Matemáticas - Polinomios

función polinómica es una relación que asigna, para cada valor de la variable ${\displaystyle x}$, el valor que le corresponde si se la reemplaza en el polinomio que define su fórmula, es decir

${\displaystyle f:x\mapsto P(x)\,}$

donde ${\displaystyle P(x)\,}$ es un polinomio definido para todo número real ${\displaystyle x\,}$; es decir, una suma finita de potencias de ${\displaystyle x\,}$ multiplicadas por coeficientes reales, de la forma:¹

${\displaystyle P(x)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+...+a_{n}x^{n}}$

Entonces, una función polinómica se define simbólicamente

${\displaystyle f:R\longrightarrow R\ \ \ tal\ \ \ que\ \ f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}}$

En esta función, la variable es ${\displaystyle x}$, el mayor de los exponentes a los que está eleva esta variable indica el grado del polinomio, los coeficientes ${\displaystyle a_{0},a_{1},...,a_{n}}$ son números reales.²

Funciones polinómicas básicas

Algunas funciones polinómicas reciben un nombre especial según el grado del polinomio:

Grado	Nombre	Expresión	Representación gráfica
0	función constante	y = a	Rectas horizontales o paralelas al eje x
1	función lineal	y = ax + b es un binomio del primer grado	Rectas oblicuas
2	función cuadrática	y = ax² + bx + c es un trinomio del segundo grado	Parábolas
3	función cúbica	y = ax³ + bx² + cx + d es un cuatrinomio de tercer grado	Curvas cúbicas

Funciones polinómicas:
Las funciones polinómicas son, como su nombre lo dice, funciones que constan de un polinomio.

en donde n es un entero positivo, llamado, grado del polinomio. Resulta evidente, que el coeficiente del grado mayor, no puede ser cero, o sea, a tiene que ser diferente de cero, para que el grado del polinomio se n. Cualquiera de los otros coeficientes puede ser cero.
Ejemplos de funciones polinómicas son:
 , la cual es de grado 3, ya que el exponente mayor es 3.
, que es una función polinómica de grado 2, o sea cuadrática, cuya gráfica es una parábola.
, que es de grado 6, ya que multiplicando todos los paréntesis, nos daría como mayor exponente el 6. Esta función se grafica más adelante, para hacer notar, que las intersecciones con los ejes y la factorización de la función polinomial tienen una estrecha relación.
La gráfica de las funciones polinómicas depende del grado de la función. Las funciones polinómicas de ciertos grados tienen ciertas alternativas de gráfica. Queda a este curso de derivadas averiguar algunas de las características de las funciones para poder predecir su comportamiento.
Muchas veces a partir de la gráfica de un polinomio se puede deducir la ecuación de la función. Ésto se puede hacer a partir de las intersecciones con los ejes. (Conste que comenté, que muchas veces, NO SIEMPRE).
Una función polinómica con el más alto número de intersecciones con el eje "x" permisible, es aquella que se puede determinar su gráfica y su ecuación.
Una función de, por ejemplo, tercer grado puede tener como máximo 3 intersecciones con el eje "x".
Una función de sexto grado puede tener como máximo 6 intersecciones con el eje "x".
Cabe aclarar, que las funciones polinómicas, aunque no conozcamos ahora los términos específcos, son funciones continuas,sin asíntotas verticales, ni horizontales, que según el grado pueden presentar máximos, mínimos y puntos de inflexión.

Suponiendo que la función que se nos presenta es de tercer grado, y sus intersecciones están en x = 2, x = -1 y en x = -3; la ecuación de la función es f(x) = (x-2)(x+1)(x+3)

Debe quedar claro, que se tiene que conocer el grado de la función polinómica, ya que sin éste, las conclusiones que se puedan sacar pueden estas equivocadas. Tenemos una función polinómica de grado 6, que sus intersecciones se encuentran en x = 1, x = 2, x = -1, x = 3, x = -2 y en x = 0; por lo tanto la función es: f(x) = (x-1)(x-2)(x+1)(x-3)(x+2)(x)

 función lineal es una función polinómica de primer grado; es decir, una función cuya representación en el plano cartesiano es una línea recta. Esta función se puede escribir como:

f(x) = mx + b

donde m y b son constantes reales y x es una variable real. La constante m es la pendiente de la recta, y b es el punto de corte de la recta con el eje y. Si se modifica m entonces se modifica la inclinación de la recta, y si se modifica b, entonces la línea se desplazará hacia arriba o hacia abajo.

Algunos autores llaman función lineal a aquella con b = 0 de la forma:

f(x) = mx

mientras que llaman función afín a la que tiene la forma:

f(x) = mx + b

cuando b es distinto de cero, dado que la primera (b = 0) es un ejemplo también de transformación lineal, en el contexto de álgebra lineal.

Función lineal.

Ejemplo

Dos rectas y sus ecuaciones en coordenadas cartesianas.

Una función lineal de una única variable dependiente x es de la forma:

y = mx + b

que se conoce como ecuación de la recta en el plano x, y.

En la figura se ven dos rectas, que corresponden a las ecuaciones lineales siguientes:

y = 0,5x + 2

en esta recta el parámetro m es igual a ¹⁄₂ (correspondiente al valor de la pendiente de la recta), es decir, cuando aumentamos x en una unidad entonces y aumenta en ¹⁄₂ unidad, el valor de b es 2, luego la recta corta el eje y en el punto y = 2.

En la ecuación:

y = –x + 5

la pendiente de la recta es el parámetro m = –1, es decir, cuando el valor de x aumenta en una unidad, el valor de y disminuye en una unidad; el corte con el eje y es en y = 5, dado que el valor de b = 5.

En una recta el valor de m se corresponde al ángulo θ de inclinación de la recta con el eje de las x a través de la expresión:

m = tanθ

Funciones lineales de diversas variables

Las funciones lineales de diversas variables admiten también interpretaciones geométricas. Así una función lineal de dos variables de la forma

f(x, y) = a₁x + a₂y

representa un plano y una función

f(x₁, x₂, ..., x_n) = a₁x₁ + a₂x₂ + ... + a_nx_n

representa una hipersuperficie plana de dimensión n y pasa por el origen de coordenadas en un espacio (n + 1)-dimensional.