Matemáticas - Polinomios

función cuadrática de una variable es una función polinómica definida por:

${\displaystyle y=ax^{2}+bx+c\,}$

con ${\displaystyle a\neq 0}$.¹ También se da el caso que se le llame Trinomio cuadrático² . También se denomina función cuadrática a funciones definidas por polinomios cuadráticos de más de una variable, como por.

${\displaystyle f(x,y)=Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F}$

En este caso el conjunto de puntos que resultan al igualar el polinomio a cero representan lugares geométricos que siempre es posible reducir a una de las formas:

${\displaystyle \left({\frac {x}{a}}\right)^{2}\pm \left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=c^{2},\qquad \left({\frac {x}{a}}\right)^{2}\pm {\frac {y}{b}}=c}$

Que corresponden a tres tipos de secciones cónicas (elipse, hipérbola y parábola).

Función cuadrática
Gráfica de Función cuadrática
Definición	${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c\,}$
Tipo	Curva parabólica
Dominio	${\displaystyle \mathbb {R} }$
Imagen	${\displaystyle [{\frac {4ac-b^{2}}{4a}},+\infty ){\text{o}}(-\infty ,{\frac {4ac-b^{2}}{4a}}]}$
Cálculo infinitesimal
Derivada	${\displaystyle f'(x)=2ax+b\,}$
Límites	ninguno

Funciones cuadráticas de una variable

Las gráficas de estas funciones corresponden a parábolas verticales (eje de simetría paralelo al eje de las ordenadas), con la particularidad de que cuando a>0, el vértice de la parábola se encuentra en la parte inferior de la misma, siendo un mínimo (es decir, la parábola se abre "hacia arriba"), y cuando a<0 abajo="" abre="" bola="" decir="" el="" en="" encuentra="" es="" hacia="" la="" m="" p="" par="" parte="" rtice="" se="" siendo="" superior="" un="" v="" ximo="">

El estudio de las funciones cuadráticas tiene numerosas aplicaciones en campos muy diversos, como por ejemplo la caída libre o el tiro parabólico.

La función derivada de una función cuadrática es una función lineal y su integral indefinida es una familia de funciones cúbicas.

Raíces

Véase también: Ecuación de segundo grado

Las raíces (o ceros) de una función cuadrática, como en toda función, son los valores de x, para los cuales ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\ }$. Son denotadas habitualmente como: ${\displaystyle x_{1}}$ y ${\displaystyle x_{2}}$, dependiendo del valor del discriminante Δ definido como ${\displaystyle \Delta =b^{2}-4ac\ }$.

• Dos soluciones reales y diferentes si el discriminante es positivo, ${\displaystyle \Delta >0}$:

${\displaystyle x_{1}={\frac {-b+{\sqrt {\Delta }}}{2a}}}$

${\displaystyle x_{2}={\frac {-b-{\sqrt {\Delta }}}{2a}}}$

• Corta la parábola al eje X en dos puntos diferentes.

• Una solución real(o solución doble) si el discriminante es cero, ${\displaystyle \Delta =0}$:

${\displaystyle x_{1}=x_{2}=-{\frac {b}{2a}}}$

• La parábola es tangente al eje X.

• La parábola no corta al eje X.

• El único caso restante es que el discriminante sea negativo, ${\displaystyle \Delta <0 annotation="">$.

En tal caso, las raíces no son reales, sino que son dos números complejos conjugados:

${\displaystyle x_{1}={\frac {-b}{2a}}+i{\frac {\sqrt {-\Delta }}{2a}}}$

${\displaystyle x_{2}={\frac {-b}{2a}}-i{\frac {\sqrt {-\Delta }}{2a}}}$

Representación analítica

Hay tres formas de escribir una función cuadrática, aplicables según el uso que se le quiera dar a la función, un estudio analítico de la función o de la ecuación cuadrática, una interpretación o construcción geométrica de la parábola, etc.

Forma desarrollada o polinómica

La forma desarrollada de una función cuadrática (o forma estándar) corresponde a la del polinomio de segundo grado, escrito convencionalmente como:

${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c\,}$

con ${\displaystyle a\neq 0}$.

Forma factorizada

Toda función cuadrática se puede escribir en forma factorizada en función de sus raíces como:

${\displaystyle f(x)=a(x-x_{1})(x-x_{2})\,}$

siendo a el coeficiente principal de la función, y ${\displaystyle x_{1}}$ y ${\displaystyle x_{2}}$ las raíces de ${\displaystyle f(x)}$. En el caso de que el discriminante Δ sea igual a 0 entonces ${\displaystyle x_{1}=x_{2}}$ por lo que la factorización adquiere la forma:

${\displaystyle f(x)=a(x-x_{1})^{2}\,}$

En este caso a ${\displaystyle x_{1}}$ se la denomina raíz doble, ya que su orden de multiplicidad es 2. Si el discriminante es negativo, las soluciones son complejas, no cabe la factorización.³

Forma canónica

Toda función cuadrática puede ser expresada mediante el cuadrado de un binomio de la siguiente manera:

${\displaystyle f(x)=a(x-h)^{2}+k\,}$

siendo a el coeficiente principal y el par ordenado (h, k) las coordenadas del vértice de la parábola.

Traslación

A partir de la función primitiva, podemos obtener diferentes desplazamientos (traslación) de las funciones, éstos se pueden dar en dos sentidos: Horizontal (sobre el eje de las x) o Vertical (sobre el eje de las y).

La función y=x² es la función primitiva de la función cuadrática, a partir de ésta podemos entonces obtener las funciones cuyas gráficas están desplazadas sobre los ejes x e y.

Para los desplazamientos horizontales trabajamos con funciones de la forma y=(x-a)², teniendo como regla que:

- Si a positivo, existe un desplazamiento horizontal hacia la derecha.

- Si a negativo, existe un desplazamiento horizontal hacia la izquierda.

Para los desplazamientos verticales trabajamos con funciones de la forma y=x²+b, teniendo como regla que:

- Si b positivo, existe un desplazamiento vertical hacia arriba.

- Si b negativo, existe un desplazamiento vertical hacia abajo. ⁴

Representación gráfica

Intersección con el eje y

La función corta el eje y en el punto y = f(0), es decir, la parábola corta el eje y cuando x vale cero (0):

${\displaystyle y=f(0)=a\cdot 0^{2}+b\cdot 0+c\,}$

lo que resulta:

${\displaystyle y=f(0)=c\,}$

la función corta el eje y en el punto (0, c), siendo c el término independiente de la función.

A este punto de la función también se lo conoce con Ordenada al Origen, ya que se da en los términos.

Intersección con el eje x

La función corta al eje x cuando y vale 0, dada la función

${\displaystyle y=ax^{2}+bx+c\,}$

es decir:

${\displaystyle y=0\quad \longmapsto \quad ax^{2}+bx+c=0\,}$

las distintas soluciones de esta ecuación de segundo grado, son los casos de corte con el eje x, que se obtienen, como es sabido, por la expresión:

${\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}$.

Si la función no corta al eje x, la fórmula anterior no tiene solución real. Puede ocurrir que no tenga intersecciones con el eje x, como por ejemplo ${\displaystyle y=x^{2}+2}$.

Extremo

En principio, en matemáticas se nombra como extremo tanto al máximo como al mínimo, por ejemplo en el conjunto S = {1,5,9, 13, 17} el mínimo es 1 y el máximo 17, y los extremos son 1 y 17. Para calcular el extremo de un trinomio cuadrático, se puede usar un teorema, abordable en álgebra elemental, apoyándose en el comportamiento de una suma de un cuadrado de una variable con un número real cualquiera.⁵

Teorema fundamental del trinomio cuadrático

El trinomio cuadrático real

̽

${\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}$ ̝

tiene un valor extremo que lo consigue cuando

${\displaystyle x={\frac {-b}{2a}}}$

este valor resulta mínimo si a > 0, máximo si a < 0. Si existe y_máx, no existe y_mín , y recíprocamente.⁶ Se abreviará como TFTC.

Problema 1

Descomponer el número positivo s, en dos sumandos, de tal modo que el producto de ellos sea máximo. Sea uno de los sumando x , el otro sumando será s-x y su producto p = x(s-x)

p = -x² + sx.

Luego aplicando el TFTC resulta x = s/2; en tal caso s-x = s/2. En consecuencia el producto alcanza el valor máximo si ambos sumandos son iguales. Si la suma es 30 el producto se alcanza cuando los sumados son 15 y 15, cuyo producto es 225.⁷

Problema 2

Se tiene una alambrada de 120 metros para cerca un terreno rectangular, hallar la máxima área de terreno a cercar. Si los lados miden x, y se tiene que 2x + 2y = 100 de donde y = 50-x y el área es

A = x(50-x) = -x²+5ox y aplicando el TFTC y el resultado anterior, puesto que la suma x + (50-x) = 50 el producto A es máximo cuando x = 50-x, o bien x= 25.

Luego la máxima área es ${\displaystyle 25\times 25=625}$

Alternativa del cálculo diferencial

Toda función cuadrática posee un máximo o un mínimo, que es el vértice de la parábola. Si la parábola tiene concavidad hacia arriba, el vértice corresponde a un mínimo de la función; mientras que si la parábola tiene concavidad hacia abajo, el vértice será un máximo.

Dada la función en su forma desarrollada: ${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c\,}$, la coordenada x del vértice será simplemente: ${\displaystyle x={\frac {-b}{2a}}}$. La coordenada y del vértice corresponde a la función f evaluada en ese punto.

Dada la forma canónica: ${\displaystyle f(x)=a(x-h)^{2}+k\,}$, las coordenadas explícitas del vértice son: (h,k)

la derivada de la función, y se iguala a cero, la solución a esta ecuación son los posibles máximos y mínimos de la función, en este caso, partiendo de la función cuadrática:

${\displaystyle y=ax^{2}+bx+c\,}$

calculamos su derivada respecto a x:

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}(ax^{2}+bx+c)=2ax+b}$

que si la igualamos a cero, tenemos:

${\displaystyle 2ax+b=0\,}$

donde x valdrá:

Para saber si es un máximo o un mínimo es necesario ver la derivada segunda de la función, veamos:

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\;(ax^{2}+bx+c)={\frac {dy}{dx}}\;(2ax+b)=2a}$

esto es: 2a será positivo cuando a sea positivo y negativo si a es negativo, por tanto, si la derivada segunda 2a es positiva la parábola es cóncava y el punto será un mínimo de la función, si a es negativa la parábola será convexa y sea un máximo.

Ejemplo 1

Dada la función:

${\displaystyle y=3x^{2}-x-23\,}$

Observación : Es indiferente notar "y" o notar "f(x)". Ambas expresiones hacen referencia a la imagen de x obtenida a través de la función trabajada.

Calculamos su derivada primera:

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}\;(3x^{2}-x-23)=6x-1}$

Esta derivada valdrá cero:

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=0}$

cuando:

${\displaystyle 6x-1=0\,}$

esto es:

${\displaystyle 6x=1\,}$

${\displaystyle x={\cfrac {1}{6}}}$

Esta función presenta un extremo relativo para ${\displaystyle x={\frac {1}{6}}}$, veamos si es un máximo o un mínimo, calculando la derivada segunda:

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\;(3x^{2}-x-23)={\frac {dy}{dx}}\;(6x-1)=6}$

Que es 6, dado que 6 es un valor positivo, la función es cóncava, y el extremo relativo que presente para: ${\displaystyle x={\cfrac {1}{6}}}$, es un mínimo.

Obs. Observando el signo de la constante "a" podemos saber de antemano si estamos ante un mínimo o un máximo. Entonces para a<0 a="" m="" para="" tendremos="" un="" ximo="" y="">0 un mínimo.

Ejemplo 2

Dada la función:

${\displaystyle y=-x^{2}+4x+5\,}$

Para calcular sus extremos relativos calcularemos su derivada primera:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\;(-x^{2}+4x+5)=-2x+4}$

Esta derivada valdrá cero cuando:

${\displaystyle -2x+4=0\,}$

esto es:

${\displaystyle 2x=4\,}$

que resulta:

${\displaystyle x=2\,}$

Para ${\displaystyle x=2}$, la función presenta un extremo relativo, como sabemos que el coeficiente de ${\displaystyle x^{2}}$, es negativo es un máximo. Si realizamos el estudio de signo de la derivada primera, nos da que en ${\displaystyle x=2}$ pasa de ser positivo a negativo, o sea la función cambia de ser creciente a decreciente, por lo que confirmamos que es un máximo. De otra forma; se puede calcular la derivada segunda en este punto, comprobando si la función es cóncava o convexa.

Otros procedimientos

• Si es posible factorizar en la forma ${\displaystyle y=a(x-x_{1})(x-x_{2})\,}$, se halla el máximo del producto de los dos factores binómicos, teniendo en cuenta que

tal caso ocurre si los factores son iguales, luego haciendo ${\displaystyle x-x_{1}=x-x_{2}\,}$ se obtiene ${\displaystyle x=(x_{1}+x_{2})/2\,}$ o bien ${\displaystyle x=-b/2a\,}$.⁸ El signo de a determina si es mínimo o máximo.

• La forma canónica se puede escribir como ${\displaystyle 1/af(x)=(x-h)^{2}+k/a\,}$, donde el segundo término conlleva un cuadrado, que es ≥ 0; pero en el segundo miembro si k/a es positivo, hay mínimo con x = h; si k/a es negativo, se obtiene un máximo si x = h.⁹ Todo ello para la función g(x)= 1/af(x).

Presencia

En cinemática

en la ecuación del espacio en caso del movimiento uniforme acelerado:${\displaystyle f(x)=at^{2}+v_{0}t+e_{0}\,}$, donde a aceleración, ${\displaystyle v_{0}\,}$, velocidad inicial, ${\displaystyle e_{0}\,}$ espacio inicial y t, variable del tiempo.,¹⁰

En geometría

• En el área total de un cilindro, como función del radio de la base; de l modo en el área total del cono, en función del radio.

• En el área total de un prisma cuadrado, función del lado de la base, altura constante, lo mismo para la pirámide cuadrada.¹¹

Presencia histórica

Arquímedes calculó el área de un sector parabólico, limitado por un rectángulo, en términos modernos según la función ${\displaystyle x=f(y)=y^{2}\,}$.¹²

Determinar la ecuación conocidos tres puntos

Partiendo de la forma de la ecuación:

${\displaystyle y=ax^{2}+bx+c\,}$

y conocidos tres puntos del plano xy por los que pasa una función polinómica de segundo grado:

${\displaystyle (x_{1},y_{1}),\;(x_{2},y_{2}),\;(x_{3},y_{3})}$

se cumplirá que:

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}y_{1}=ax_{1}^{2}+bx_{1}+c\\y_{2}=ax_{2}^{2}+bx_{2}+c\\y_{3}=ax_{3}^{2}+bx_{3}+c\end{matrix}}\right.}$

con lo que tenemos un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, donde las incógnitas son: a, b y c, este sistema tendrá solución si el determinante de los coeficientes de las incógnitas es distinto de cero.

Representando el sistema ordenado de forma convencional:

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}ax_{1}^{2}+bx_{1}+c=y_{1}\\ax_{2}^{2}+bx_{2}+c=y_{2}\\ax_{3}^{2}+bx_{3}+c=y_{3}\end{matrix}}\right.}$

Con lo que podemos calcular los valores de los coeficientes:

${\displaystyle a={\cfrac {\left|{\begin{matrix}y_{1}&x_{1}&1\\y_{2}&x_{2}&1\\y_{3}&x_{3}&1\end{matrix}}\right|}{\left|{\begin{matrix}x_{1}^{2}&x_{1}&1\\x_{2}^{2}&x_{2}&1\\x_{3}^{2}&x_{3}&1\end{matrix}}\right|}}}$

${\displaystyle ,\quad b={\cfrac {\left|{\begin{matrix}x_{1}^{2}&y_{1}&1\\x_{2}^{2}&y_{2}&1\\x_{3}^{2}&y_{3}&1\end{matrix}}\right|}{\left|{\begin{matrix}x_{1}^{2}&x_{1}&1\\x_{2}^{2}&x_{2}&1\\x_{3}^{2}&x_{3}&1\end{matrix}}\right|}}}$

${\displaystyle ,\quad c={\cfrac {\left|{\begin{matrix}x_{1}^{2}&x_{1}&y_{1}\\x_{2}^{2}&x_{2}&y_{2}\\x_{3}^{2}&x_{3}&y_{3}\end{matrix}}\right|}{\left|{\begin{matrix}x_{1}^{2}&x_{1}&1\\x_{2}^{2}&x_{2}&1\\x_{3}^{2}&x_{3}&1\end{matrix}}\right|}}}$

Graficando Funciones Cuadráticas

Objetivos de Aprendizaje

·         Graficar ecuaciones cuadráticas en el eje de coordenadas.

·         Definir e identificar las raíces de una ecuación cuadrática.

Introducción

Además de las funciones lineales, uno de los tipos más comunes de funciones polinomiales con las que trabajamos en el álgebra es la función cuadrática. Una función cuadrática es una función que puede ser descrita por una ecuación de la forma y = ax² + bx + c, donde a ≠ 0. Ningún término en la función polinomial tiene un grado mayor que 2. Las funciones cuadráticas son útiles cuando trabajamos con áreas, y frecuentemente aparecen en problemas de movimiento que implican gravedad o aceleración.

Las gráficas de las funciones cuadráticas tienen características que están estrechamente relacionadas con su forma simbólica. A medida que exploremos estas gráficas, aprenderemos a identificar estas características, y veremos algunas de las maneras de estructurar las ecuaciones cuadráticas.

Graficando con Puntos

Una función cuadrática es un polinomio de grado 2, es decir, el exponente más alto en la variable es 2. Los siguientes son ejemplos de funciones cuadráticas:

La función cuadrática más básica y simple tiene la ecuación . Si hacemos una tabla con los valores de esta función, vemos que el rango (los valores de y, o salida) no se comportan como una función lineal. En una función lineal, el valor de y cambia por la misma cantidad cada vez que el valor de x aumenta por 1. Eso no sucede con una función cuadrática:

x	y = x2
-3	9
-2	4
-1	1
0	0
1	1
2	4
3	9

Los valores de y no cambian por una cantidad constante. Grafiquemos algunos puntos para ver cómo se vería la función:

Después de graficar algunos puntos, podría ser tentador conectar los puntos con segmentos de línea, que son rectos. Pero esto estaría mal, y produciría un patrón que no representa la función.

Borremos esas líneas rectas y grafiquemos el resto de los puntos:

Ahora dibujamos una curva suave conectando los puntos.

¡Mejor! Una función cuadrática resulta en una gráfica con forma de U, llamada parábola. Los valores de la función cambian suavemente, por lo que la curva debe ser suave también. Ahora que podemos ver la naturaleza de la parábola (forma de U), veamos su forma en detalle.