como el
sistema solar. Sin embargo, sí existen las
órbitas Lissajous cuasi-periódicas, y son las órbitas que se han usado en todas las misiones espaciales a los puntos de libración. Aunque las órbitas no son perfectamente estables, un esfuerzo relativamente modesto lo mantiene en la
órbita Lissajous durante un largo período. También resulta útil en el caso del punto L
1del sistema Sol-Tierra poner la nave espacial en una órbita Lissajous de amplitud grande (100 000–200 000
km) en lugar de estacionarlo en el punto de la libración, porque esto mantiene la nave espacial fuera de la línea del Sol-Tierra directa y por eso reduce las interferencias solares en las comunicaciones de la Tierra con la nave espacial.
Otra propiedad útil e interesante de los puntos de equilibrio colineales y sus órbitas de Lissajous asociadas es que ellos sirven como puertas de acceso para controlar las trayectorias caóticas de una red de transporte interplanetario.
En contraste con la inestabilidad de los puntos colineales, los puntos triangulares (L
4 y L
5) tienen un equilibrio estable (ver
atractor), con tal que la razón de las masas M
1/M
2 es > 24,96. Éste es el caso para los sistemas Sol/Tierra y Tierra/Luna, aunque por un margen menor en el último caso. Cuando un cuerpo en estos puntos es perturbado y se mueve fuera del punto, actúa un
efecto Coriolis que lo devuelve al punto.
Las misiones espaciales en los puntos de libración
Las órbitas en los puntos de libración tienen características únicas que las convierten en una opción buena para ubicar algunos tipos de misiones. La
NASA ha enviado varias naves espaciales a los puntos L
1 y L
2 del sistema Sol-Tierra:
Los ejemplos naturales
En el sistema Sol–
Júpiter hay varios miles de
asteroides, llamados
asteroides troyanos, que están en las órbitas alrededor del Sol, en los puntos L
4 o L
5 del sistema Sol–Júpiter. Pueden encontrarse otros cuerpos en los mismos puntos de los sistemas Sol–
Saturno, Sol–
Marte, Sol-
Neptuno, Júpiter–
satélites Jovianos, y Saturno-satélites de Saturno. No hay ningún cuerpo grande conocido en los puntos Troyanos del sistema de Sol–Tierra, pero en los años 1950 se descubrieron nubes de polvo que rodean los puntos L
4 y L
5. A estas nubes de polvo se las llamó
nubes de Kordylewski, y aún más débil el
gegenschein, también está presente en el punto L
4 y L
5 del sistema Tierra–
Luna.
La luna de Saturno
Tethys tiene dos lunas más pequeñas en sus puntos L
4 y L
5 llamadas
Telesto y
Calypso. La luna de Saturno
Dione también tiene dos satélites lagrangianos co-orbitales,
Helena en su punto L
4 y
Pollux en L
5. Las lunas oscilan alrededor de los puntos de Lagrange, y Polydeuces tiene las desviaciones más grandes, alejándose hasta 32 grados del punto L
5 del sistema Saturno–Dione. Tethys y Dione son centenares de veces más grandes que sus "escoltas" (ver los artículos de las lunas para las dimensiones exactas; las masas no son conocidas en varios casos), y Saturno es mucho más masivo lo cual hace muy estable el sistema.
Otros ejemplos co-orbitales
La Tierra tiene un compañero
(3753) Cruithne que tiene una órbita similar a la de la Tierra. No es un verdadero troyano. Más bien, ocupa una de las dos órbitas solares regulares, una ligeramente más pequeña y rápida que la de la Tierra y la otra ligeramente mayor y más lenta, alternando periódicamente cuando se acerca a la Tierra. Con los acercamientos del asteroide a la Tierra, por el interior de la órbita de la Tierra, toma energía orbital de la Tierra y se mueve en una órbita de energía más grande, más alta. Luego la Tierra alcanza al asteroide, que está en una órbita más grande y por tanto más lenta. Ahora es la Tierra la que toma energía y hace caer al asteroide a una órbita más pequeña, y más rápida y en el futuro será el asteroide el que cogerá a la Tierra para empezar el ciclo nuevamente. Esto no tiene un impacto notable en la longitud del año, porque la Tierra es más de 20 000 millones de veces más masiva que 3753 Cruithne.
Los satélites de Saturno
Epimeteo y
Jano tienen una relación similar, aunque ellos son de masas similares y realmente intercambian su órbita entre sí periódicamente (Janus es aproximadamente 4 veces más masivo, pero es suficiente para que su órbita sea alterada). Otra configuración similar conocida como la
resonancia orbital hace que los cuerpos tienden a tener períodos que están en relaciones sencillas con otros más grandes debido a su interacción.
resonancia de Laplace es un caso particular de
resonancia orbital en el que tres cuerpos orbitando alrededor de un cuerpo principal, tienen
periodos de revolución que guardan entre sí una relación expresada en una fracción de números enteros simples e igual a
1:2:4. Es decir, mientras el cuerpo que tiene una órbita más exterior completa una vuelta, el siguiente en distancia completa dos y el más interior cuatro. En el
Sistema Solar sólo existe un caso que esté en resonancia de Laplace, el de los
satélites galileanos de
Júpiter:
Ío,
Europa y
Ganímedes y otro que es muy cercano aunque no llega a serlo, el de los satélites de
Urano:
Miranda,
Ariel y
Umbriel.
Descripción cinemática
La resonancia de Laplace se expresa mediante la siguiente ecuación:
1 2
donde
es el
movimiento medio de revolución, la inversa del periodo de revolución, y el subíndice indica el orden de los cuerpos de menor a mayor distancia del cuerpo principal.
Asimismo, de la anterior deriva otra expresión:
2 3
donde
es la
longitud media del cuerpo en su órbita. Al ángulo
se le denomina
ángulo o variable de resonancia y debe tener un valor fijo, lo que indica que dada una posición determinada de los tres cuerpos en un momento dado, dicha posición se debe repetir periódicamente.
4
De la ecuación se deducen las siguientes expresiones:
2
Es decir, el movimiento medio del cuerpo 1 respecto del 2 es dos veces mayor que el movimiento medio del cuerpo 2 respecto del 3 e igualmente el movimiento medio del cuerpo 1 respecto del 3 es tres veces mayor que el movimiento medio del cuerpo 2 respecto del 3.
Cada uno de los términos de la ecuación anterior, si fuesen iguales a cero, serían la expresión que deberían cumplir cada una de las parejas de cuerpos 1 - 2 y 2 - 3 si estuvieran en resonancia 2:1, produciéndose de esta manera la conjunción de ambos astros en la misma longitud.
Satélites galileanos de Júpiter
Imagen animada del movimiento de los satélites galileanos Ío, Europa y Ganímedes en Resonancia de Laplace.
Asimismo se cumple que la variable de resonancia es 180º:
2 3
Lo cual quiere decir que si los satélites exteriores Europa y Ganímedes están en
conjunción, es decir,
y, por conveniencia, iguales a cero, la longitud media del tercer satélite, Ío, será
, es decir, estará situado en el lado opuesto de su órbita respecto de los otros dos satélites. Esto quiere decir que nunca se producirá una conjunción triple los satélites galileanos Ío, Europa y Ganímedes.
Sin embargo considerando las parejas de satélites Ío - Europa y Europa - Ganímedes, para las que se podría esperar una resonancia exacta 2:1 entre ellos, se comprueba que el resultado de la ecuación
no es nulo:
2 4
Es decir, las parejas de satélites Ío - Europa y Europa - Ganímedes no están en una resonancia de movimiento medio de revolución 2:1 exacta. La conjunción de los satélites de cada una de dichas parejas va circulando a lo largo de la órbita del satélite interior completanto una vuelta en un periodo de 1,3 años.
Ese valor resulta ser la precesión del periastro,
, donde
es la
longitud del periastro, de las órbitas de Ío en el primer caso y de Europa en el segundo.
1 Es decir, los pares de satélites Ío - Europa y Europa - Ganímedes sí están en resonancia 2:1 siempre que se tenga en cuenta la precesión del periastro de la órbita del cuerpo interior:
1
Conjunciones entre Ío y Europa
De igual modo se pueden definir las variables de resonancia correspondientes a cada par de resonancias de la forma:
4
Se comprueba que las ecuaciones diferenciales que gobiernan el movimiento de estos satélites tienen una solución particular para los valores:
4
De esta manera, cuando ambos satélites están en conjunción, es decir:
, entonces, sustituyendo en las expresiones anteriores se puede comprobar que:
4
Esto quiere decir que las conjunciones entre Ío - Europa tienen lugar cuando Ío está en el
periastro de su órbita mientras que Europa está en el
apoastro de la suya. De esta manera cuando esto sucede ambos satélites están lo más alejados posible uno de otro.
Conjunciones entre Europa y Ganímedes
Igualmente se definen para el par Europa-Ganímedes las siguientes expresiones de sus variables de resonancia:
4
E igualmente una solución particular para el movimiento de estos satélites implica:
Sin embargo en este caso se comprueba que
no es una solución estable. De esta manera en las conjunciones entre Europa y Ganímedes, Europa esta en el periastro de su órbita pero Ganímedes puede estar en cualquier punto de la suya. Así, la distancia entre ambos satélites en su conjución está parcialmente maximizada.
Satélites de Urano
En cuanto a los satélites de
Urano,
Miranda,
Ariel y
Umbriel, la ecuación
no es igual a 0. En concreto se obtiene el valor:
2
Lo que significa que cuando se produce una conjunción entre Ariel y Umbriel, Miranda tiene una posición algo más retrasada respecto a la conjunción anterior, llegando a producirse una conjunción triple cada 12,5 años, un periodo muy largo teniendo en cuenta que los periodos orbitales de estos satélites se miden en unos pocos días.
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