Matemáticas - Polinomios

polinomio P(X) es separable sobre un cuerpo K si sus raíces en una clausura algebraica de K son distintas - es decir P(X) tiene factores lineales distintos en una extensión de cuerpo suficientemente grande. Equivalentemente, P es separable si y solo si es coprimo con su derivada P′.

Los polinomios irreducibles sobre un cuerpo perfecto son separables, lo que incluye en particular todos los cuerpos de característica 0, y todos los cuerpos finitos. Este criterio es de vital importancia en la teoría de Galois. En este contexto, el concepto de separabilidad es de menor importancia si P no se supone irreducible, ya que las raíces repetidas pueden simplemente reflejar que P no es libre de cuadrados.

El criterio que nos lleva a sacar conclusiones rápidas sobre si P es irreducible y no separable es que P′(X) = 0. Esto solo es posible en cuerpos de característica p: necesitamos tener P(X) = Q(X^p) donde el número primo p es la característica.

A continuación veremos un ejemplo:

P(X) = X^p − T

con K un cuerpo de funciones racionales en la indeterminada T sobre un cuerpo finito con p elementos. Aquí uno puede probar directamente que P(X) es irreducible y no separable. De hecho, este es el típico ejemplo donde se puede ver la importancia de la inseparabilidad; en términos geométricos P representa la aplicación en la recta proyectiva sobre un cuerpo finito, tomando coordenadas como sus potencias p-esimas. Dichas aplicaciones son fundamentales en la geometría algebraica de cuerpos finitos.

Si L es la extensión de cuerpo K(T^1/p) (el cuerpo de descomposición de P) entonces L/K es un ejemplo de extensión de cuerpo inseparable pura. Es de grado p, pero no tiene automorfismos que dejan fija K, a parte de la identidad, ya que T^1/p es la única raíz de P. Esto muestra que la teoría de Galois no es aplicable en este entorno.

Se puede ver que el producto tensorial de cuerpos de L consigo mismo sobre K para este ejemplo tiene elementos nilpotentes no nulos. Ésta es otra manifestación de la inseparabilidad: la operación de producto tensorial en cuerpos necesita no producir un anillo que sea producto de cuerpos.

Si P(x) es separable, y sus raíces forman un grupo (un subgrupo del cuerpo K), entonces P(x) es un polinomio aditivo.

teorema de la raíz racional o la prueba de la raíz racional indica una restricción en las soluciones racionales (o raíces) de la ecuación polinómica con coeficientes enteros:

${\displaystyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{0}=0\,\!}$

Si a₀ y a_n son diferentes de cero, entonces cada solución racional x, cuando está escrita como fracción irreducible x = p/q, satisface

• p es un factor del término constante a₀, y
• q es un factor del coeficiente del término a_n.
• p y q son coprimos:

Así, una lista de las posibles raíces racionales de la ecuación se puede derivar usando la fórmula ${\displaystyle x=\pm {\frac {p}{q}}}$.

El teorema de la raíz racional es un caso especial (para un solo factor lineal) del lema de Gauss en la factorización de polinomios. El teorema de la raíz entera es un caso especial del teorema de la raíz racional si el coeficiente principal a_n = 1.

Demostración

Sea ${\displaystyle P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0}}$ para algún ${\displaystyle a_{0},...,a_{n}\in \mathbb {Z} }$, y suponga ${\displaystyle P\left({\tfrac {p}{q}}\right)=0}$ para algún coprimo ${\displaystyle p,q\in \mathbb {Z} }$:

${\displaystyle P\left({\tfrac {p}{q}}\right)=a_{n}\left({\tfrac {p}{q}}\right)^{n}+a_{n-1}\left({\tfrac {p}{q}}\right)^{n-1}+\cdots +a_{1}\left({\tfrac {p}{q}}\right)+a_{0}=0.}$

Cambiando el término constante y multiplicando por ${\displaystyle q^{n}}$,

${\displaystyle p(a_{n}p^{n-1}+a_{n-1}qp^{n-2}+...+a_{1}q^{n-1})=-a_{0}q^{n},}$

${\displaystyle q(a_{n-1}p^{n-1}+a_{n-2}qp^{n-2}+...+a_{0}q^{n-1})=-a_{n}p^{n}.}$

Todos los términos en estas ecuaciones son enteros, lo que implica ${\displaystyle p\mid a_{0}q^{n}}$ y ${\displaystyle q\mid a_{n}p^{n}}$. Pero ${\displaystyle p,q^{n}}$ y ${\displaystyle q,p^{n}}$ son coprimos. Por lo tanto, por el Lema de Euclides, ${\displaystyle p\mid a_{0}}$ y ${\displaystyle q\mid a_{n}}$.¹

Ejemplo

Por ejemplo, cada solución racional de la ecuación

${\displaystyle 3x^{3}-5x^{2}+5x-2=0\,\!}$

debe estar entre los números indicados simbólicamente por

± ${\displaystyle {\tfrac {1,2}{1,3}}\,,}$

Lo que da la lista de posibles respuestas:

${\displaystyle 1,-1,2,-2,{\frac {1}{3}},-{\frac {1}{3}},{\frac {2}{3}},-{\frac {2}{3}}\,.}$

Estos candidatos de raíces pueden ser probados usando la regla de Horner (por ejemplo). En este caso particular hay exactamente una raíz racional. Si un candidato a raíz no satisface la ecuación, puede ser usado para acortar la lista de los candidatos restantes. Por ejemplo, x = 1 no satisface la ecuación puesto que el lado izquierdo es igual a 1. Esto significa que substituyendo x = 1 + t produce un polinomio en t con el término constante 1, mientras que el coeficiente de t³ permanece igual que el coeficiente de x³. Aplicando el teorema de la raíz racional produce así las siguientes posibles raíces para t:

${\displaystyle t=\pm {\tfrac {1}{1,3}}}$

Por lo tanto,

${\displaystyle x=1+t=2,0,{\frac {4}{3}},{\frac {2}{3}}}$

Los candidatos de raíces que no ocurren en ambas listas son eliminados. La lista de candidatos racionales se ha encogido así a apenas x = 2 y x = 2/3.

Si es encontrada una raíz r₁, la regla de Horner también proporcionará un polinomio de grado n − 1 cuyas raíces, junto con r₁, son exactamente las raíces del polinomio original. Puede también ser el caso que ningunos de los candidatos sea una solución; pero en este caso, la ecuación tiene como solución racional x = 2/3. Si la ecuación carece de un término constante a₀, entonces 0 es una de las raíces racionales de la ecuación.

 teorema del factor sirve para encontrar los factores de un polinomio. Es un caso especial del teorema del resto.

El teorema del factor establece que un polinomio ${\displaystyle P(x)}$ tiene un factor ${\displaystyle (x-k)}$ si y sólo si ${\displaystyle k}$ es una raíz de ${\displaystyle P(x)}$, es decir que ${\displaystyle P(k)=0}$.

Ejemplo

Si se desean encontrar los factores de ${\displaystyle p(x)=x^{3}+7x^{2}+8x+2}$, se tantean las raíces de ${\displaystyle p(x)}$ para obtener los factores ${\displaystyle (x-k)}$. Si el resultado de sustituir ${\displaystyle k}$ en el polinomio es igual a 0 (es decir, si ${\displaystyle k}$ es raíz), se sabe que ${\displaystyle (x-k)}$ es un factor. Teniendo en cuenta que los candidatos a raíces (racionales) de ${\displaystyle p(x)}$ son ${\displaystyle \{\pm 1,\pm 2\}}$ por el teorema de la raíz racional, se va probando con ellos.

¿Es ${\displaystyle (x-1)}$ un factor de ${\displaystyle p(x)}$? Para saberlo, se sustituye ${\displaystyle x=1}$ en el polinomio:

${\displaystyle p(1)=1^{3}+7\cdot 1^{2}+8\cdot 1+2=1+7+8+2=18\neq 0}$

y se determina que ${\displaystyle (x-1)}$ no es un factor de ${\displaystyle p(x)}$. Se prueba ahora con ${\displaystyle (x-(-1))=(x+1)}$ de la misma forma; es decir, sustituyendo y comprobando si es ${\displaystyle -1}$ una raíz del polinomio:

${\displaystyle p(-1)=(-1)^{3}+7\cdot (-1)^{2}+8\cdot (-1)+2=0}$

Por tanto, ${\displaystyle (x+1)}$ es un factor porque -1 es una raíz de ${\displaystyle p(x)}$.

Para hallar otros factores, basta con probar con todos los posibles candidatos a raíces o encontrar un factor e ir dividiendo el polinomio por el factor hallado para obtener nuevos polinomios de menor grado en cada iteración; en este caso, se construiría

${\displaystyle g(x)={\frac {p(x)}{x+1}}={\frac {x^{3}+7x^{2}+8x+2}{x+1}}=x^{2}+6x+2}$

Una vez probados todos los candidatos a raíces, se concluiría que ${\displaystyle g(x)}$ no tiene factores racionales (es decir, no existen más factores de la forma ${\displaystyle (x-k)}$ con ${\displaystyle k\in \mathbb {Q} }$), por lo que ${\displaystyle p(x)}$ sólo tiene un factor racional. No obstante, por el teorema fundamental del álgebra, se sabe que ${\displaystyle p(x)}$ tiene dos factores más que serán, o ambos irracionales (${\displaystyle k\in \mathbb {R} \backslash \mathbb {Q} }$), o ambos complejos no reales (${\displaystyle k\in \mathbb {C} \backslash \mathbb {R} }$).

${\displaystyle p(x)=x^{3}+7x^{2}+8x+2=(x+1)\cdot (x^{2}+6x+2)=(x+1)\cdot (x+3+{\sqrt {7}})\cdot (x+3-{\sqrt {7}})}$

 teorema del resto afirma que el resto ${\displaystyle r\,}$, que resulta al dividir un polinomio ${\displaystyle p(x)\,}$ entre ${\displaystyle x-a\,}$, es igual a ${\displaystyle p(a)\,.}$

Esto se deduce directamente de una de las propiedades de la división, la que dice que

${\displaystyle p(x)=q(x)c(x)+r(x)\,,}$

donde ${\displaystyle p(x)\,}$ es el dividendo, ${\displaystyle q(x)\,}$ el divisor, ${\displaystyle c(x)\,}$ el cociente y ${\displaystyle r(x)\,}$ el resto y verificándose además, que el grado de ${\displaystyle r(x)\,}$ es menor que el grado de ${\displaystyle q(x)\,}$.

En efecto, si tomamos el divisor ${\displaystyle q(x)=x-a\,}$ entonces ${\displaystyle r(x)\,}$ tiene grado menor que 1 (el grado del resto es 0); es decir, es una constante que podemos llamar r, y la fórmula anterior se convierte en:

${\displaystyle p(x)=(x-a)c(x)+r\,.}$

Tomando el valor ${\displaystyle x=a\!\,}$ se obtiene que:

${\displaystyle {\frac {}{}}p(a)=r}$

El teorema del resto nos permite calcular ${\displaystyle p(a)\,}$ calculando el resto o viceversa. También puede deducirse de él, fácilmente, el teorema del factor, de gran utilidad para descomponer un polinomio en factores.

Ejemplo

Sea ${\displaystyle p(x)=x^{3}-3x^{2}-7\,}$.

Al dividir ${\displaystyle p(x)}$ por ${\displaystyle x-2}$ obtenemos el cociente

${\displaystyle c(x)=x^{2}-x-2\,}$ y el resto ${\displaystyle r=-11\,}$.

Podemos asegurar entonces, que ${\displaystyle p(2)=-11\,}$.

Teorema del factor

Una consecuencia directa es que ${\displaystyle (x-a)}$ es un factor del polinomio ${\displaystyle f(x)}$ si y sólo si ${\displaystyle f(a)=0}$.