Epónimos relacionados con las matemáticas

constante de Gauss, denotada mediante la letra G, es definida como la inversa de la media aritmético-geométrica de 1 y la raíz cuadrada de 2:

${\displaystyle G={\frac {1}{\mathrm {agm} (1,{\sqrt {2}})}}=0.8346268\dots }$

La constante es así llamada en honor a Carl Friedrich Gauss, quien el 30 de mayo de 1799, descubrió que

${\displaystyle G={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{1}{\frac {dx}{\sqrt {1-x^{4}}}}}$

así pues:

${\displaystyle G={\frac {1}{2\pi }}\mathrm {B} ({\begin{matrix}{\frac {1}{4}}\end{matrix}},{\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}})}$

donde B denota la función beta de Euler.

Relaciones con otras contantes

La constante de Gauss puede ser usada para expresar el valor particular de la función gamma si el argumento es 1/4:

${\displaystyle \Gamma ({\begin{matrix}{\frac {1}{4}}\end{matrix}})={\sqrt {2G{\sqrt {2\pi ^{3}}}}}}$

y puesto que π y Γ(1/4) son algebraicamente independientes con Γ(1/4) e irracionales, la constante de Gauss es también un número trascendente.

Constantes de la lemniscata

La constantes de Gauss también puede ser usada en la definición de las constantes de la lemniscata; la primera de éstas es:

${\displaystyle L_{1}\;=\;\pi G}$

y la segunda constante:

${\displaystyle L_{2}\,\,=\,\,{\frac {1}{2G}}}$

las cuales se plantean en problemas de cálculo de longitud de arco de una lemniscata.

Otras fórmulas

Una fórmula que expresa G en términos funciones theta de Jacobi es la siguiente:

${\displaystyle G=\vartheta _{01}^{2}(e^{-\pi })}$

También hay representaciones en forma de series de convergencia rápida, como puede ser la siguiente:

${\displaystyle G={\sqrt[{4}]{32}}e^{-{\frac {\pi }{3}}}\left(\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}e^{-2n\pi (3n+1)}\right)^{2}.}$

La constante puede ser expresada también mediante un producto infinito

${\displaystyle G=\prod _{m=1}^{\infty }\tanh ^{2}\left({\frac {\pi m}{2}}\right).}$

así como en forma de fracción continua mediante la siguiente secuencia: [0, 1, 5, 21, 3, 4, 14, ...].

 constante de Gelfond al número ${\displaystyle e^{\pi }\,}$, o sea, el número e elevado al número π. Establecer si este número es trascendente o no fue uno de los 23 problemas que Hilbert propuso como especialmente importantes en el Congreso Internacional de Matemáticos de 1900 en París. Que este número es trascendente (y por tanto, irracional) fue demostrado por Gelfond en 1934.

Otra de las constantes relacionadas con ésta es ${\displaystyle 2^{\sqrt {2}}}$, conocida como constante de Gelfond-Schneider.

El valor de la constante de Gelfond es

${\displaystyle e^{\pi }\approx 23.140692632...\,}$

Su valor puede hallarse mediante la fórmula recurrente

${\displaystyle k_{n}={\frac {1-{\sqrt {1-k_{n-1}^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k_{n-1}^{2}}}}}}$

con ${\displaystyle k_{0}={\frac {1}{\sqrt {2}}}.}$

Una vez llegado al término ${\displaystyle k_{n}}$ deseado, basta tomar:

${\displaystyle e^{\pi }\approx (k_{N}/4)^{-2^{1-N}}}$

 constante de Gelfond–Schneider se define como:

${\displaystyle 2^{\sqrt {2}}=2.6651441...}$.

Rodion Kuzmin demostró que era un número trascendente. Aleksandr Gelfond demostró en 1934 el teorema de Gelfond-Schneider, más general, y con ello resolvió completamente la parte del séptimo problema de Hilbert que se describe más adelante.

La raíz cuadrada de este número es el también número trascendente

${\displaystyle {\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}=1.6325269...}$

que sirve para mostrar que un número irracional elevado a la potencia de un número irracional a veces puede producir un número racional, ya que este número elevado a √2 es igual a 2.

Séptimo problema de Hilbert

Parte del séptimo de los veintitrés problemas de Hilbert planteados en 1900 consistía en demostrar (o, en su caso, encontrar un contraejemplo que refutase la conjetura) que a^b siempre es trascendente para todo número algebraico a≠0,1 y para todo número algebraico irracional b. En el discurso dio explícitamente dos ejemplos, uno de los cuales era la constante de Gelfond-Schneider 2^√2.

En 1919 pronunció un discurso sobre teoría de números y habló sobre tres conjeturas: la hipótesis de Riemann, el último teorema de Fermat y la trascendencia de 2^√2. Dijo que no esperaba que ninguno de los asistentes viviera lo suficiente como para ver una demostración de este último resultado.¹ Sin embargo, el resultado de la trascendencia de este número fue publicado en 1934,² en vida de Hilbert.

El trabajo de Kuzmin demostró el caso en que el exponente b es un número real cuadrático.

constante de Landau-Ramanujan aparece como un resultado de la teoría de números que enuncia que la proporción de los enteros positivos menores o iguales que x que son suma de dos cuadrados es, para x suficientemente grande, proporcional a

${\displaystyle 1/{\sqrt {\ln(x)}}.}$

La constante de proporcionalidad es la constante de Landau-Ramanujan.

Más formalmente, si N(x) es el número de enteros positivos menores o iguales que x que son suma de dos cuadrados, en el límite para x creciente,

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {N(x){\sqrt {\ln(x)}}}{x}}\approx 0,76422365358922066299069873125.}$

Este número es la constante de Landau-Ramanujan.

 constante de Legendre (B o B'_L) es una constante matemática que se presenta en una fórmula propuesta por Adrien-Marie Legendre que, según conjeturaba, explicaba el comportamiento asintótico de la función contador de números primos ${\displaystyle \scriptstyle \pi (x)}$. Se sabe que su valor es exactamente 1.

Historia

Tras examinar la evidencia numérica sobre los números primos disponible por entonces, Legendre conjeturó que, para valores grandes de n, ${\displaystyle \scriptstyle \pi (x)}$ satisface:

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\ln(n)-{n \over \pi (n)}=B}$

donde B es la constante de Legendre, cuyo valor consideraba alrededor de 1,08366. Eso sí, independientemente de su valor exacto, la mera existencia de B implicaba la veracidad del teorema de los números primos.

Posteriormente Carl Friedrich Gauss también examinó los datos numéricos y concluyó que el límite podría ser menor.

Charles Jean de la Vallée-Poussin demostró el teorema de los números primos (independientemente de Jacques Hadamard), y finalmente probó que B es igual a 1.

Al ser igual a un número tan sencillo, la constante de Legendre retiene eminentemente un valor histórico. Es común, aunque técnicamente incorrecto, referirse con el concepto de "constante de Legendre" a la primera estimación de 1,08366... en lugar del valor correcto.

Los 100,000 elementos de la sucesión a_n= ln(n) − n/π(n) (traza roja) parecen converger a un valor en torno a 1.08366 (línea azul).