Epónimos relacionados con las matemáticas

Criterio de condensación de Cauchy es una prueba de convergencia para una serie infinita, que toma su nombre Augustin Louis Cauchy, matemático francés. Sea

${\displaystyle {a_{n}}}$

una serie monótona de números positivos decrecientes, entonces

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{a_{n}}}$

converge si y sólo si la serie ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{2^{n}a_{2^{n}}}}$ converge. Por otra parte, en este caso tenemos

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }f(n)\leq \sum _{n=0}^{\infty }2^{n}f(2^{n})\leq 2\sum _{n=1}^{\infty }f(n).}$

Una visión geométrica es que nos aproximamos a la suma de trapecios en cada ${\displaystyle 2^{n}}$. Otra explicación es que, como en la analogía entre las sumas finitas e integrales, la "condensación" de los términos es análoga a una sustitución de una función exponencial. Esto se hace más evidente en ejemplos como

${\displaystyle \ f(n)=n^{-a}(\log n)^{-b}(\log \log n)^{-c}.}$

Aquí las series definitivamente convergen para un a > 1, y diverge para a < 1. Cuando a = 1, el criterio de transformación esencialmente da la serie

${\displaystyle \sum n^{-b}(\log n)^{-c}}$

El logaritmo 'cambia hacia la izquierda'. Así entonces para a = 1, tenemos convergencia para b > 1, divergencia para b < 1. Cuando b = 1 el valor de c es necesario.

Demostración

Sea f(n) positiva, una secuencia no creciente de números reales. Para simplificar la notación, escribiremos a_n = f(n). Investigaremos las series ${\displaystyle a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots }$. El criterio de condensación sigue de la observación si reunimos los términos de la serie en grupos de longitud ${\displaystyle 2^{n}}$, cada uno de estos grupos será menor que ${\displaystyle 2^{n}}$ a ${\displaystyle 2^{n}a_{2^{n}}}$ por monotonía. Observemos:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}&=a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}+a_{6}+a_{7}+\cdots +a_{2^{n}}+a_{2^{n}+1}+\cdots +a_{2^{n+1}-1}+\cdots \\&=a_{1}+\underbrace {a_{2}+a_{3}} _{\leq a_{2}+a_{2}}+\underbrace {a_{4}+a_{5}+a_{6}+a_{7}} _{\leq a_{4}+a_{4}+a_{4}+a_{4}}+\cdots +\underbrace {a_{2^{n}}+a_{2^{n}+1}+\cdots +a_{2^{n+1}-1}} _{\leq a_{2^{n}}+a_{2^{n}}+\cdots +a_{2^{n}}}+\cdots \\&\leq a_{1}+2a_{2}+4a_{4}+\cdots +2^{n}a_{2^{n}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }2^{n}a_{2^{n}}.\end{aligned}}}$

Usamos el hecho que la secuencia a_n no es creciente, por lo tanto ${\displaystyle a_{n}\leq a_{m}}$ siempre que ${\displaystyle n\geq m}$. La convergencia de la serie original ahora sigue de una directa comparación a esta serie "condensada". Para ver la convergencia de la serie original implica la convergencia de esta última, de manera similar ponemos,

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=0}^{\infty }2^{n}a_{2^{n}}&=\underbrace {a_{1}+a_{2}} _{\leq a_{1}+a_{1}}+\underbrace {a_{2}+a_{4}+a_{4}+a_{4}} _{\leq a_{2}+a_{2}+a_{3}+a_{3}}+\cdots +\underbrace {a_{2^{n}}+a_{2^{n+1}}+\cdots +a_{2^{n+1}}} _{\leq a_{2^{n}}+a_{2^{n}}+a_{(2^{n}+1)}+a_{(2^{n}+1)}+\cdots +a_{(2^{n+1}-1)}}+\cdots \\&\leq a_{1}+a_{1}+a_{2}+a_{2}+a_{3}+a_{3}+\cdots +a_{n}+a_{n}+\cdots =2\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}.\end{aligned}}}$

Teniendo una convergencia, nuevamente por comparación directa. Se observa que se obtiene un estimado

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\leq \sum _{n=0}^{\infty }2^{n}a_{2^{n}}\leq 2\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$.

 criterio de Leibniz es un método, debido a Gottfried Leibniz, utilizado para demostrar la convergencia de series alternadas.

Una serie alternada es aquella de la forma:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}(-1)^{n}}$ con a_n ≥ 0.

Entonces, la serie convergerá si la sucesión a_n es monótona decreciente y convergente a cero (han de cumplirse ambas condiciones). Además, si

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}(-1)^{n}=L}$

y

${\displaystyle S_{k}=\sum _{n=1}^{k}a_{n}(-1)^{n}}$

la suma parcial S_k aproxima la suma de la serie con error

${\displaystyle \left|S_{k}-L\right\vert \leq \left|S_{k}-S_{k+1}\right\vert =a_{k}}$

La inversa en general no es cierta.

 criterio de Li es una declaración particular sobre la positividad de ciertas secuencias que es completamente equivalente a la hipótesis de Riemann. El criterio es llamado así por el matemático Xian-Jin Li, el cual lo propuso en 1997. Recientemente, Enrico Bombieri y Jeffrey C. Lagarias proporcionaron una generalización, mostrando que la condición de positividad de Li se aplica a cualquier colección de puntos que se encuentre sobre la recta Re (s) = 1/2.

Definición

La función ξ de Riemann se define como

${\displaystyle \xi (s)={\frac {1}{2}}s(s-1)\pi ^{-s/2}\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s)}$

donde ζ(s) es la función zeta de Riemann. Considérese la secuencia

${\displaystyle \lambda _{n}={\frac {1}{(n-1)!}}\left.{\frac {d^{n}}{ds^{n}}}\left[s^{n-1}\log \xi (s)\right]\right|_{s=1}.}$

El criterio de Li es entonces la declaración que

La hipótesis de Riemann es completamente equivalente a sentencia ${\displaystyle \lambda _{n}>0}$ para cualquier entero positivo n.

Los números ${\displaystyle \lambda _{n}}$ también pueden expresarse en términos de los ceros no triviales de la función zeta de Riemann:

${\displaystyle \lambda _{n}=\sum _{\rho }\left[1-\left(1-{\frac {1}{\rho }}\right)^{n}\right]}$

donde la suma se extiende sobre ρ, los ceros no triviales de la función zeta. Esta suma condicionalmente convergente podría ser entendida en el sentido que es el habitualmente usado en teoría de números, es decir, que

${\displaystyle \sum _{\rho }=\lim _{N\to \infty }\sum _{|\Im (\rho )|\leq N}.}$

Una generalización

Bombieri y Lagarias demostraron que un criterio similar se cumple para cualquier colección de números complejos, y por tanto, no está restringido a la hipótesis de Riemann únicamente. Más precisamente, sea R = {ρ} cualquier colección de números complejos ρ, que no contienen ρ = 1, la cual cumple que

${\displaystyle \sum _{\rho }{\frac {1+\left|\Re (\rho )\right|}{(1+|\rho |)^{2}}}<\infty .}$

Entonces se pueden hacer varias declaraciones equivalentes sobre dicho conjunto. Una de esas declaraciones es la siguiente:

Se tiene que ${\displaystyle \Re (\rho )\leq 1/2}$ para todo ρ si y sólo si

${\displaystyle \sum _{\rho }\Re \left[1-\left(1-{\frac {1}{\rho }}\right)^{-n}\right]\geq 0}$

para todos los enteros positivos n.

Se pueden hacer más declaraciones interesantes, si el conjunto R obecece a cierta ecuación funcional bajo la sustitución s ↦ 1 − s. Es decir, si, siempre que ρ esté en R, entonces el complejo conjugado ${\displaystyle {\overline {\rho }}}$ y ${\displaystyle 1-\rho }$ están en R, luego el criterio de Lie puede ser expresado como:

Se tiene que Re(ρ) = 1/2 para todo ρ si y sólo si

${\displaystyle \sum _{\rho }\left[1-\left(1-{\frac {1}{\rho }}\right)^{n}\right]\geq 0.}$

Bombieri y Lagarias también mostraron que el criterio de Li' se deriva del criterio de Weil para la hipótesis de Riemann.