Matemáticas - Polinomios

Polinomio característico

polinomio característico. Dicho polinomio contiene una gran cantidad de información sobre la matriz, los más significativos son los valores propios, su determinante y su traza.

Motivación

Dada una matriz cuadrada A, queremos encontrar un polinomio cuyas raíces son precisamente los valores propios de A. Para una matriz diagonal A, el polinomio característico es fácil de definir: si los elementos de la diagonal son ${\displaystyle x_{i}}$ para ${\displaystyle i=1,2,\cdots ,n}$, el polinomio característico en la indeterminada ${\displaystyle t}$ es

${\displaystyle (t-x_{1})(t-x_{2})(t-x_{3})\cdots (t-x_{n})\,\!}$

El polinomio tiene esta forma ya que los elementos de la diagonal de una matriz diagonal coinciden con sus valores propios.

Para una matriz A genérica, se puede proceder de la siguiente forma: Si λ es un valor propio de A, entonces existe un vector propio v≠0 tal que

${\displaystyle Av=\lambda v\,\!}$

o

${\displaystyle (A-\lambda I)v=0\,\!}$

(donde I es la matriz identidad). Como v es no nulo, la matriz A - λI es singular, que a su vez significa que su determinante es 0. Acabamos de ver que las raíces de la función determinante(A-t I) son los valores propios de A. Como que dicha función es un polinomio en t, ya está.

Definición formal

Sea K un cuerpo (podemos imaginar K como el cuerpo de los reales o de los complejos) y una matriz cuadrada A n-dimensional sobre K. El polinomio característico de A, denotado por p_A(t), es el polinomio definido por:

${\displaystyle p_{A}(t)=\det(A-tI),\!}$

donde I denota la matriz identidad n-por-n. Algunos autores definen el polinomio característico como det(t I-A); la diferencia radica en que esta última forma de definirlo siempre produce un polinomio mónico, mientras que la dada previamente difiere en el signo cuando la matriz tiene un número impar de valores propios. Esta diferencia es, de cualquier modo, poco relevante ya que las raíces son las mismas.

Ejemplos

Supongamos que queremos encontrar el polinomio característico de la matriz

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}2&1\\-1&0\end{pmatrix}}.}$

Debemos calcular el determinante de

${\displaystyle A-tI={\begin{pmatrix}2-t&1\\-1&-t\end{pmatrix}}}$

dicho determinante es

${\displaystyle (2-t)(-t)-1(-1)=t^{2}-2t+1=(t-1)^{2}\,\!}$

Finalmente hemos obtenido el polinomio característico de A.

Propiedades

El polinomio p_A(t) es de grado n y su coeficiente principal es ${\displaystyle -1^{n}}$. El hecho más importante sobre el polinomio característico ya fue mencionado en el párrafo de motivación: los valores propios de A son precisamente las raíces de p_A(t). El coeficiente constante p_A(0) es igual a (−1)ⁿ veces el determinante de A, y el coeficiente de t ^{n − 1} es igual a (-1)^n-1tr(A), la traza de A. Para una matriz A de 2×2, el polinomio característico se puede expresar como: t ² − tr(A)t + det(A).

Todos los polinomios reales de grado impar tienen al menos un número real como raíz, así que para todo n impar, toda matriz real tiene al menos un valor propio real. La mayoría de los polinomios reales de grado par no tienen raíces reales, pero el teorema fundamental del álgebra dice que todo polinomio de grado n tiene n raíces complejas, contadas con sus multiplicidades. Las raíces no reales de polinomios reales, por tanto valores propios no reales, aparecen en pares conjugados.

El teorema de Cayley-Hamilton dice que si reemplazamos t por A en la expresión de p_A(t) obtenemos la matriz nula: p_A(A) = 0. Es decir, toda matriz satisface su propio polinomio característico. Como consecuencia de este hecho, se puede demostrar que el polinomio mínimo de A divide el polinomio característico de A.

Dos matrices semejantes tienen el mismo polinomio característico. El recíproco no es cierto en general: dos matrices con el mismo polinomio característico no tienen porque ser semejantes.

La matriz A y su traspuesta tienen el mismo polinomio característico. A es semejante a una matriz triangular si y solo si su polinomio característico puede ser completamente factorizado en factores lineales sobre K. De hecho, A es incluso semejante a una matriz en forma canónica de Jordan.

POLINOMIO CARACTERÍSTICO Consideremos una matriz n-cuadrada arbitraria: La matriz (A - l·In), donde In es la matriz identidad n-cuadrada y l un escalar indeterminado, se denomina matriz característica de A:    Su determinante, det (A - l·In) , que es un polinomio en l, recibe el nombre de polinomio característico de A. Asimismo, llamamos a det (A - l·In) = 0 ecuación característica de A. Ejemplo: Hallar la matriz característica y el polinomio característico de la matriz A: La matriz característica será (A - l·In). Luego: y el polinomio característico, Así pues, el polinomio característico es l 2 - l + 4. Valores propios y vectores propios Sea A una matriz n-cuadrada sobre un cuerpo K. Un escalar l Î Kn se denomina un valor propio de A si existe un vector (columna) no nulo v Î Kn para el que Av = lv Todo vector que satisfaga esta relación se llama vector propio de A perteneciente al valor propio l. Los términos valor característico y vector característico (o autovalor y autovector) se utilizan con frecuencia en lugar de valor propio y vector propio. Ejemplo: Sea                        y    Así pues, v1 y v2 son vectores propios de A pertenecientes, respectivamente, a los valores propios l1 = 4 y l2 = -1 de A. Los polinomios de Bernstein o polinomios en la base de Bernstein son una clase particular de polinomios en el campo de los números reales, que son utilizados dentro del ámbito del análisis numérico. El nombre hace referencia al matemático ucraniano Sergei Natanovich Bernstein. El algoritmo de evaluación más numéricamente estable es el de De Casteljau. Definición Un polinomio de Bernstein ${\displaystyle P(x)\,}$ de orden n aproxima una función ${\displaystyle f(x)\,}$ en un intervalo, mejor cuanto mayor sea n, a partir de esta fórmula: ${\displaystyle P(x)=\sum _{i=0}^{n}{c_{i}B_{i}^{n}(x)}}$ donde los ${\displaystyle B_{i}^{n}(x)}$ son elementos de la distribución binomial respecto de la variable ${\displaystyle x\,}$ y los ${\displaystyle c_{i}\,}$ son valores de la función que queremos aproximar. Para aproximar la función en el intervalo ${\displaystyle [0,1]\,}$ estos elementos toman los siguientes valores: ${\displaystyle c_{i}=f\left({\frac {i}{n}}\right)\qquad {\text{y}}\qquad B_{i}^{n}(x)={n \choose i}x^{i}(1-x)^{n-i}}$ (aquí ${\displaystyle {n \choose i}}$ es el coeficiente binomial). y más en general transformando las ecuaciones para un intervalo ${\displaystyle [a,b]\,}$, los ${\displaystyle B_{i}^{n}(x)_{[a,b]}}$ se convierten en polinomios de la base de Bernstein: ${\displaystyle c_{i}=f\left(i\,{\frac {b-a}{n}}+a\right)\qquad {\text{y}}\qquad B_{i}^{n}(x)_{[a,b]}={n \choose i}{(x-a)^{i}(b-x)^{n-i} \over (b-a)^{n}}}$ Así, la fórmula general desarrollada es: ${\displaystyle P(x)=\sum _{i=0}^{n}{f\left(i\,{\frac {b-a}{n}}+a\right){\frac {n!}{i!(n-i)!}}{\frac {(x-a)^{i}(b-x)^{n-i}}{(b-a)^{n}}}}}$ Propiedades Polinomios de Bernstein de grado 3. Para un grado n, existen n+1 polinomios de Bernstein ${\displaystyle B_{0}^{n},\dots ,B_{n}^{n}}$ definidos sobre el intervalo ${\displaystyle [a,b]\,}$ , por ${\displaystyle B_{i}^{n}(x)_{[a,b]}={n \choose i}{(x-a)^{i}(b-x)^{n-i} \over (b-a)^{n}}}$ Estos polinomios presentan estas propiedades importantes, que cumplen para cualquier valor de ${\displaystyle x\,}$ en el intervalo ${\displaystyle [a,b]\,}$ Partición de la unidad : ${\displaystyle \qquad \sum _{i=0}^{n}B_{i}^{n}(x)=1}$ Positividad : ${\displaystyle B_{i}^{n}(x)\geq 0,\qquad \forall i\in 0\dots n}$ Simetría : ${\displaystyle B_{i}^{n}(x)=B_{n-i}^{n}(1-x),\qquad \forall i\in 0\dots n}$ Las dos primeras propiedades nos indican que forman una combinación convexa. La modificación por escala y traslación de intervalo no influye sobre los coeficientes del polinomio en cuestión. Se ha de notar la gran semejanza de estos polinomios con la distribución binomial. Para el intervalo ${\displaystyle [0,1]\,}$ existe esta fórmula de recurrencia: ${\displaystyle B_{i}^{n}(x)={\begin{cases}(1-x)B_{i}^{n-1}(x),&i=0\\(1-x)B_{i}^{n-1}(x)+xB_{i-1}^{n-1}(x),&i=1\dots n-1\\xB_{i-1}^{n-1}(x),&i=n\end{cases}}}$. Ejemplo En el caso de un polinomio de orden ${\displaystyle 2}$ la base en ${\displaystyle [0,1]\,}$ está compuesta de: ${\displaystyle B_{0}^{2}(x)={2 \choose 0}x^{0}(1-x)^{2-0}=(1-x)^{2}}$ ${\displaystyle B_{1}^{2}(x)={2 \choose 1}x^{1}(1-x)^{2-1}=2x(1-x)}$ ${\displaystyle B_{2}^{2}(x)={2 \choose 2}x^{2}(1-x)^{2-2}=x^{2}}$ Un polinomio expresado en esta base tendría entonces la forma: ${\displaystyle P(x)=c_{0}B_{0}^{2}(x)+c_{1}B_{1}^{2}(x)+c_{2}B_{2}^{2}(x)=f(0)(1-x)^{2}+2f\left({\frac {1}{2}}\right)x(1-x)+f(1)x^{2}}$ Si aproximamos ${\displaystyle f_{1}(x)=x\,}$ obtenemos el mismo polinomio: ${\displaystyle P_{1}(x)=x\,}$ si evaluamos ${\displaystyle f_{2}(x)=x^{2}\,}$ aproxima a: ${\displaystyle P_{2}(x)={\frac {x^{2}+x}{2}}\,}$ y probando con ${\displaystyle f_{3}(x)=e^{x}\,}$ resulta: ${\displaystyle P_{3}(x)=(1-x)^{2}+2{\sqrt {e}}\,x(1-x)+ex^{2}\approx \ 0.421x^{2}+1.29x+1\,}$ Aplicaciones Los polinomios de Bernstein son utilizados para demostrar el teorema de aproximación de Weierstrass y por esto son también utilizados para efectuar aproximaciones e interpolaciones de funciones como, por ejemplo, la curva de Beziér, así como para la estimación de las funciones de densidad de probabilidad: Para n que tiende al infinito, el polinomio converge uniformamente hacia la función f (x), o sea ${\displaystyle |B_{n}(x)-f(x)|\leq 5/4\ \omega (f,1/{\sqrt {n}})}$ donde ${\displaystyle \omega (f,\delta )=\sup _{|h|\leq \delta }|f(x+h)-f(x)|}$, llamado módulo de continuidad.  [Polinomios de Bernstein] Sea  una función continua. El polinomio n-ésimo de Bernstein  de la función  se define como: donde . Una construción de los polinomios de Bernstein para la función constante  sobre el intervalo , la hacemos de la siguiente forma Observemos que , . Por lo tanto,  se cumple que: lo cual nos dice que el n-ésimo polinomio de Berntein de la función constante coincide con , o sea es 1. Con esto como preámbulo y asumiendo que es continua, definimos en Mathematica el n-ésimo polinomio de Bernstein evaluado en  de la siguiente forma: In[1]:= No deja de ser interesante que Mathematica acepta ese procedimento sin dificultad, logrando resultados como los siguiente: In[2]:= Out[2]= Observemos que Mathematica no simplifica el resultado. Para lograr una expresión más simple debemos definir la siguiente regla lógica: In[3]:= Out[4]= Es decir, el polinomio n-ésimo de Bernstein de la función  coincide con , o sea es . Veamos otros ejemplos en los cuales la función  esta definida por , , , , Sen(x) + 3, respectivamente. Para la función  In[5]:= Out[5]= obtenemos que el n-ésimo polinomio de Bernstein es: Para la función  In[6]:= Out[6]= obtenemos que el n-ésimo polinomio de Bernstein es: Para la función  In[7]:= Out[7]= obtenemos que el n-ésimo polinomio de Bernstein es: Para la función  obtenemos que In[8]:= Out[8]= y para la función  obtenemos que In[9]:= Out[9]= Observe el uso que se dió a la función pura (#&), si no se usan los paréntesis el procedimiento no funciona. Los polinomios de Bernstein tiene las siguientes propiedades:     • Si  es continua entonces  es una función continua.     • Si  entonces , para toda . Además, en  se cumple que para toda  se tiene que   con la norma . Es decir, la convergencia es uniforme. La demostración se basa en los siguientes hechos: Primero, como  es continua en  entonces  es acotada y podemos elegir , con lo cual ,       Por otro lado, al ser  continua en , para cualquier  existe un  tal que para todo , , que cumplen  se tine que  Con las definiciones anteriores de , , , podemos afirmar que: Con esto, el resto de la demostración es sencilla. Esencialmente ésta es la demostración del teorema de Korovkin. (El Lic. Gerardo Araya escribió una excelente tesis de graduación sobre este tema, dirigida por el profesor Vernor Arguedas [1]) Es importante recalcar que los polinomios de Bernstein aproximan a la función , no la interpolan necesariamente. Los términos intermedios en la construcción del n-ésimo polinomio de Bernstein de la función : son muy útiles. Usando Mathematica podemos graficar los términos intermedios del polinomio de Bernstein   (observe que ): In[60]:= Out[63]= Figura 1: Gráfica de los términos intermedios del 4-ésimo polinomio de Bernstein. In[67]:= Figura 2: Términos intermedios de 4-ésimo polinomio de Bernstein.    https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/ContribucionesV5n1Jun2004/MataArguedas/index.html