Astronomía - Mecánica celeste

El problema de los tres cuerpos consiste en determinar, en cualquier instante, las posiciones y velocidades de tres cuerpos, de cualquier masa, sometidos a atracción gravitacional mutua y partiendo de unas posiciones y velocidades dadas (sus condiciones iniciales son 18 valores, consistentes para cada uno de los cuerpos en: sus 3 coordenadas de posición y las tres componentes de su velocidad).

Movimiento caótico de tres cuerpos en un campo de fuerzas aislado.

Introducción

Mientras que el problema de los dos cuerpos tiene solución mediante el método de las cuadraturas integrales, el problema de tres cuerpos no tiene solución general por dicho método y en algunos casos su solución puede ser caótica en el sentido físico del término, lo que significa que pequeñas variaciones en las condiciones iniciales pueden llevar a destinos totalmente diferentes.

En general, el problema de los tres cuerpos (y el problema de los n-cuerpos, para n > 3) no puede resolverse por el método de las cuadraturas o integrales de movimiento (o integrales primeras). Como demostró el matemático francés Henri Poincaré, no existe una fórmula que lo rija. Esto es, de las 18 integrales de movimiento sólo 10 pueden ser resueltas por las leyes de conservación. Además de estas 10 integrales, no existe ninguna otra integral que sea algebraicamente independiente. Esto no implica, sin embargo, que no exista una solución general del problema de los tres cuerpos, pues se puede desarrollar una solución como una serie. De hecho Sundman proporcionó en 1909 una solución pero por medio de una serie convergente.

Este problema no surge como un problema meramente hipotético, pues el sistema Tierra-Luna-Sol es un caso muy próximo del problema. Charles-Eugène Delaunay estudió entre 1860 y 1867 dicho sistema y publicó dos volúmenes sobre el tema, cada uno de 900 páginas. Entre muchos otros logros, en su trabajo aparece ya el caos, y aplica la teoría de la perturbación, que consiste en resolverlo como un problema de dos cuerpos y considerar que el tercero perturba la posición de los otros dos.

Se trata de un caso de inestabilidad, denominado el «problema teórico fundamental de la estabilidad del equilibrio», un fenómeno que en términos actuales puede denominarse movimiento caótico y que no pudo ser abordado hasta 1949 cuando el matemático uruguayo José Luis Massera lo caracterizó en términos de las funciones de Lyapunov.

En 1776 el matemático francés Pierre Simon Laplace comenzó a publicar 5 volúmenes de Traité du Mécanique Céleste, en el que afirmaba categórico que, si se conociera la velocidad y la posición de todas las partículas del Universo en un instante, se podrían predecir su pasado y futuro. Durante más de 100 años su afirmación pareció correcta y, por ello, se llegó a la conclusión de que el libre albedrío no existía, ya que todo estaba determinado.

El determinismo laplaciano consistía en afirmar que, si se conocen las leyes que gobiernan los fenómenos estudiados y se conocen las condiciones iniciales y se es capaz de calcular la solución, entonces se puede predecir con total certeza el futuro del sistema estudiado.

A finales del siglo XIX Henri Poincaré (1854-1912), matemático francés, introdujo un nuevo punto de vista al preguntar si el Sistema Solar sería estable para siempre. Poincaré fue el primero en pensar en la posibilidad del caos, en el sentido de un comportamiento que dependiera sensiblemente de las condiciones iniciales. En 1903 Poincaré postulaba acerca de lo aleatorio y del azar en los siguientes términos:

El azar no es más que la medida de la ignorancia del hombre, reconociendo, a la vez, la existencia de innumerables fenómenos que no eran completamente aleatorios, que simplemente no respondían a una dinámica lineal, aquellos a los que pequeños cambios en las condiciones iniciales conducían a enormes cambios en el resultado. Esta afirmación, además, está directamente relacionada con la teoría de variables ocultas. De este modo se comenzó la búsqueda de las leyes que gobiernan los sistemas desconocidos, tales como el clima, la sangre cuando fluye a través del corazón, las turbulencias, las formaciones geológicas, los atascos de vehículos, las epidemias, la bolsa o la forma en que las flores florecen en un prado.

El problema de los tres cuerpos restringido o de Euler

El «problema de los tres cuerpos restringido» asume que la masa de uno de los cuerpos es despreciable; el problema de los tres cuerpos restringido circular es un caso especial en que se asume que dos de los cuerpos están en órbitas circulares (lo cual es aproximadamente cierto para el sistema Sol-Tierra-Luna). (Para una discusión del caso dónde el cuerpo despreciable es un satélite del cuerpo de masa menor, véase el artículo sobre la esfera de Hill; para los sistemas binarios, véase el lóbulo de Roche; para soluciones estables del sistema, véase puntos de Lagrange).

El problema restringido (circular y elíptico) fue estudiado extensamente por muchos matemáticos y físicos famosos, como Lagrange en el siglo XVIII y Henri Poincaré al final del siglo XIX. En el problema circular, existen cinco puntos de equilibrio llamados puntos de Lagrange. Tres de estos puntos son colineales con las masas principales y son inestables. Los otros dos se localizan en el tercer vértice formando con las dos masas principales triángulos equiláteros. Estos puntos son estables. En el sistema Sol-Júpiter los puntos lagrangianos están en la misma órbita de Júpiter pero 60º por delante o por detrás y forman con el Sol y Júpiter dos triángulos equiláteros. El que estos puntos estén ocupados por los asteroides troyanos constituye una bella confirmación.

El problema de los tres cuerpos es uno de esos típicos problemas matemáticos de apariencia sencilla, que encierra una tremenda complejidad, y que ha traído de cabeza a un gran número de importantes matemáticos y físicos.

El origen de dicho problema proviene de la famosa Ley de Gravitación Universal de Newton, cuya bien conocida fórmula nos indica la fuerza gravitatoria atractiva existente entre dos cuerpos, que es directamente proporcional al producto de sus masas, e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa. También aparece en este problema la segunda Ley de Newton, o principio fundamental de la dinámica, que nos dice que la fuerza aplicada sobre un cuerpo produce una aceleración directamente proporcional a la masa del mismo.

La conjunción de ambas leyes, expresadas en forma vectorial, nos puede proporcionar la trayectoria de un objeto en órbita de otro, conociendo su posición y velocidad en un instante dado. Esto es el origen de la genial idea de Newton, que concibió, cuenta la leyenda, al caerle una manzana de un árbol. Lo cierto es que la solución a este problema es lo que presenta  en su magna obra, de 1687, "Philosophiæ naturalis principia mathematica", donde describe las tres leyes de Kepler como consecuencia directa de aquellas otras dos leyes que él formula. Así, por ejemplo, la primera Ley de Kepler nos dice que los planetas giran en órbitas elípticas en torno al Sol, que está situado en uno de los focos, lo que Newton muestra como una deducción obtenible a partir de su planteamiento. Una demostración muy didáctica e instructiva de esta cuestión fue formulada por Richard Feynman.

Para obtener la trayectoria a partir de las leyes de Newton, basta considerar que la aceleración que proporcionan las mismas, a partir de la fuerza atractiva, corresponde a la derivada de la velocidad, y ésta, a su vez, es la derivada de la trayectoria, ambas con respecto al tiempo. Así pues dicha trayectoria puede ser expresada como una derivada segunda, lo que nos da una ecuación diferencial de segundo orden . Así formulado, tenemos el que se conoce como problema de los dos cuerpos, cuya solución nos proporciona la posición de cada cuerpo, en función del tiempo. Dicho problema, como se indica, fue resuelto inicialmente por el propio Newton, y para el caso general por Euler, quien lo publicó en 1744 en su tratado Theoria Motuum Planetarum et Cometarum.

Resuelto el problema para el caso de dos cuerpos, se plantea el de los tres cuerpos, que se presentaba más complicado y que permaneció largo tiempo abierto, desde que fuera enunciado con dicho nombre por Jean d'Alembert. A primera vista no parece demasiado complicado pues, supuesto uno de ellos fijo en el origen de coordenadas, se reduce a calcular la trayectoria de los otros dos, es decir, dos ecuaciones en lugar de una. Sin embargo, la resolución de ecuaciones diferenciales no siempre es fácil, o mejor dicho, casi nunca lo es. Los casos de ecuaciones lineales tienen solución, pero no es así en los casos no lineales, para los cuales no siempre es posible encontrar una linealización.

El problema fue estudiado por numerosos científicos. Un caso particular para el caso de tres cuerpos fue resuelto por Lagrange, quien demostró que existían cinco posiciones que podían ser resueltas, obteniendo lo que desde entonces se conoce como puntos de Lagrange. En su día esto fue una mera curiosidad matemática, pero que ha devenido en un importante resultado astronómico cuando se descubrieron los asteroides troyanos de Júpiter. En la actualidad estos puntos, por sus especiales características, son de suma importancia para colocar en ellos determinados satélites espaciales.

La primera solución de carácter general se debe a Laplace, quien presenta en 1776 su tratado de Mecánica Celeste, donde explica que las anomalías orbitales de Saturno y Júpiter, que tanto preocuparon a Newton, son meras perturbaciones que sólo dependían de la propia Ley de Gravitación, y tendían a compensarse con el transcurso del tiempo. También  afirma que si se conociera la velocidad y la posición de todas las partículas del Universo en un instante, se podrían predecir su pasado y futuro, lo que dio origen al conocido determinismo laplaciano. Es bien conocida la anécdota de cuando presentó su obra a Napoleón, el cual le inquirió por el papel de Dios en el universo, a lo que respondió: "Sire, esa hipótesis es innecesaria". Sin embargo, la respuesta de Laplace no era exacta, pues en sus ecuaciones del sistema Sol-Júpiter-Saturno despreció un término matemático que creía muy pequeño, pero que podía crecer rápidamente y sin límite, de hecho hasta desestabilizar el Sistema Solar.

Así pues, el problema general seguía sin solución. Por ello el Rey Óscar II de Suecia, en 1884 y en el marco de los festejos conmemorativos de su sexagésimo cumpleaños, organizó un concurso internacional de matemáticas cuyas bases, publicadas en las revistas Acta Mathematica  y Nature, establecían cuatro problemas por resolver. El primero de ellos, propuesto por Karl Weierstrass, era precisamente el problema de los n cuerpos, correspondiente a la generalización del caso de tres, y que pretendía establecer las fórmulas que rigen las trayectorias de los objetos del Sistema Solar. El matemático francés Henri Poincaré, que entonces contaba con 36 años de edad, participó en el mismo, para lo cual comenzó estudiando detenidamente el caso de 3, y presentando su memoria en 1888, con el título de "Mémoire sur les Courbes Définies par une Équation Différentielle", en la que estableció que el problema carecía de solución, siendo declarado ganador por el jurado.

La conclusión principal de Poincaré en dicha memoria era que la evolución del sistema era en extremo caótica, pues una pequeñísima variación en el estado inicial de cualquiera de los cuerpos, como por ejemplo, las debidas a los errores de medición por pequeños que sean,  podría conducir a resultados completamente diferentes. Uno de los integrantes del jurado, Karl Weierstrass, afirmó: «Si bien este trabajo no puede ser considerado como la solución completa del desafío presentado, es de tal importancia que su publicación marcará el comienzo de una nueva era en la historia de la Mecánica Celeste.»

La razón de dicha falta de solución estable es que este problema carece de lo que se conoce como solución analítica, es decir, la integral que se debe resolver para obtener una función que nos represente la posición de cada uno de los cuerpos en función del tiempo, no existe como una expresión en términos de las funciones usuales que todos conocemos, a saber, polinomios de cualquier grado incluso fraccionario, funciones circulares, exponenciales y logarítmicas. No obstante, el que no tenga solución analítica no quiere decir que sea un enigma, pues lo que sí es posible es obtener aproximaciones numéricas con cualquier precisión que queramos, con lo cual sí que podemos  calcular y predecir las trayectorias. Pero lo que Poincaré encuentra es que la solución está descrita por una serie de potencias, en esencia lo mismo que ya habían descubierto Euler o Lagrange, sin embargo, lo más importante es que también prueba que las series no convergen, sino que son divergentes en manera extrema en función de los puntos iniciales, por lo que habría, en realidad, infinitas soluciones diferentes. Así pues, el problema fundamental radica en que cualquier variación en los datos  iniciales, por pequeña que ésta sea, hace que la serie aplicable sea completamente diferente, y es más, la desviación es creciente con el tiempo, por lo que con el transcurso del mismo, cualquier variación se amplificará lo suficiente para hacer que el resultado ofrecido por cualquier modelo aproximado sea completamente diferente de los valores observados en la realidad; el fenómeno conocido actualmente como "efecto mariposa".