Epónimos relacionados con las matemáticas

dimensión de Hausdorff o dimensión de Hausdorff-Besicovitch es una generalización métrica del concepto de dimensión de un espacio topológico, que permite definir una dimensión fraccionaria (no entera) para un objeto fractal.

La medida fue introducida hacia 1917 por Hausdorff, aunque fue estudiada mucho más extensivamente por Besicovitch a quien se deben la mayoría de los resultados teóricos y teoremas concernientes tanto a la medida de Hausdorff como a la dimensión fractal.

Ejemplo de estimación de la dimensión de Hausdorff-Besicovitch para la costa de gran Bretaña.

Medida de Hausdorff

Contenido de Hausdorff de un conjunto: para valores de la dimensión inferiores a la dimensión de Haussdorff el contenido de Hausdorff es infinito, para valores superiores el contenido es cero. Sólo para un valor igual a la dimensión de Hausdorff el contenido es una cantidad positiva y finita.

Sea ${\displaystyle \scriptstyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}$ un conjunto no vacío. El diámetro de ${\displaystyle \scriptstyle U}$ se define como

${\displaystyle |U|=\sup\{|x-y|:x,y\in U\}}$

Sea ahora ${\displaystyle I\,}$ un conjunto arbitrario de índices. La colección ${\displaystyle \{U_{i}\}_{i\in I}}$ se denomina ${\displaystyle \delta }$-recubrimiento de ${\displaystyle F\,}$ si:

• ${\displaystyle F\subset \bigcup _{i\in I}U_{i}}$; y
• ${\displaystyle 0<|U_{i}|\leq \delta }$, para cada ${\displaystyle i\in I}$.

Sea ${\displaystyle F\subset \mathbb {R} ^{n}}$ y ${\displaystyle s}$ un número no negativo. Para cualquier ${\displaystyle \delta >0}$ se define:

${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\delta }^{s}(F)=\inf \left\{\sum _{i=1}^{\infty }|U_{i}|^{s}\right\}}$

en donde el ínfimo se toma sobre todos los ${\displaystyle \delta }$-recubrimientos numerables de ${\displaystyle F}$. Es posible verificar que ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\delta }^{s}}$ es de hecho una medida exterior en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$.

La medida exterior ${\displaystyle s}$-dimensional de Hausdorff del conjunto ${\displaystyle F}$ se define como el valor:

${\displaystyle {\mathcal {H}}^{s}(F)=\displaystyle \lim _{\delta \rightarrow 0}{\mathcal {H}}_{\delta }^{s}(F)}$

Este límite existe, sin embargo, como ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\delta }^{s}}$ crece cuando ${\displaystyle \delta }$ decrece, puede ser infinito.

Es fácil ver que ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{s}}$ es una medida exterior, así que, por el Teorema de Carathéodory, la restricción de ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{s}}$ a los conjuntos ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{s}}$-medibles es de hecho una medida, llamada medida s-dimensional de Hausdorff.

La medida de Hausdorff generaliza la idea de longitud, área y volumen. La medida de dimensión cero cuenta el número de puntos en un conjuntos si el conjunto es finito, o es infinita si el conjunto lo es. La medida unidimensional mide la longitud de una curva suave en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. La medida bidimensional de un conjunto en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ es proporcional a su área y análogamente la medida tridimensional de un conjunto en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ es proporcional a su volumen.

Para todo conjunto ${\displaystyle F\subset \mathbb {R} ^{n}}$ existe ${\displaystyle s_{o}\leq n}$ con la propiedad: ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{s}(F)=\left\{{\begin{array}{rcl}\infty &{\textrm {para}}&ss_{0}\end{array}}\right.}$

Un gráfico de ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{s}}$ en función de ${\displaystyle s}$ (Ver figura) muestra que existe un valor crítico de ${\displaystyle s}$ en el cual ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{s}}$ cambia súbitamente de ${\displaystyle \infty }$ a ${\displaystyle 0}$.

El comportamiento de ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{s}(F)}$ puede explicarse de la siguiente manera: Se cubre el conjunto ${\displaystyle F}$ con infinitos conjuntos de diámetro pequeño ${\displaystyle \delta \rightarrow 0}$ y se calcula la suma de dichos diámetros elevados a la ${\displaystyle s}$-ésima potencia. Si ${\displaystyle s}$ es pequeño, dichas potencias tienden a ${\displaystyle 1}$ lo cual produce que la suma diverja. Si ${\displaystyle s}$ es grande, las ${\displaystyle s}$-ésimas potencias tienen a cero y la suma tiende a anularse.

Dimensión fractal de Hausdorff-Besicovitch

La dimensión de Hausdorff se define como:

${\displaystyle {\text{dim}}_{H}(F):=\sup\{s:{\mathcal {H}}^{s}(F)=\infty \}:=\inf\{s:{\mathcal {H}}^{s}(F)=0\}}$

Relación entre dimensiones fractales

La dimensión de Hausdorff-Besicovitch siendo similar numéricamente a otras dimensiones fractales, en general resulta no mayor que todas ellas, siendo para la mayoría de fractales clásicos coincidente con el resto de dimensiones fractales (generalmente más sencillas de calcular). De hecho ha podido demostrarse la siguiente cadena de desigualdades:

${\displaystyle D_{T}\leq D_{HB}\leq D_{MB}\leq D_{E}\leq D_{C}\,}$

Donde:

${\displaystyle D_{T}\,}$ es la dimensión topológica que es siempre un entero.

${\displaystyle D_{HB}\,}$ es la dimensión de Hausdorff-Besicovitch que para los fractales clásicos suele ser un número irracional.

${\displaystyle D_{MB}\,}$ es la dimensión de Minkowski-Bouligand o de conteo de cajas, a veces llamada dimensión de Hausdorff.

${\displaystyle D_{E}\,}$ es la dimensión de empaquetado.

${\displaystyle D_{C}\,}$ es la dimensión del espacio euclídeo que contiene al fractal.

La primera desigualdad ${\displaystyle \scriptstyle D_{T}\ \leq \ D_{HB}}$ se conoce como desigualdad de Szpilrajn y es uno de los principales resultados de la geometría fractal.

distancia de Chebyshov (o métrica máxima, o métrica L_∞) es una métrica¹ definida en un espacio vectorial donde la distancia entre dos puntos (representados por sus vectores) es la mayor de sus diferencias a lo largo de cualquiera de sus dimensiones coordenadas.¹  Debe su nombre al matemático ruso Pafnuti Chebyshov.

También es conocida como distancia del tablero de ajedrez, porque coincide con el número mínimo de movimientos que necesita el rey para ir de una casilla a otra (este caso se corresponde a un sistema de dos coordenadas espaciales, entre los centros de las casillas, y con los ejes alineados con los bordes del tablero¹ ). Por ejemplo, la distancia de Chebyshov entre los escaques f6 y e2 es igual a 4.

Definición

La distancia de Chebyshov entre dos vectores o puntos p y q, de coordenadas normales ${\displaystyle p_{i}}$ y ${\displaystyle q_{i}}$, respectivamente, es:

${\displaystyle D_{\rm {Chebyshov}}(p,q):=\max _{i}(|p_{i}-q_{i}|).\ }$

Esto equivale al límite del espacio métrico L_p:

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }{\bigg (}\sum _{i=1}^{n}\left|p_{i}-q_{i}\right|^{k}{\bigg )}^{1/k},}$

Por ello es también conocido como  L_∞ métrico.

Matemáticamente, la distancia de Chebyshov es una métrica inducida por una norma suprema o norma uniforme. Es un ejemplo de un métrica inyectiva.

En dos dimensiones, por ejemplo, en la geometría plana , si los puntos p y q tienen coordenadas cartesianas ${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$ y ${\displaystyle (x_{2},y_{2})}$, su distancia de Chebyshov es:

${\displaystyle D_{\rm {Chev}}=\max \left(\left|x_{2}-x_{1}\right|,\left|y_{2}-y_{1}\right|\right).}$

Bajo esta métrica, un circunferencia de radio r, es el conjunto de puntos con distancia de Chebyshov r respecto a un punto central, y coincide con un cuadrado cuyos lados tienen longitud 2r y son paralelos a los ejes de coordenadas.

En un tablero de ajedrez, donde se utiliza una distancia de Chebyshov discreta en vez de continua, el círculo de radio r es un cuadrado de lado 2r, conteniendo únicamente los centros de las casillas. Cada lado contiene 2r+1 puntos; por ejemplo, el círculo de radio 1 en un tablero de ajedrez es un cuadrado de 3×3.

Propiedades

En un espacio unidimensional, toda métrica L_p es igual, y coincide con el valor absoluto de la diferencia de sus coordenadas.

En el caso de la distancia de Manhattan bidimensional, los círculos también tienen forma de cuadrado, con lados de longitud ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle r}$, y orientado en un ángulo de π/4 (45°) respecto a los ejes de coordenadas. En consecuencia, la distancia de Chebyshov en el plano puede considerarse equivalente mediante rotación y escala a la distancia de Manhattan planar.

Aun así, esta equivalencia entre las métricas L₁ y L_∞ no se generaliza a dimensiones más altas. Una esfera formada utilizando la distancia de Chebyshov como métrica es un cubo con cada cara perpendicular a cada uno de los ejes de coordenadas, pero una esfera formada con la distancia de Manhattan es un octaedro: estos dos poliedros son duales, pero entre los cubos, sólo el cuadrado y el segmento de línea unidimensional son politopos autoduales.

La distancia de Chebyshov es a veces utilizada en logística de almacenes, para medir el tiempo efectivo que una grúa puente necesita para desplazar un objeto cuando la grúa puede moverse en los ejes x e y al mismo tiempo y con la misma velocidad a lo largo de cada eje.¹

En una rejilla regular (como un tablero de ajedrez), los puntos a distancia de Chebyshov de valor 1 respecto a un punto dado, son el "vecindario de Moore" de aquel punto.

La distancia de Chebyshov entre dos casillas del tablero de ajedrez coincide con el mínimo número de movimientos necesarios para que la ficha del rey se desplace entre ellas. Esto es debido a que el rey se puede mover tanto en diagonal como en horizontal o vertical. En el tablero figuran las distancias de Chebyshov desde la casilla f6.