Epónimos relacionados con las matemáticas

Las álgebras de Clifford son álgebras asociativas de importancia en matemáticas, en particular en teoría de la forma cuadrática y del grupo ortogonal y en la física. Se nombran así por William Kingdon Clifford.

Definición formal

Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo k y q : V → k una forma cuadrática en V. El álgebra de Clifford C(q) es un álgebra asociativa unital sobre k junto con la función lineal i: V → C(q) definido por la propiedad universal siguiente: para cada álgebra asociativa A sobre k con una función lineal j: V → A tal que para cada v en V se tiene j(v)² = q(v)1 (donde 1 denota la identidad multiplicativa de A), hay un homomorfismo único del álgebra f: C(q) → A tal que el diagrama siguiente conmuta

${\displaystyle {\begin{matrix}V&\to &C(q)\\\downarrow &\swarrow &\\A&&\end{matrix}}}$

es decir tal que fi = j.

El álgebra de Clifford existe y puede ser construida como sigue: tome el álgebra tensorial T(V) construida por el ideal generado por

${\displaystyle v\otimes v-q(v)1}$.

Se sigue de esta construcción que i es inyectivo, y V se puede considerar como subespacio lineal de C(q).

Sea

B(u, v) = q(u + v) - q(u) - q(v)

la forma bilineal asociada a q. Que es una consecuencia de la definición que la identidad

uv + vu = B (u, v)

vale en C(q) para cada par (u, v) de vectores en V. Si el cuerpo es de característica distinta de 2 esta expresión se puede utilizar como definición alternativa.

El álgebra de Clifford C(q) es filtrada por subespacios

k ⊂ k + V ⊂ k + V + V² ⊂ ...

de los elementos que se pueden escribir como monomios de 0, 1, 2,.. vectores en V. El álgebra graduada asociada es canónicamente isomorfa al álgebra exterior Λ V del espacio vectorial. Esto muestra en particular que

dim C(q) = 2^dim V.

Una manera más simple de considerar esto es eligiendo una base arbitraria e₁, e₂..... para V. Usando la relación de anticonmutación podemos expresar siempre un elemento del álgebra de Clifford como combinación lineal de monomios del tipo

${\displaystyle e_{i_{1}}e_{i_{2}}e_{i_{3}}\cdots e_{i_{n}},i_{1}$

que da un isomorfismo explícito con el álgebra exterior. Obsérvese que éste es un isomorfismo de espacios vectoriales, no de álgebras.

Si V tiene dimensión finita par, el cuerpo es algebraicamente cerrado y la forma cuadrática es no degenerada, el álgebra de Clifford es simple central. Así por el teorema de Artin-Wedderburn es (no canónicamente) isomorfa a un álgebra de matrices. Se sigue que en este caso C(q) tiene una representación irreducible de dimensión 2^dim(V)/2 que es única salvo un isomorfismo (no único). Éste es la famosa representación por espinor), y sus vectores se llaman espinores.

En caso de que el cuerpo k sea el cuerpo de números reales el álgebra de Clifford de una forma cuadrática de signatura p, q es generalmente denotada C(p, q). Se han clasificado estas álgebras reales de Clifford como sigue...

Las álgebras de Clifford son importantes en la física. Los físicos consideran generalmente las álgebras de Clifford expresadas por las matrices γ₁...,γ_n que tienen la propiedad que

γ_i γ_j + γ_j γ_i = 2δ_i,j

donde δ es la matriz de una forma cuadrática del tipo p,q con respecto a una base ortonormal de e₁,..., e_n.

estudio de la álgebra de clifford .- ...............:http://www.bdigital.unal.edu.co/34936/1/35167-137618-1-PB.pdf

El álgebra de Virasoro es una forma de álgebra de Lie compleja, dada como extensión central del campo vectorial de los polinomios complejos sobre la circunferencia unitaria; esta álgebra toma su nombre del físico argentino Miguel Ángel Virasoro (n. 1940).

Las álgebras de Virasoro han sido ampliamente usadas en teoría de las cuerdas.

Definición

El álgebra de Virasoro es una cobertura lineal de los elementos:

${\displaystyle L_{i}}$ para ${\displaystyle i\in \mathbf {Z} }$,

con:

${\displaystyle L_{n}+L_{-n}}$

etc, que son todos elementos reales. Cada uno es un elemento central, una carga central. El álgebra de Virasoro satisface las siguientes dos propiedades:

${\displaystyle [c,L_{n}]=0,\qquad {\text{y}}\ \quad [L_{m},L_{n}]=(m-n)L_{m+n}+c{\frac {1}{12}}(m^{3}-m)\delta _{m+n}}$

con:

1. El factor 1/12 es debido exclusivamente a una cuestión de convención.
2. El símbolo ${\displaystyle \delta _{m+n}=0}$ si ${\displaystyle m+n\neq 0}$ y ${\displaystyle \delta _{m+n}=1}$ si ${\displaystyle m+n=0}$;

se observa entonces que la relación:

${\displaystyle [L_{m},L_{n}]=(m-n)L_{m+n}+{\frac {c}{12}}(m^{3}-m)\delta _{m+n}}$

puede ser expresada en términos del símbolo de Kronecker ${\displaystyle \delta _{m+n,0}}$:

${\displaystyle [L_{m},L_{n}]=(m-n)L_{m+n}+{\frac {c}{12}}(m^{3}-m)\delta _{m+n,0}}$

Extensión de la explicación

El álgebra de Virasoro es desarrollada por los elementos

${\displaystyle L_{i}}$ para ${\displaystyle i\in \mathbf {Z} }$

y el elemento c. Entonces se tiene que

${\displaystyle L_{n}+L_{-n}}$

y c son elementos reales. c es el elemento central y se lo denomina carga central. El álgebra definida a través de conmutadores satisface:

${\displaystyle [c,L_{n}]=0}$, y ${\displaystyle [L_{m},L_{n}]=(m-n)L_{m+n}+{\frac {c}{12}}(m^{3}-m)\delta _{m,-n},}$

donde el factor ${\displaystyle 1/12}$ es una convención. El álgebra de Virasoro es la extensión central del Álgebra de Witt de campos vectoriales polinómicos complejos en el círculo.

El tensor de energía-momento de la teoría de cuerdas obedece el álgebra de Virasoro, ya que comprende los generadores del grupo conforme de la hoja de universo. Más precisamente, obedece las relaciones de conmutación de dos copias del álgebra de Virasoro. Esto se debe a que el grupo conforme se descompone en difeomorfismos separados del cono de luz futuro y pasado. La invariancia ante difeomorfismos de la hoja de universo implica adicionalmente que el tensor de energía momento se hace nulo. Esto se conoce como la "condición de Virasoro" o "restricción de Virasoro", y en la versión cuántica de la teoría, esta restricción solo puede aplicarse a los estados físicos de la teoría (acorde a la cuantificación Gupta-Bleuler).

Generalizaciones

Existen dos extensiones supersimétricas (con N = 1) del álgebra de Virasoro, llamadas respectivamente: álgebra de Neveu-Schwarz y álgebra de Ramond. En efecto, estas dos teorías son similares a aquella del álgebra de Virasoro.

El álgebra de Virasoro es una extensión central del álgebra de Lie meromórfica de campos vectoriales sobre una superficie de género 0 Riemann que es holomorfa excepto en dos puntos fijos. I.V. Krichever, y S.P. Novikov (año 1987) encontraron una extensión central del álgebra de Lie meromórfica de campos vectoriales sobre una superficie de Riemann compacta de género mayor que es holomórfica excepto en dos puntos fijos, y M. Schlichenmaier (año 1993) extendió este el caso de más de dos puntos.
El álgebra de Virasoro también tiene álgebra vértex (o vértice algebraica) y álgebra conformada de homólogos, que provienen básicamente de la organización de todos los elementos de la base en la generación de series y de trabajar con objetos individuales. No es sorprendente que reciban el nombre de vértex de Virasoro y álgebras de conformación Virasoro, respectivamente.

Representaciones teóricas

Una representación de menor peso del álgebra de Virasoro es una representación generada por un vector v que es anulado por ${\displaystyle L_{i}}$ para ${\displaystyle i\geq 1}$, y es un vector propio de ${\displaystyle L0}$ y ${\displaystyle c}$. Las letras ${\displaystyle h}$ y ${\displaystyle c}$ se utilizan generalmente para los valores propios de ${\displaystyle L_{0}}$ y ${\displaystyle c}$ en ${\displaystyle v}$. (La misma letra ${\displaystyle c}$ se utiliza para el elemento ${\displaystyle c}$ del álgebra de Virasoro y su valor propio.) Para cada par de números complejos ${\displaystyle h}$ y ${\displaystyle c}$ hay una única irreductible representación de más bajo de peso con estos valores propios.
Una representación de más bajo peso se llama unitaria si tiene un efecto positivo del producto interno definido de tal manera que el adjunto de ${\displaystyle Ln}$ es ${\displaystyle L-n}$. La irreductible representación más baja de peso con valores propios h y c es unitaria si y sólo si c≥1 y h≥0, ó c es uno de los valores:

${\displaystyle c=1-{6 \over m(m+1)}=0,\quad 1/2,\quad 7/10,\quad 4/5,\quad 6/7,\quad 25/28,\ldots }$

• para m = 2, 3, 4,.... y h es uno de los valores

${\displaystyle h=h_{r,s}(c)={((m+1)r-ms)^{2}-1 \over 4m(m+1)}}$

• para r = 1, 2, 3,..., m−1 y s= 1, 2, 3,..., r.
• para m = 2, 3, 4,.... y h es uno de los valores
• para r = 1, 2, 3,..., m -1 y s = 1, 2, 3,..., r. Daniel Friedan, Qiu Zongan, y Stephen Shenker (1984) demostraron que estas condiciones son necesarias, y Peter Goddard, Kent Adrian y David Olive (1986) utilizaron la construcción coset o construcción GKO (la identificación de las representaciones unitarias del álgebra de Virasoro en productos tensoriales de las representaciones unitarias de las afines álgebras de Kac-Moody ) para mostrar que son suficientes. Las representaciones unitarias irreducibles de más bajo peso con c< 1 se denominan representaciones en serie discreta del álgebra de Virasoro. Estos son casos especiales de las representaciones con m = q/(p−q), 0<r<q, 0< s<p para p y q enteros primos entre sí, y r y s enteros, llamado modelos mínimos y fueron estudiados por primera vez por Belavin et al. (1984).

La primera serie discreta de pocas representaciones están dadas por:

• m = la representación trivial 2: c = 0, h = 0.
• m = 3: c = 1/2, h = 0, 1/16, 1/2. Estas tres representaciones se relacionan con el modelo de Ising
• m = 4: c = 7/10. h = 0, 3/80, 1/10, 7/16, 3/5, 3/2. Estas 6 representaciones están relacionadas con la crítica al modelo de Ising.
• m = 5: c = 4/5. Hay 10 representaciones, que están relacionadas con el 3-estado del modelo de Potts..
• m = 6: c = 6/7. Hay 15 representaciones, que están relacionadas con el tri-estado crítico del modelo de Potts.

Las representaciones de más bajo peso que no son irreductibles se puede leer en la fórmula determinante de Kac, que establece que el factor determinante del producto interno invariante en el grado h + N está dado por pieza del módulo de menor peso, con valores propios c y h

${\displaystyle A_{N}\prod _{1\leq r,s\leq N}(h-h_{r,s}(c))^{p(N-rs)}}$

... Esto fue declarado por V. Kac (1978), (véase también Kac y Raina, 1987) y cuya primera prueba publicada fue dada por Feigin y Fuks (1984). (La función p(N) es la función de partición, y A_N es una constante) la máxima representación reducible de peso son las representaciones con h y c dado en términos de m, c y h por las fórmulas anteriores, excepto que m no se limita a ser un número entero ≥ 2 y puede ser cualquier número distinto de 0 y 1, y r y s pueden ser de cualquier número entero positivo. Este resultado fue utilizado por Feigin y Fuks para encontrar a los caracteres de todas las representaciones de peso más irreductible.

Historia

El álgebra de Witt (que suele ser definida como el álgebra de Virasoro sin la extensión de central) fue descubierta por É. Cartan en el año 1909. Sus análogos en los campos finitos fueron estudiados por Ernst Witt alrededor de la década de 1930. La extensión del centro del álgebra de Witt que da el álgebra de Virasoro fue encontrada por primera vez (en la característica p > 0) por R.E. Block (año 1966, página 381) e independientemente redescubierta (en la característica 0) por I.M. Gelfand y D.B. Fuchs (año 1968). Virasoro (año 1970) escribió algunos operadores de la generación del álgebra Virasoso mientras estudiaba los modelos de doble resonancia, aunque no encontró en esas fechas la extensión central. La extensión de central fue redescubierta en física, poco después por J.H.Weis, según Brower y Thorn (año 1971, nota a pie de página 167).

álgebra de Witt (en homenaje a quien la estudió: Ernst Witt) es un álgebra de Lie de campos vectoriales meromórficos definidos en la esfera de Riemann que es holomórfica excepto en dos puntos fijos. También la complejización del álgebra de Lie de campos vectoriales polinómicos sobre un círculo y en el anillo C[z,z⁻¹]. De este modo el álgebra de Witt aparece especialmente en la teoría conforme de campos.

Las Teorías Conformes de Campos (más conocidas por su sigla en inglés CFTs) de dos dimensiones son (en cierto modo) invariantes bajo un grupo de simetría de infinitas dimensiones. Por ejemplo, considérese una CFT en la esfera de Riemann. Tiene las transformaciones de Möbius como el grupo conforme, el cual es isomórfico para la (la dimensión finita) PSL(2,C). Sin embargo, las transformaciones conformes infinitesimales forman un álgebra de infinitas dimensiones, que es la llamada álgebra de Witt y solo los campos primarios (o campos quirales) son invariantes respecto al grupo completo infinitesimal conforme.

Por otra parte, existen algunas álgebras de Lie definidas sobre conjuntos finitos que se denominan también "álgebras de Witt".

El complejo del cual forma parte esta álgebra fue definido por primera vez en el año 1909 por Élie Cartan siendo sus análisis en campos finitos estudiados especialmente por Witt en los 1930.

Se debe tener muy en cuenta que: el álgebra Witt no está directamente relacionada con el anillo de Witt de las formas cuadráticas o con el álgebra de vectores de Witt .

Bases

Una base para el álgebra Witt está dada por el vector de campos:

${\displaystyle L_{n}=-z^{n+1}{\frac {\partial }{\partial z}}}$, para n en ${\displaystyle \mathbb {Z} }$.

El corchete de Lie de dos campos vectoriales se da por:

${\displaystyle [L_{m},L_{n}]=(m-n)L_{m+n}.}$

Esta álgebra tiene una extensión central llamado álgebra de Virasoro que es importante en la teoría conforme de campos y la teoría de cuerdas .

Álgebra de Witt sobre cuerpos finitos

Sobre un campo k de característica p>0 , el álgebra Witt se define como el álgebra de Lie de las derivaciones del anillo

k[z]/z^p

El álgebra Witt es atravesada por L_m para −1≤ m ≤ p−2.