Epónimos relacionados con las matemáticas

conjetura de Agoh–Giuga postula que un entero positivo p es un número primo si y solo si

${\displaystyle pB_{p-1}\equiv -1{\pmod {p}}.}$

donde ${\displaystyle B_{p-1}}$ es el (p-1)-ésimo número de Bernoulli.

Fue nombrada en honor a Takashi Agoh y Giuseppe Giuga.

Formulación equivalente

La formulación indicada anteriormente de la conjetura se debe a Takashi Agoh (1990); una formulación equivalente se debe a Giuseppe Giuga, que en 1950 conjeturó que p es primo si

${\displaystyle 1^{p-1}+2^{p-1}+\cdots +(p-1)^{p-1}\equiv -1{\pmod {p}}}$

o de forma similar,

${\displaystyle \sum _{i=1}^{p-1}i^{p-1}\equiv -1{\pmod {p}}.}$

Es fácil demostrar que suponer p es un número primo es suficiente para aseverar la relación de congruencia, ya que si p es primo, el Pequeño Teorema de Fermat afirma que

${\displaystyle a^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}}$

donde ${\displaystyle a=1,2,\dots ,p-1}$, y el resultado sigue del hecho que ${\displaystyle p-1\equiv -1{\pmod {p}}.}$

Estado

El enunciado sigue siendo una conjetura, ya que aun no ha sido probado el hecho que si un número n no es primo (es decir, n es compuesto), entonces la fórmula no se cumple. No obstante, sí se ha demostrado que un número compuesto n satisface la fórmula si y solo si es a la vez un número de Carmichael y un número de Giuga, y que si tal número existe, debe tener al menos 13800 dígitos (Borwein, Borwein, Borwein, Girgensohn, 1996).

Relación con el Teorema de Wilson

La conjetura de Agoh–Giuga presenta cierta similitud al Teorema de Wilson, el cual ya ha sido demostrado. El teorema de Wilson establece que un número p es primo si y solo si

${\displaystyle (p-1)!\equiv -1{\pmod {p}},}$

o de forma similar,

${\displaystyle \prod _{i=1}^{p-1}i\equiv -1{\pmod {p}}.}$

Para un primo impar p se tiene que

${\displaystyle \prod _{i=1}^{p-1}i^{p-1}\equiv (-1)^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}},}$

Y para p=2 se tiene que

${\displaystyle \prod _{i=1}^{p-1}i^{p-1}\equiv (-1)^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}.}$

De esta forma, si la conjetura de Agoh-Giuga resultase ser cierta, el combinar este resultado con el teorema de Wilson indicaría que un número p es primo si y solo si

${\displaystyle \sum _{i=1}^{p-1}i^{p-1}\equiv -1{\pmod {p}}}$

y

${\displaystyle \prod _{i=1}^{p-1}i^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}.}$

 conjetura de Andrica (por Dorin Andrica) es una conjetura sobre las diferencias entre números primos consecutivos¹

La conjetura establece que la desigualdad

${\displaystyle {\sqrt {p_{n+1}}}-{\sqrt {p_{n}}}<1 annotation="">$

se cumple para todo ${\displaystyle n}$, donde ${\displaystyle p_{n}}$ es el ${\displaystyle n}$-ésimo número primo. Si ${\displaystyle g_{n}=p_{n+1}-p_{n}}$ denota la n-ésima diferencia entre primos consecutivos, la conjetura de Andrica puede expresarse como

${\displaystyle g_{n}<{\sqrt {p_{n+1}}}+{\sqrt {p_{n}}}.}$

${\displaystyle A_{n}}$ para los 100 primeros números primos.

${\displaystyle A_{n}}$ para los 200 primeros números primos.

${\displaystyle A_{n}}$ para los 500 primeros números primos.

Evidencia empírica

Imran Ghory usó datos de espacios entre primos muy grandes para mostrar que la conjetura es cierta para valores de ${\displaystyle n}$ menores a 1.3002 x 10¹⁶.²

El comportamiento de la función discreta ${\displaystyle A_{n}={\sqrt {p_{n+1}}}-{\sqrt {p_{n}}}}$ se muestra en las gráficas de la derecha. Los valores más altos de ${\displaystyle A_{n}}$ se producen para n = 1, 2, y 4, con

${\displaystyle A_{4}\approx }$ 0,670873 ...,

sin que se produzca un valor más grande entre los primeros 10⁵ primos. Dado que la función de Andrica decrece asintóticamente a medida que ${\displaystyle n}$ crece, es necesario que se vayan produciendo diferencias entre primos consecutivos cada vez mayores para generar valores altos de ${\displaystyle A_{n}}$ cuando ${\displaystyle n}$ se hace grande. Por lo tanto parece muy probable que la conjetura sea verdad.

Generalizaciones

Como una generalización de la conjetura de Andrica, puede considerarse la siguiente ecuación:

${\displaystyle p_{n+1}^{x}-p_{n}^{x}=1,}$

donde ${\displaystyle p_{n}}$ es el ${\displaystyle n}$-ésimo primo y n puede ser cualquier entero positivo.

Es fácil ver que la solución más grande posible ${\displaystyle x}$ se tiene para ${\displaystyle n=1}$, cuanto x_máx=1. Para la solución más pequeña posible ${\displaystyle x}$ se ha conjeturado que es x_mín ${\displaystyle \approx }$ 0.567148 ... , que se produce cuando ${\displaystyle n=30}$ y se conoce como la constante de Smarandache.³

Esta conjetura puede considerarse como una conjetura de desigualdad, la generalización de la conjetura de Andrica:

${\displaystyle p_{n+1}^{x}-p_{n}^{x}<1 annotation="">$ para ${\displaystyle x$

conjetura de Birch y Swinerton-Dyer es una conjetura matemática, enunciada en 1965 por los matemáticos ingleses Bryan Birch y Peter Swinerton-Dyer.

Es uno de los siete problemas del milenio, cuya solución premia el Instituto Clay de Matemáticas con un millón de dólares.

Enunciado

La conjetura relaciona los datos aritméticos asociados a una curva elíptica E sobre un cuerpo numérico K con el comportamiento de la Función L de Hasse-Weil L(E, s) de E en s = 1. Concretamente, se conjetura que el rango del grupo abeliano E(Q) de puntos de E es igual al orden del cero de L(E, s) en s = 1, y el primer coeficiente distinto de 0 en la expansión de Taylor de L(E, s) en s = 1 es dado por un mejor refinamiento de datos aritméticos ligados a E sobre Q. En particular, asegura que si L(E, 1) = 0, entonces el grupo E(Q) es infinito, y recíprocamente, si L(E, 1) ≠ 0, entonces E(Q) es finito.¹

Historia

A principios de la década de 1960, Peter Swinnerton-Dyer usó la computadora EDSAC del laboratorio de informática de la universidad de Cambridge para calcular el número de puntos módulo p (denotado por N_p) para un número largo de primos p sobre curvas elípticas cuyo rango era conocido. De esos resultados numéricos Bryan Birch y Swinnerton-Dyer conjeturaron que N_p para una curva E con rango r obedecía una ley asintótica

Una representación gráfica de ${\displaystyle \prod _{p\leq X}{\frac {N_{p}}{p}}}$ para la curva y² = x³ − 5x cuando X varia sobre los primeros 100000 primos. El eje X es log(log(X)) y el eje Y está en una escala logarítmica, así, la conjetura predice que los datos podrían formar una línea de pendiente igual al rango de la curva, que es 1 en este caso. Como comparación, una línea de pendiente 1 ha sido dibujada en rojo sobre el gráfico.

${\displaystyle \prod _{p\leq x}{\frac {N_{p}}{p}}\approx C\log(x)^{r}{\mbox{ cuando }}x\rightarrow \infty }$

donde C es una constante.

Inicialmente, se basó en algunas tendencias tenues en algunas gráficas trazadas, lo cual indujo una medida de escepticismo en J. W. S. Cassels (supervisor doctoral de Birch). Pasado el tiempo, las evidencias numéricas se apilaron.

Esto, a su vez, llevó a hacer una conjetura general sobre el comportamiento de la función L de una curva L( E ,s) en s = 1, es decir, que podría tener un cero de orden r en ese punto. Esta conjetura se hizo con visión de futuro en ese momento, dado que la continuación analítica de L( E,s) se estableció sólo para curvas bajo multiplicación compleja, las cuales eran también la principal fuente de ejemplos numéricos. (Nótese que el recíproco de la L-función es desde algunos puntos de vista un objeto más natural de estudio; en ocasiones, esto significa que se podrían considerar los polos en lugar de los ceros)

La conjetura fue ampliada posteriormente para incluir la predicción precisa del coeficiente de Taylor principal de la función L en s = 1. Esto fue conjeturado mediante

${\displaystyle {\frac {L^{(r)}(E,1)}{r!}}={\frac {\#\mathrm {Sha} (E)\Omega _{E}R_{E}\prod _{p|N}c_{p}}{(\#E_{\mathrm {Tor} })^{2}}}}$

donde las cantidades del miembro de la derecha son invariantes de la curva, estudiadas por Cassels, Tate, Shafarevich y otros: éste incluye el orden del grupo de torsión, el orden del grupo de Tate–Shafarevich, y las alturas canónicas de una base de puntos racionales.