Fórmula de Abel-Plana es una fórmula descubierta independiente por Abel (1823) y Plana (1820) en la que se expresa resultado de una serie en función de ciertas integrales. En concreto:

$\sum _{n=0}^{\infty }f(n)=\int _{0}^{\infty }f(x)\,dx+{\frac {1}{2}}f(0)+i\int _{0}^{\infty }{\frac {f(iy)-f(-iy)}{e^{2\pi y}-1}}\,dy.$

Esta fórmula es válida para funciones

f(z)

que sean holomorfas en la región

{\text{Re}}(z)\geq 0

del plano complejo que satisfagan una condición de crecimiento adecuado en esta región. Por ejemplo, es condición suficiente asumir que

|f(z)|

está acotada por

C/|z|^{1+\epsilon }

en esta región para alguna constante

C>0

, aunque la fómrula sigue siendo válida para cotas mucho menos estrictas. (Olver, 1997, p.290).

Por ejemplo, se puede expresar a la función zeta de Hurwitz como

$\zeta (s,\alpha )=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(n+\alpha )^{s}}}={\frac {\alpha ^{1-s}}{s-1}}+{\frac {1}{2\alpha ^{s}}}+2\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin \left(s\arctan \left({\frac {y}{\alpha }}\right)\right)}{(y^{2}+\alpha ^{2})^{\frac {s}{2}}}}{\frac {dy}{e^{2\pi y}-1}},$

fórmula válida

\forall s\in \mathbb {C}

. En el caso particular

\alpha =1

tenemos la función zeta de Riemann, que se puede escribir como:

$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}={\frac {1}{s-1}}+{\frac {1}{2}}+2\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin \left(s\arctan \left(y\right)\right)}{(y^{2}+1)^{\frac {s}{2}}}}{\frac {dy}{e^{2\pi y}-1}},$

fórmula también válida

\forall s\in \mathbb {C}

. Abel también desarrolló la siguiente fórmula para series alternantes:

$\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}f(n)={\frac {1}{2}}f(0)+i\int _{0}^{\infty }{\frac {f(iy)-f(-iy)}{2\sinh(\pi y)}}\,dy.$

En una aplicación de la fórmula Abel-Plana

Answer4por voto favorita

Refiriéndose a una pregunta anterior , estoy teniendo un tiempo difícil tratando de hacer la integral:

$F (s) = - yo \int_{0}^{\infty} \frac{Iniciar sesión [1 + \frac{{(s Iniciar sesión (1 + yo x))}^{2}}{4 π^{2}}] - Iniciar sesión [1 + \frac{{(s Iniciar sesión (1 - yo x))}^{2}}{4 π^{2}}]}{{mi}^{2 π x} - 1} re x$

s

ser un parámetro complejo. He tratado de aplicar la fórmula de Abel-Plana. Es decir, tenemos:

\int Iniciar sesión (1 + \frac{(s Iniciar sesión (1 + x))^{2}}{4 π^{2}}) re x = (1 + x) Iniciar sesión (1 + \frac{(s Iniciar sesión (1 + x))^{2}}{4 π^{2}})

- {mi}^{2 π yo / s} Ei (Iniciar sesión (1 + x) - \frac{2 π yo}{s}) - {mi}^{- 2 π yo / s} Ei (Iniciar sesión (1 + x) + \frac{2 π yo}{s})

Cuando

Ei (\cdot)

Ei (\cdot)

Ei (\cdot)

Ei (\cdot)

Ei (\cdot)

es la función integral exponencial. De este modo, mediante la aplicación directa de la Plana-Able fórmula:

F (s) = {mi}^{2 π yo / s} Ei (- \frac{2 π yo}{s}) + {mi}^{- 2 π yo / s} Ei (\frac{2 π yo}{s})

+ lim_{norte \to \infty} (1 + norte) Iniciar sesión (1 + \frac{{(s Iniciar sesión (1 + norte))}^{2}}{4 π^{2}})

- {mi}^{2 π yo / s} Ei (Iniciar sesión (1 + norte) - \frac{2 π yo}{s}) - {mi}^{- 2 π yo / s} Ei (Iniciar sesión (1 + norte) + \frac{2 π yo}{s})

- Σ_{norte = 0}^{norte} Iniciar sesión (1 + \frac{(s Iniciar sesión (1 + norte))^{2}}{4 π^{2}})

Sin embargo, no he podido obtener un resultado significativo del límite todavía.

EDIT: Utilizando la estimación asintótica de la función integral exponencial, el límite se reduce a:

lim_{norte \to \infty} Σ_{norte = 1}^{norte} [Iniciar sesión (1 + \frac{(s Iniciar sesión norte)^{2}}{4 π^{2}}) - Iniciar sesión (1 + \frac{(s Iniciar sesión norte)^{2}}{4 π^{2}})] - norte (\frac{2 Iniciar sesión norte}{(Iniciar sesión norte)^{2} + \frac{4 π^{2}}{s^{2}}})

2 lim norte \to \infty Σ n = 1 norte ⎡ ⎣ \int Iniciar sesión norte Iniciar sesión norte x x 2 + 4 π 2 s 2 re x - ⎛ ⎝ Iniciar sesión norte ( registro norte ) 2 + 4 π 2 s 2 ⎞ ⎠ ⎤ ⎦

La aguja de Buffon es un clásico problema de probabilidad geométrica, de realización práctica y cuyo interés radica en que es un método difícil para ir aproximando el valor del número π a partir de sucesivos intentos. Fue planteado por el naturalista francés Buffon en 1733 y reproducido por él mismo ya resuelto en 1757 . Se trata de lanzar una aguja sobre un papel en el que se han trazado rectas paralelas distanciadas entre sí de manera uniforme. Se puede demostrar que si la distancia entre las rectas es igual a la longitud de la aguja, la probabilidad de que la aguja cruce alguna de las líneas es

2/\pi

De esa manera:

\pi ={\frac {2N}{A}}

siendo N el número total de intentos y A el número de veces que la aguja ha cruzado alguna línea.

Si la aguja es más corta que la distancia entre las rectas la probabilidad disminuye proporcionalmente al cociente entre la longitud de la aguja y la distancia entre las rectas, tomando el valor

2L/(D\pi )

donde L es la longitud de la aguja y D la interdistancia entre las rectas.

En este caso:

\pi ={\frac {2NL}{AD}}

La tercera situación, en que la longitud de la aguja es mayor que la distancia entre las rectas lleva a un resultado bastante más complicado.

Una generalización obvia de este problema es el problema de la Aguja de Buffon-Laplace, donde la aguja, en vez de lanzarse sobre un papel rayado, se lanza sobre una cuadrícula. Se llama de Buffon-Laplace pues aunque Buffon lo resolvió también en 1777, su solución contenía un error. Fue corregido por Laplace en 1812.