Epónimos relacionados con las matemáticas

conjetura de Hodge es un importante problema de geometría algebraica todavía no resuelto en el que se relacionan la topología algebraica de una variedad algebraica compleja no singular y las subvariedades de esa variedad. En concreto, la conjetura dice que ciertos grupos de cohomología de De Rham son algebraicos, esto es, son sumas de dualidades de Poincaré de clases homólogas de subvariedades.

La conjetura de Hodge es uno de los Problemas del milenio del Clay Mathematics Institute, por lo que hay un premio de US$1,000,000 por demostrarla.

Motivación

Sea X una variedad compleja conexa de dimensión compleja n. Luego X, es una variedad diferenciable orientable de dimensión 2n, por lo que sus grupos de cohomología residen en grados cero a través de 2n. Asúmase que X es una variedad de Kähler, por lo que hay una descomposición en su cohomología con coeficientes complejos:

${\displaystyle H^{k}(X,\mathbf {C} )=\bigoplus _{p+q=k}H^{p,q}(X),}$

donde ${\displaystyle H^{p,q}(X)}$ es el subgrupo de grupos de cohomología que están representados por formas armónicas de tipo (p, q). Esto es, estas son los grupos de cohomología representados por formas diferenciales que, en una determinada opción de coordenadas locales ${\displaystyle z_{1},\ldots ,z_{n}}$, puede ser escritas como tiempos de funciones armónicas ${\displaystyle dz_{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dz_{i_{p}}\wedge d{\bar {z}}_{j_{1}}\wedge \cdots \wedge d{\bar {z}}_{j_{q}}}$. (Véase Teoría de Hodge para más detalles). Tomar productos exteriores de estos representantes armónicos se corresponde con el cup product en cohomología, por lo que cup product es compatible con la descomposición de Hodge:

${\displaystyle \cup :H^{p,q}(X)\times H^{p',q'}(X)\rightarrow H^{p+p',q+q'}(X).}$

Dado que X es una variedad compleja, X tiene una clase fundamental.

Sea Z una subvariedad compleja de X de dimensión k, y sea i : Z → X la función de inclusión. Elíjase una forma diferenciada ${\displaystyle \alpha }$ del tipo (p, q). Podemos integrar ${\displaystyle \alpha }$ sobre Z:

${\displaystyle \int _{Z}i^{*}\alpha .\!\,}$

Para evaluar esta integral, elíjase un punto de Z y llámesele 0. Alrededor de 0, podemos elegir coordinadas locales ${\displaystyle z_{1},\ldots ,z_{n}}$ en X tal que Z sea ${\displaystyle z_{k+1}=\cdots =z_{n}=0}$. si p > k, entonces ${\displaystyle \alpha }$ debe contener algún ${\displaystyle dz_{i}}$ donde ${\displaystyle z_{i}}$ tienda a a cero en Z. Lo mismo es cierto si q > k. Consecuentemente, esta integral es cero si (p, q) ≠ (k, k).

De forma más abstracta, la integral puede ser escrita como el cap product del grupo de cohomología de Z y del grupo de cohomología representado por ${\displaystyle \alpha }$. Según la dualidad de Poincaré, el grupo de homología de Z es doble del grupo de cohomología que llamaremos [Z], y el cap product puede ser calculado tomando el cup product de [Z] y ${\displaystyle \alpha }$ y capping con la clase fundamental de X. Dado que [Z] es un grupo de cohomología, tiene descomposición de Hodge. Según el cálculo anterior, si nosotros cup este grupo con otro tipo de grupo (p, q) ≠ (k, k), entonces tendremos cero. Dado que ${\displaystyle H^{2n}(X,\mathbf {C} )=H^{n,n}(X)}$, se concluye que [Z] debe quedar en ${\displaystyle H^{n-k,n-k}(X,\mathbf {C} )}$. En pocas palabras, la conjetura de Hodge dice:

¿Qué grupos de cohomología en ${\displaystyle H^{k,k}(X)}$ derivan de subvariedades complejas Z?

conjetura de Kepler fue formulada por el físico, matemático y astrónomo Johannes Kepler en 1611. Esta conjetura afirma que si apilamos esferas iguales, la densidad máxima se alcanza con una apilamiento piramidal de caras centradas. Esta densidad es aproximadamente del 74 %.

En 1998 Thomas Hales anunció que había demostrado la conjetura de Kepler. Fue publicada en Annals of Mathematics. La comprobación de Hales es una demostración por casos en la que se prueban agrupamientos mediante complejos cálculos de computadora (ordenador). Hales formuló una ecuación de 150 variables que recogía cinco mil posibles agrupamientos de esferas iguales.

Los doce científicos seleccionados por Annals para realizar la revisión por pares comentaron que estaban al "99% seguros" de la exactitud de la prueba de Hales, pero que era imposible revisar los tres gigabytes de códigos. Sin embargo, el método utilizado por Hales en la demostración no es exhaustivo, por lo que no está dilucidado el problema. Por tanto, la conjetura de Kepler está más cerca de convertirse en un teorema.

El autor de la solución se dedicó a crear el proyecto Flyspeck, consistente en un programa que verifica paso a paso todas las afirmaciones lógicas de la solución matemática, verificándola en lugar de los propios matemáticos. El 9 de agosto de 2014, el equipo de Hales anunció que el programa que crearon logró verificar la solución de la Conjetura de Kepler propuesta por Hales, y que no encontró errores.

“Esta tecnología excluye a los árbitros matemáticos del proceso de verificación. Su opinión sobre la corrección de las pruebas ya no importa más”, afirma Hales, citado por la revista ‘New Scientist‘. La prueba del problema, verificada por una computadora, puede abrir una nueva era en las matemáticas donde las máquinas harán el “trabajo pesado” liberando a los científicos para que se puedan dedicar al “pensamiento más profundo”.

conjetura de Legendre, enunciada por Adrien-Marie Legendre, afirma que siempre existe un número primo entre ${\displaystyle n^{2}}$ y ${\displaystyle (n+1)^{2}}$. Esta conjetura forma parte de los problemas de Landau.

Chen Jingrun demostró en 1965 que siempre existe un número comprendido entre ${\displaystyle n^{2}}$ y ${\displaystyle (n+1)^{2}}$ que sea primo o semiprimo, es decir, el producto de dos primos. Además, Iwaniec y Pintz¹ probaron en 1984 que siempre existe un número primo entre ${\displaystyle n-n^{\theta }}$ y ${\displaystyle n}$, siendo ${\displaystyle \theta =23/42=0,547...}$

La sucesión de los menores números primos mayores que ${\displaystyle n^{2}}$ (comenzando desde 1) es 2, 5, 11, 17, 29, 37, 53, 67, 83, 101, 127, 149, 173, 197, 227, 257, 293, 331, 367, 401.²

El número de números de primos comprendidos entre ${\displaystyle n^{2}}$ y ${\displaystyle (n+1)^{2}}$ es 2, 2, 2, 3, 2, 4, 3, 4, 3, 5, 4, 5, 5, 4, 6, 7, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 6, 9.

la conjetura de Mertens fue una conjetura según la cual la función de Mertens M(n) estaría acotada por √n. Fue planteada por Franz Mertens en 1897 y se demostró que era falsa en 1985. La conjetura, de haberse demostrado cierta, habría implicado la veracidad de la hipótesis de Riemann.

Definición

En teoría de números, se define la función de Mertens como:

${\displaystyle M(n)=\sum _{1\leq k\leq n}\mu (k)}$

donde μ(k) es la función de Möbius, entonces, la conjetura de Mertens afirma que:

${\displaystyle \left|M(n)\right|<{\sqrt {n}}}$

Historia

En 1885, Stieltjes afirmó haber demostrado este resultado, pero no publicó una demostración, probablemente porque descubrió que tenía un error. La conjetura fue inicialmente postulada por Franz Mertens en 1897, basándose en los resultados parciales de Stieltjes, publicó un documento en el que opinaba que «era probable que fuese cierta».¹

Sin embargo, en 1985, te Riele y Odlyzko demostraron que la conjetura de Mertens es falsa.

La conjetura de Mertens es interesante, porque, si se hubiese demostrado su veracidad, eso habría implicado que la famosa hipótesis de Riemann también era cierta.

Conexión con la hipótesis de Riemann

El nexo con la hipótesis de Riemann se basa en el hecho de que se puede derivar el resultado

${\displaystyle {\frac {1}{\zeta (z)}}=z\int _{1}^{\infty }{\frac {M(x)}{x^{z+1}}}dx}$

donde ζ(z) es la función zeta de Riemann. La conjetura de Mertens significaría que esta integral converge para Re(z) > 1/2, lo que a su vez implicaría que 1/ζ(z) está definido para Re(z) > 1/2 y por simetría para Re(z) < 1/2. Así, los únicos ceros de ζ(z) estarían en Re(z) = 1/2, como dice la hipótesis de Riemann.

 conjetura de modularidad de Serre, introducida por Serre sobre la base de un intercambio de correspondencia con John Tate, En su versión débil, asegura que cualquier representación de Galois módulo ${\displaystyle \rho }$, impar e irreducible proviene de una forma modular. Una versión más fuerte de esta conjetura especifica el peso y el nivel de la forma modular. En 2005, la conjetura para el caso de nivel 1¹ fue demostrada por Chandrashekhar Khare y Luis Dieulefait independientemente, y luego en 2008 una demostración de la conjetura completa es elaborada en forma conjunta por Chandrashekhar Khare y Jean-Pierre Wintenberger.

conjetura de Ramanujan, llamada así en honor a Srinivasa Ramanujan, postula que los coeficientes de Fourier ${\displaystyle \tau (n)\,}$ de la forma cúspide ${\displaystyle \Delta (z)\,}$ de valor 12, definida en la teoría de formas modulares satisface que,

${\displaystyle |\tau (p)|\leq 2p^{11/2},}$

donde ${\displaystyle p}$ es un número primo. Esto implica una estimación que sólo es ligeramente más débil para todos los ${\displaystyle \tau (n)\,}$, es decir, ${\displaystyle O(n^{{\frac {11}{2}}+\varepsilon })}$ para cualquier ${\displaystyle \varepsilon >0}$. Esta conjetura de Ramanujan fue confirmada mediante la demostración de las conjeturas de Weil por Deligne (1974). Las formulaciones necesarias para mostrar este resultado fueron como consecuencia delicadas y no tan obvias. Esto se debe al trabajo de Michio Kuga con las contribuciones también de Mikio Sato, Goro Shimura, y Yasutaka Ihara, seguidos por Deligne (1968). La existencia de dicha conexión inspiró algunos de los grandes trabajos sobre el tema a finales de la década de 1960, cuando las consecuencias de la teoría sobre la cohomología de Étale estaban siendo elaboradas.

La más general conjetura de Ramanujan–Petersson para fórmas cúspides en la teoría de formas modulares elípticas para subgrupos de congruencia tiene una formulación semejante, con un exponente (k − 1)/2 donde k es el valor de la forma. Estos resultados también se pueden obtener a partir de las conjeturas de Weil, excepto para el caso  k = 1, cuyo resultado es debido a Deligne y Jean-Pierre Serre. Es llamada en honor a Hans Petersson (1902 – 1984).

En el lenguaje de formas automórficas, una generalización muy amplia puede ser posible; pero ha demostrado ser demasiado optimista, por el caso particular de ${\displaystyle GSp_{4}\,}$, es decir, la similitud del grupo de cuatro dimensiones denominado grupo simpléctico, para la cual han sido encontrados contraejemplos. La forma generalizada apropiada para la conjetura de Ramanujan está todavía en espera; la formulación de las conjeturas de Arthur está en términos para los cuales se explica el mecanismo que permite cierto tipo de contraejemplos.