Astronomía - Mecánica celeste

la precesión de los equinoccios es el cambio lento y gradual en la orientación del eje de rotación de la Tierra, que hace que la posición que indica el eje de la Tierra en la esfera celeste se desplace alrededor del polo de la eclíptica, trazando un cono y recorriendo una circunferencia completa cada 25 776 años, período conocido como año platónico, de manera similar al bamboleo de un trompo o peonza. El valor actual del desplazamiento angular es de 50,290966” (segundos de arco) por año, o alrededor de 1° cada 71.6 años.^1 2

Este cambio de dirección es debido a la inclinación del eje de rotación terrestre sobre el plano de la eclíptica y la torsión ejercida por las fuerzas de marea de la Luna y el Sol sobre la protuberancia ecuatorial de la Tierra. Estas fuerzas tienden a llevar el exceso de masa presente en el ecuador hasta el plano de la eclíptica.³

Históricamente se le atribuye el descubrimiento de la precesión de los equinoccios a Hiparco de Nicea como el primero en dar el valor de la precesión de la Tierra con una aproximación extraordinaria para la época. Las fechas exactas no son conocidas, pero las observaciones astronómicas atribuidas a Hiparco por Claudio Ptolomeo datan del 147 al 127 a. C.

Algunos historiadores sostienen que este fenómeno ya era conocido, al menos en parte, por el astrónomo babilonio Cidenas, quien habría advertido este desplazamiento ya en el año 340 a. C.

Movimientos de la Tierra: rotación, precesión y nutación.

Descripción

Movimiento de precesión de la tierra. Ampliar animación

La rotación de la Tierra causa un ensanchamiento ecuatorial, y un achatamiento polar de unos 21 km aproximadamente. Además el eje de rotación de la Tierra está inclinado 23º 27' con respecto a la perpendicular a la eclíptica (el plano que contiene la órbita solar de la Tierra). Por tanto, una mitad del ensanchamiento ecuatorial se sitúa sobre el plano de la eclíptica y la otra mitad debajo. Durante los equinoccios, los ensanchamientos de cada lado de la eclíptica están a la misma distancia del Sol y este no produce momento de fuerza. En cambio, todo el resto del tiempo, y sobre todo en los solsticios, el ensanchamiento de uno de los lados de la eclíptica no se encuentra a la misma distancia que el ensanchamiento del otro lado, y se produce un momento de fuerza creado por el Sol, que tiende a llevar el exceso de masa presente en el ecuador hasta el plano de la eclíptica y provoca el movimiento de precesión de la Tierra.

Si no existiese el achatamiento y la Tierra fuese esférica, la atracción del Sol no produciría un momento de fuerza sobre la Tierra y no habría modificación de la dirección del eje terrestre.

Durante unos pocos meses o años el eje terrestre se dirige hacia prácticamente el mismo punto sobre la esfera celeste, debido a la conservación del momento angular de la Tierra.

Efectos

El cambio en la dirección del eje de rotación de la Tierra provoca una variación del plano del ecuador y, por tanto, de la línea de corte de dicho plano con la eclíptica. Esta línea señala en la esfera celeste la dirección del punto Aries, que retrograda sobre la eclíptica, fenómeno denominado precesión de los equinoccios. Actualmente el Sol alcanza el punto Aries el 20 de marzo, pero astronómicamente tal punto está a 28º (desde la frontera con la constelación de Aries) en la constelación de Piscis. Las consecuencias de este fenómeno son:

• El polo Norte celeste se mueve en relación a las estrellas. Ahora está próximo a la Estrella Polar (alfa de la Osa Menor).
• El primer punto de Aries, intersección del ecuador con la eclíptica, retrograda sobre el ecuador en el mismo período, es decir, 50,290966" por año.

Órbita de la Tierra con el Sol en el centro. Las posiciones de la Tierra a la izquierda y la derecha actualmente coinciden aproximadamente con los solsticios. Las dos del centro corresponden a los equinoccios. Las fechas de calendario en las que ocurren los solsticios y equinoccios varían de un año a otro aproximadamente en 6 horas más (por ello hay que incluir un día más cada cuatro años).

A principios de la era cristiana el Sol se proyectaba al comienzo de la primavera en la constelación de Aries. Actualmente, 2.000 años después, ha girado un ángulo de 50,2511 × 2000 = 27,92° y se proyecta en Piscis.

Visión desde la Tierra, en el cielo terrestre, del sentido de precesión del punto equinoccial vernal por la constelación de Piscis comparado con el sentido del aparente desplazamiento del Sol durante los meses del año. El tramo de eclíptica que cruza ante la constelación de Piscis es de 38º.

Y el día del solsticio de junio el Sol aparece justo al final de la constelación de Géminis para ingresar, precesionalmente, en la de Tauro mientras el punto de la esfera terráquea que recibe de lleno los rayos del Sol es el mediodía del paralelo llamado "trópico de Cáncer". Así, este nombre no es astronómico sino astrológico, pues el 22 de junio del calendario común (el romano gregoriano) corresponde al primer día del mes/signo de Cáncer del calendario astrológico. Y el día del solsticio del 22 de diciembre el Sol, en ese momento visualmente cercano al centro de la galaxia, aparece en su cuarto día en la constelación de Sagitario, mientras el punto de la esfera terrestre que recibe de lleno los rayos del Sol es el mediodía del paralelo llamado "trópico de Capricornio", así llamado porque el 22 de diciembre corresponde al primer día del mes/signo de Capricornio del calendario astrológico.

Además la precesión cambia la declinación y ascensión recta de cualquier estrella. Con el transcurso del tiempo el cielo nocturno va cambiando radicalmente. Tomemos como ejemplo las constelaciones de Scorpius y Orión, cuyas ascensiones rectas son 17 horas y 5 horas respectivamente: en el hemisferio Norte Scorpius es una constelación de verano y Orión es de invierno. Dentro de unos 12 000 años ambas constelaciones intercambiarán su relación con las estaciones: Scorpius será invernal y Orión, estival. Para entonces sus ascensiones rectas valdrán 5 horas y 17 horas respectivamente.

Actualmente, debido al bamboleo del eje, el nodo inferior del ecuador de la Tierra corta por la mitad a la constelación de Orión, concretamente por la estrella Mintaka del Cinturón. Esto supone que Orión sea visible desde el ecuador en el cénit y también desde los polos, y que Mintaka salga justo por el punto cardinal Este y se ponga justo por el punto Oeste. Hace 3.600 años, el ecuador cortaba por la estrella Betelgeuse, lo que significa que durante los últimos 3,6 milenios el bamboleo de la Tierra ha hecho que su ecuador barriese a Orión desde arriba (o desde abajo, viendo a Orión desde el hemisferio sur) hasta la mitad, hasta el cinturón. Y lo ha hecho a velocidad decreciente hasta detenerse para volver a comenzar en el otro sentido dentro de medio milenio. Es el reflejo del bamboleo del planeta.

También, actualmente la precesión ha llegado al punto en el que el solsticio de diciembre ocurre con la Tierra en línea con el Sol y el ecuador (o plano) de la galaxia (no con el centro de la galaxia, que sí está en el ecuador de la galaxia), y ese tránsito ocurre durante 72 años en el ciclo completo de la precesión.

Dado que la precesión avanza a un ritmo de 1 grado orbital cada 72 años, y como 1 grado se compone de 3.600 segundos de arco, lo hace a 1 segundo de arco de órbita cada 7,3 días.

Y midiéndola en unidades de tiempo y de métrica, a cada año la precesión se desplaza 36.300 km. Así, a cada día prácticamente 100 km, y a cada segundo 1'15 metros, de manera que aunque no podemos asimilar racional ni linealmente su duración y su dimensión sí podemos reproducir su ritmo trotando a 1,15 metros cada segundo.

Precesión y astrología

La precesión es un fenómeno natural y es descrito por la ciencia astronómica o astronomía, aunque también es usado por la astrología para establecer un año de mayor dimensión acorde a los 25 776 años (257,75 siglos) del movimiento completo del eje de la Tierra y la precesión del punto equinoccial en la órbita. Este aspecto de la astrología no solo es apenas conocido popularmente sino que, debido a su dimensión, es práctico para una conciencia temporal y espacial más amplia. Tal año está compuesto por 12 partes de igual extensión llamadas eras astrológicas, que son "grandes" meses cuya duración es de 2 148 años (21 siglos y 48 años o 21,48 siglos) tomando como referencia el valor 25.776, aunque tradicionalmente se dice que es de 2.160 años según el valor más manejado de 25.920 años. Se trata de una estructura de 12 partes iguales sobre el ciclo precesional en la circunferencia de la órbita terrestre. La astrología usa el punto equinoccial vernal -que se desplaza en precesión- para determinar la era astrológica o gran mes del gran año del ciclo de precesión. El nombre de tal era y su arquetipo es una convención y depende del diseño del calendario astrológico, que en su caso tiene a Piscis como era inicial y a Aries como era final. A comienzos del tercer milenio de la era (cronológica) cristiana, el Sol alcanza el punto equinoccial el 20 de marzo, fecha civil que en el calendario astrológico corresponde al último día del mes/signo de Piscis, lo cual es en sentido zodiacal, pero en sentido precesional es el primer momento de la era de Piscis. Mientras, astronómicamente el punto está ubicado a 28º (50,2511 × 2000 = 27,92°) en el tramo del círculo de la eclíptica que atraviesa ante la constelación de Piscis, y a 8º de alcanzar la frontera con la de Acuario, lo cual ocurrirá en 6 siglos.

Precesión del punto equinoccial vernal a través de las eras astrológicas (mentales) y de las constelaciones eclípticas (espaciales) durante los dos primeros milenios la era cristiana.

Proporcionalidad entre ciclo precesional y ciclo anual

Tanto la Tierra en 365 días (año común) como el Punto equinoccial en 25 776 años (año precesional) recorren la misma cantidad de kilómetros: los de la órbita terrestre, y por tanto el mismo espacio. Racional y linealmente es lógico ver 25 776 años como "mucho más tiempo" que la duración de 1 año y que la duración de una vida humana, pero al recorrer el Punto equinoccial el mismo espacio que la Tierra, se trata de un periodo proporcional a 1 año, y también en este sentido se trata de otra dimensión del tiempo de la Tierra y por tanto asimilable por una conciencia temporal dimensional. Aun así, al ciclo o año precesional podemos percibirlo de la misma forma familiar con la que percibimos el año común, dividido en 365 días. Así, el año precesional es divisible en 365 partes de 70.6 años, lo cual sería el periodo de 1 día precesional, que dura un año menos que el tiempo que tarda el punto equinoccial en preceder 1 grado entre los 360 del círculo.

La precesión de los equinoccios

La Tierra, además de movimientos de rotación y traslación, tiene un tercer movimiento llamado precesión. Este consiste en la rotación del eje de la Tierra alrededor de la vertical a la eclíptica, dando lugar a la rotación del polo Norte entorno a la estrella Polar con un periodo de aproximadamente 26.000 años. Hiparco de Nicea (siglo II a.C.) fue el primero en dar el valor de la precesión de la Tierra con una aproximación extraordinaria para la época. El movimiento de precesión es común a todos los cuerpos que giran en torno a si mismos, y se desplazan al mismo tiempo en presencia de un campo gravitatorio, como en el caso de una peonza.

el eje terrestre variará su orientación a intervalos de unos 6000 años

Debido a este giro del eje de la Tierra el paisaje de estrellas que vemos en el firmamento varia lentamente con el tiempo.  En el momento actual el eje de la tierra apunta a polaris, actual estrella Polar (llamada así por ser la estrella situado encima de nuestro polo Norte). Con el transcurso del tiempo el eje de la Tierra ira pasando sucesivamente, a intervalos de unos 6.000 años, por alpha draconis, vega, denech y al deramin para volver a polaris al cabo de unos 26.000 años.

el problema de los dos cuerpos consiste en determinar el movimiento de dos partículas puntuales que sólo interactúan entre sí. Los ejemplos comunes incluyen la Luna orbitando la Tierra y en ausencia del Sol, es decir aislados, un planeta orbitando una estrella, dos estrellas que giran en torno al centro de masas (estrella binaria), y un electrón orbitando en torno a un núcleo atómico. Como se explica más adelante, las Leyes de Newton nos permite reducir el problema de dos-cuerpos a un problema de un-cuerpo equivalente, es decir, a resolver el movimiento de una partícula sometida a un campo gravitatorio conservativo y que por tanto deriva de un potencial externo. Dado que el problema puede resolverse exactamente, el problema del dos-cuerpos correspondiente también puede resolverse con exactitud. Por el contrario, el problema de los tres cuerpos (y, más generalmente, el problema de ${\displaystyle n}$ cuerpos con ${\displaystyle n\geq 3}$) no puede resolverse, excepto en casos especiales. Dos cuerpos orbitando alrededor de su centro de masas en órbitas elípticas. Dos cuerpos con una pequeña diferencia de masa orbitando alrededor de su centro de masa, los tamaños dibujados son similares a los del sistema Plutón-Caronte. Descripción del problema Sean ${\displaystyle \mathbf {x} _{1}}$ y ${\displaystyle \mathbf {x} _{2}}$ las posiciones de dos cuerpos, y ${\displaystyle m_{1}}$ y ${\displaystyle m_{2}}$ sus masas. La segunda ley de Newton determina que ${\displaystyle \mathbf {F} _{1,2}(\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2})=m_{1}{\ddot {\mathbf {x} }}_{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {F} _{2,1}(\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2})=m_{2}{\ddot {\mathbf {x} }}_{2}}$ donde ${\displaystyle \mathbf {F} _{1,2}}$ es la fuerza en la masa 1 debido a su interacción con la masa 2, y ${\displaystyle \mathbf {F} _{2,1}}$ es la fuerza en masa 2 respecto a la masa 1. Nuestro objetivo es determinar las trayectorias ${\displaystyle \mathbf {x} _{1}(t)}$ y ${\displaystyle \mathbf {x} _{2}(t)}$ en todo instante ${\displaystyle t}$, dadas las posiciones iniciales ${\displaystyle \mathbf {x} _{1}(t=0)}$ y ${\displaystyle \mathbf {x} _{2}(t=0)}$ y las velocidades iniciales ${\displaystyle \mathbf {v} _{1}(t=0)}$ y ${\displaystyle \mathbf {v} _{2}(t=0)}$ (12 constantes en total). Un truco importante para resolver el problema de dos-cuerpos es sumar y restar estas dos ecuaciones que descompone el problema en dos problemas. La suma produce una ecuación que describe el movimiento del centro de masas, y la resta da una ecuación que describe cómo varía con el tiempo el vector de posición entre las dos masas. Al combinar las soluciones a estos dos problemas de un-cuerpo se obtienen las soluciones de las trayectorias ${\displaystyle \mathbf {x} _{1}(t)}$ y ${\displaystyle \mathbf {x} _{2}(t)}$. Movimiento del centro de masas (Primer problema de un cuerpo) La suma de las dos ecuaciones ${\displaystyle m_{1}{\ddot {\mathbf {x} }}_{1}+m_{2}{\ddot {\mathbf {x} }}_{2}=(m_{1}+m_{2}){\ddot {\mathbf {x} }}_{cm}=\mathbf {F} _{12}+\mathbf {F} _{21}=0}$ donde hemos usado Tercera Ley de Newton ${\displaystyle \mathbf {F} _{12}=-\mathbf {F} _{21}}$ y donde ${\displaystyle \mathbf {x} _{cm}\equiv {\frac {m_{1}\mathbf {x} _{1}+m_{2}\mathbf {x} _{2}}{m_{1}+m_{2}}}}$ es la posición del centro de masas (baricentro) del sistema. La ecuación resultante ${\displaystyle {\ddot {\mathbf {x} }}_{cm}=0}$ muestra que la velocidad ${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}_{cm}}$ del centro de masa es constante, de lo que se deduce que la cantidad de movimiento total ${\displaystyle m_{1}{\dot {\mathbf {x} }}_{1}+m_{2}{\dot {\mathbf {x} }}_{2}}$ también es constante (conservación de la cantidad de movimiento). De modo que, pueden determinarse la posición y velocidad del centro de masa en cualquier instante dadas las posiciones y velocidades iniciales. Movimiento del vector de desplazamiento (Segundo problema de un cuerpo) Restando las dos ecuaciones de fuerza y reestructurando la ecuación ${\displaystyle {\ddot {\mathbf {x} }}_{1}-{\ddot {\mathbf {x} }}_{2}=\left({\frac {\mathbf {F} _{12}}{m_{1}}}-{\frac {\mathbf {F} _{21}}{m_{2}}}\right)=\left({\frac {1}{m_{1}}}+{\frac {1}{m_{2}}}\right)\mathbf {F} _{12}}$ donde hemos usado de nuevo la Tercera ley de Newton ${\displaystyle \mathbf {F} _{12}=-\mathbf {F} _{21}}$. Nosotros introducimos un nuevo vector ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \mathbf {r} \equiv \mathbf {x} _{1}-\mathbf {x} _{2}}$ eso es el vector de posición de la masa 1 respecto de la masa 2. La fuerza entre los dos objetos sólo es una función de este vector de posición ${\displaystyle \mathbf {r} }$ y no de sus posiciones absolutas ${\displaystyle \mathbf {x} _{1}}$ y ${\displaystyle \mathbf {x} _{2}}$: si no fuera así, se violaría la simetría de traslación, es decir, las leyes de la Física cambiarían de un lugar a otro. Por consiguiente, la ecuación puede escribirse ${\displaystyle \mu {\ddot {\mathbf {r} }}=\mathbf {F} (\mathbf {r} )}$ donde ${\displaystyle \mu }$ es la masa reducida ${\displaystyle \mu ={\frac {1}{{\frac {1}{m_{1}}}+{\frac {1}{m_{2}}}}}={\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}}$ Una vez que hemos resuelto las ecuaciones ${\displaystyle \mathbf {x} _{cm}(t)}$ y ${\displaystyle \mathbf {r} (t)}$, las trayectorias originales pueden obtenerse de las ecuaciones ${\displaystyle \mathbf {x} _{1}(t)=\mathbf {x} _{cm}(t)+{\frac {m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\mathbf {r} (t)}$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{2}(t)=\mathbf {x} _{cm}(t)-{\frac {m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}\mathbf {r} (t)}$ como puede verificarse por sustitución en las ecuaciones de definición de ${\displaystyle \mathbf {x} _{cm}(t)}$ y ${\displaystyle \mathbf {r} (t)}$. Propiedades del movimiento El movimiento de dos cuerpos es plano El movimiento de dos cuerpos siempre está en un plano. Definamos la cantidad de movimiento ${\displaystyle \mathbf {p} =\mu {\dot {\mathbf {r} }}}$ y el momento angular ${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} }$ La variación con el tiempo del momento angular o cinético es igual al momento de fuerza ${\displaystyle \mathbf {N} }$ ${\displaystyle {\frac {d\mathbf {L} }{dt}}={\dot {\mathbf {r} }}\times \mu {\dot {\mathbf {r} }}+\mathbf {r} \times \mu {\ddot {\mathbf {r} }}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} =\mathbf {N} }$ Como la fuerza entre las dos partículas está en la línea que las une y por tanto es paralela al radio vector ${\displaystyle \mathbf {F} \propto \mathbf {r} }$, el producto vectorial entre el vector de posición y la fuerza es nulo ${\displaystyle \mathbf {r} \times \mathbf {F} =0}$. Así que el momento es nulo y el momento angular o cinético es constante. Si el vector momento angular ${\displaystyle \mathbf {L} }$ es constante, entonces, el vector de posición ${\displaystyle \mathbf {r} }$ y su velocidad ${\displaystyle {\dot {\mathbf {r} }}}$ están siempre en el mismo plano, normal a ${\displaystyle \mathbf {L} }$. Ley de las áreas Es útil a menudo cambiar a las coordenadas polares, desde que el movimiento está en un plano y, para muchos problemas físicos, la fuerza ${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )}$ sólo es una función del radio ${\displaystyle r}$ (es una fuerza central). Al moverse durante un instante de tiempo el vector de posición ${\displaystyle {\vec {r}}}$ describe un área elemental ${\displaystyle d{\mathcal {A}}}$ que vale: ${\displaystyle d{\mathcal {A}}={\frac {r^{2}d\theta }{2}}}$, así que la velocidad areolar o área barrida por el vector de posición en la unidad de tiempo es: ${\displaystyle {\frac {d{\mathcal {A}}}{dt}}={\frac {r^{2}{\dot {\theta }}}{2}}}$. El módulo del momento angular ${\displaystyle L=\mu r^{2}\omega }$ donde ${\displaystyle \omega \equiv {\dot {\theta }}}$. Así que se puede expresar la velocidad areolar en función del momento angular ${\displaystyle {\frac {d{\mathcal {A}}}{dt}}={\frac {L}{2\mu }}={\frac {C}{2}}=cte}$ con ${\displaystyle C=L/\mu \,}$ "constante de las áreas". Esta ley de las áreas fue enunciada empíricamente por primera vez en 1609 por Johannes Kepler y explica el movimiento de los planetas alrededor del Sol constituyendo la segunda ley de Kepler. Conviene recalcar que este hecho es una propiedad general del movimiento de las fuerzas centrales y es por tanto más general que las fuerzas de la gravitación inversamente proporcionales al cuadrado de la distancia. El movimiento de un planeta en el plano de su órbita, se compone de dos movimientos, uno el ángulo que gira el radio vector y el otro su acercamiento o alejamiento del primario, es decir la variación del módulo del radio vector con el tiempo. La ley de las áreas determina que, un cuerpo gira más rápido cuando está cerca y lento cuando está lejos y lo hace cuantitativamente, como para poder establecer el ángulo de giro, aunque resulta difícil. Para obtener el ángulo de giro E con el tiempo hay que expresar está fórmula de otra manera: ${\displaystyle M=E-e\sin E\;}$ Esta fórmula se denomina Ecuación de Kepler, donde M es la anomalía media, e es la excentricidad y E la anomalía excéntrica. Sólo queda saber como varía ${\displaystyle r}$ con el tiempo y eliminando t entre las dos euaciones obtener la órbita. La órbita Newton dijo que "todo objeto en el universo atrae a otro objeto a lo largo de la línea que une el centro de los objetos, (fuerza central) proporcional a las masas de cada objeto, e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellos." Por la segunda ley de Newton la aceleración a es de la forma ${\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {d^{2}\mathbf {r} }{dt^{2}}}=f(r){\hat {\mathbf {r} }}.}$ En coordenadas polares la velocidad, asumiendo que la órbita está en el plano OXY vale: ${\displaystyle {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}={\dot {r}}{\hat {\mathbf {r} }}+r{\dot {\theta }}{\hat {\boldsymbol {\theta }}},}$ y la aceleración: ${\displaystyle {\frac {d^{2}\mathbf {r} }{dt^{2}}}=({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}){\hat {\mathbf {r} }}+(r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}){\hat {\boldsymbol {\theta }}}.}$ La aceleración en componentes y dado que sólo tiene componente radial: ${\displaystyle {\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}=f(r),}$ ${\displaystyle r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}=0.}$ Sustituyendo ${\displaystyle {\ddot {\theta }}}$ y ${\displaystyle {\dot {r}}}$, la segunda ecuación queda: ${\displaystyle r{d{\dot {\theta }} \over dt}+2{dr \over dt}{\dot {\theta }}=0}$ Separando variables: ${\displaystyle {\frac {d{\dot {\theta }}}{\dot {\theta }}}=-2{\frac {dr}{r}}.}$ La integración resulta: ${\displaystyle \ln {\dot {\theta }}=-2\ln r+\ln \ell ,}$ donde hemos añadido la constante de integración. Sabemos que momento angular específico (por unidad de masa) vale: ${\displaystyle \ell =r^{2}{\dot {\theta }}}$, Tomando logaritmos: ${\displaystyle \ln \ell =\ln r^{2}+\ln {\dot {\theta }},}$ Trescientos años de experiencia avalan el cambio de variable: ${\displaystyle r={\frac {1}{u}},}$ Derivando: ${\displaystyle {\dot {r}}=-{\frac {1}{u^{2}}}{\dot {u}}=-{\frac {1}{u^{2}}}{\frac {d\theta }{dt}}{\frac {du}{d\theta }}=-\ell {\frac {du}{d\theta }},}$ Volviendo a derivar y teniendo presente que ${\displaystyle {\dot {\theta }}=u^{2}\ell }$ ${\displaystyle {\ddot {r}}=-\ell {\frac {d}{dt}}{\frac {du}{d\theta }}=-\ell {\dot {\theta }}{\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}=-\ell ^{2}u^{2}{\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}.}$ La ecuación de movimiento en ${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}}$ ${\displaystyle {\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}=f(r),}$ queda: ${\displaystyle {\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}+u=-{\frac {1}{\ell ^{2}u^{2}}}f\left({\frac {1}{u}}\right).}$ La ley de Newton de la gravitación indica que la fuerza por unidad de masa es: ${\displaystyle f\left({1 \over u}\right)=f(r)=-\,{GM \over r^{2}}=-GMu^{2}}$ donde G es la constante de gravitación universal y M es la masa de la estrella. Resulta, ${\displaystyle {\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}+u={\frac {GM}{\ell ^{2}}}}$ Esta ecuación diferencial tiene la solución general: ${\displaystyle u={\frac {GM}{\ell ^{2}}}{\bigg [}1+e\cos(\theta -\theta _{0}){\bigg ]}.}$ donde e and θ0 son constantes arbitrarias de integración. Reemplazando u por 1/r y haciendo θ0 = 0: ${\displaystyle r={1 \over u}={\frac {\ell ^{2}/GM}{1+e\cos \theta }}}$ Ésta es la ecuación de una cónica con excentricidad e y origen en un foco. Por tanto, la primera ley de Kepler es un resultado directo de la ley de la gravitación de Newton y de la segunda ley de Newton del movimiento. θ recibe el nombre de anomalía verdadera normalmente se representa por V es el ángulo que forma el radio vector con el periastro y se relaciona fácilmente con la anomalía excéntrica E. Si 0elipse

Si e>1, la órbita es una hipérbola

Si e=1, la órbita es una parábola

Extensiones relativistas y cuántica

Mecánica relativista

En mecánica relativista el problema de los dos cuerpos es más complicado debido a que no es posible postular una acción a distancia y por tanto el efecto de un cuerpo sobre otro depende no de su posición actual sino de su posición en un instante ligeramente anterior. Además el problema gravitatorio de los dos cuerpos ni siquiera admite una formulación exacta en la teoría de la relatividad especial y requiere del uso del formalismo de la teoría de la relatividad general, donde la geometría del espacio-tiempo es variable.

Además dos cuerpos que actúan uno sobre otro mediante interacciones electromagnéticas o gravitatorias deben emitir ondas electromagnéticas y gravitatorias, por lo que dicho problema siempre implicará la existencia de un campo continuo que radia energía desde el centro de masa hacia afuera. Esto impide un el tratamiento del problema de los dos cuerpos como un sistema cerrado que conserva la energía total.

Mecánica cuántica

El problema de los dos cuerpos atraídos por fuerzas electromagnéticas admite una solución en mecánica cuántica. De hecho el átomo hidrogenoide es un caso particular del problema de los dos cuerpos en su versión cuántica. Es notorio que en este caso el movimiento no es estrictamente plano. Por ejemplo los electrones estabilizados alrededor de un núcleo atómico tienen una probabilidad no nula de encontrarse en cualquier plano que contenga al núcleo a diferencia de lo que pasa con el problema de los dos cuerpos clásicos donde las partículas están siempre contenidas en un plano.