Matemáticas - Polinomios

 polinomios de Touchard (nombrados en honor al matemático francés Jacques Touchard que los estudió en 1939), a menudo también llamados polinomios exponenciales comprenden una secuencia polinomial de tipo binomial definidas por:

${\displaystyle T_{n}(x)=\sum _{k=1}^{n}S(n,k)x^{k}=\sum _{k=1}^{n}\left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}x^{k}}$

Donde S(n, k) corresponde a un número de Stirling de segunda clase, esto es, el número de particiones de un conjunto de n elementos en k subconjuntos no vacíos. Y La segunda notación, que incluye el uso de llaves, fue introducida por Donald Knuth.

Propiedades

Evaluando en 1 el n-ésimo polinomio de Touchard obtenemos el n-ésimo número de Bell, esto es, el número de particiones de un conjunto de n elementos:

${\displaystyle T_{n}(1)=B_{n}}$

Si X es una variable aleatoria con una distribución de Poisson y un número esperado de ocurrencias λ,entonces su n-ésimo momento es T_n(λ) = E(Xⁿ). Usando este hecho se puede probar fácilmente que ésta secuencia polinomial es de tipo binomial, esto es, satisface la secuencia de identidades:

${\displaystyle T_{n}(\lambda +\mu )=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}T_{k}(\lambda )T_{n-k}(\mu ).}$

Los polinomios de Touchard constituyen la única secuencia polinomial de tipo binomial en la cual el coeficiente del término de primer grado de cada polinomio es 1.

Los polinomios de Touchard satisfacen la relación recursiva:

${\displaystyle T_{n+1}(x)=x\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}T_{k}(x).}$

Si x= 1, la expresión se reduce a la fórmula recursiva de los números de Bell.

La función generatriz de los polinomios Touchard es:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{T_{n}(x) \over n!}t^{n}=e^{x\left(e^{t}-1\right)}.}$

funciones simétricas monomiales son una clase especial de funciones simétricas que forman la base más simple del espacio vectorial de funciones simétricas.

Definición

Si ${\displaystyle \lambda =(\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{n})}$ es una partición, se construye el monomio

${\displaystyle x^{\lambda }=x_{1}^{\lambda _{1}}x_{2}^{\lambda _{2}}\cdots x_{n}^{\lambda _{n}}}$.

La suma de tales monomios sobre todas las permutaciones distintas de ${\displaystyle \lambda }$, da como resultado un polinomio simétrico denotado ${\displaystyle m_{\lambda }\,}$.

(Función simétrica monomial) La función simétrica monomial asociada a la partición ${\displaystyle \lambda \vdash n}$ es la suma ${\displaystyle m_{\lambda }=\sum _{\sigma }x^{\sigma }\,}$, donde ${\displaystyle \sigma }$ recorre todas las permutaciones distintas de ${\displaystyle \lambda }$.

Ejemplos

Las funciones simétricas monomiales en cuatro variables para las particiones más pequeñas son:

• ${\displaystyle m_{\emptyset }=1}$.
• ${\displaystyle m_{1}=x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}\,}$.
• ${\displaystyle m_{2}=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}}$.
• ${\displaystyle m_{11}=x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{1}x_{4}+x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+x_{3}x_{4}\,}$.
• ${\displaystyle m_{3}=x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+x_{3}^{3}+x_{4}^{3}}$.
• ${\displaystyle m_{21}=x_{1}^{2}x_{2}+x_{2}^{2}x_{1}^{1}+x_{1}^{2}x_{3}+x_{3}^{2}x_{1}+x_{1}^{2}x_{4}+x_{4}^{2}x_{1}+x_{2}^{2}x_{3}+x_{3}^{2}x_{2}+x_{2}^{2}x_{4}+x_{4}^{2}x_{2}+x_{3}^{2}x_{4}+x_{4}^{2}x_{3}}$.

Obsérvese que en ${\displaystyle m_{11}}$ sólo aparece ${\displaystyle x_{1}x_{3}}$ y no ${\displaystyle x_{3}x_{1}}$, porque ambas corresponden a la misma permutación ${\displaystyle (1010)}$ de la partición ${\displaystyle (1100)}$. En particular, se consideran todas las particiones de un entero ${\displaystyle n}$ como si tuvieran ${\displaystyle n}$ partes, añadiendo entradas cero de ser necesario.

Propiedades

Cualquier función simétrica en n variables

${\displaystyle f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=\sum _{\sigma }x^{\sigma }}$

puede reescribirse en términos de funciones simétricas monomiales como

${\displaystyle f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=\sum _{\lambda }m_{\lambda }}$,

por lo que el conjunto de funciones simétricas monomiales indizadas por las particiones de n

${\displaystyle \{m_{\lambda }:\lambda \vdash n\}}$

forma una base del espacio vectorial ${\displaystyle \Lambda _{n}}$ de funciones simétricas en n variables.

Una consecuencia de la relación anterior es el siguiente teorema.

La dimensión del espacio vectorial ${\displaystyle \Lambda _{n}}$ sobre ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ de funciones simétricas en n variables es igual al número ${\displaystyle p(n)}$ de particiones del entero n, y el conjunto de funciones simétricas monomiales es una base de dicho espacio vectorial. lema de Gauss, o Criterio de la irreducibilidad de Gauss, afirma que si ${\displaystyle D\,}$ es un dominio de factorización única (DFU) y ${\displaystyle \mathbb {K} }$ es su cuerpo de cocientes (o cuerpo de fracciones), entonces el contenido de dos polinomios dados con coeficientes en ${\displaystyle D}$ es el producto de contenidos y todo polinomio primitivo${\displaystyle p\in D[x]}$ es irreducible en ${\displaystyle ~D[x]}$ si y sólo si lo es en ${\displaystyle \mathbb {K} [x]}$. El Criterio de irreducibilidad de Gauss proporciona un resultado muy útil para demostrar ciertas propiedades de divisibilidad en anillos de polinomios: por la equivalencia que señala el criterio entre la irreducibilidad de un polinomio primitivo en ${\displaystyle D[x]}$ y la irreducibilidad del mismo polinomio en ${\displaystyle \mathbb {K} [x]}$, puede demostrarse que al ser ${\displaystyle \mathbb {K} [x]}$ un DFU también lo es ${\displaystyle D[x]}$. Así, se tiene como corolario que si ${\displaystyle D}$ es un DFU entonces también lo es ${\displaystyle D[x]}$, sea o no este último anillo un dominio de ideales principales (DIP). Por ejemplo, ${\displaystyle \mathbb {Z} [x]}$ no es un DIP pero sí es un DFU. También se puede usar el lema para demostrar el criterio de Eisenstein, muy útil para identificar polinomios irreducibles en los racionales.