Matemáticas - Polinomios

Polinomio recíproco

En matemáticas, para un polinomio p con coeficientes complejos,

${\displaystyle p(z)=a_{0}+a_{1}z+a_{2}z^{2}+\ldots +a_{n}z^{n}\,\!}$

se define el polinomio recíproco, p*

${\displaystyle p^{*}(z)={\overline {a}}_{n}+{\overline {a}}_{n-1}z+\ldots +{\overline {a}}_{0}z^{n}=z^{n}{\overline {p({\bar {z}}^{-1})}}}$

donde ${\displaystyle {\overline {a}}_{i}}$ denota el conjugado complejo de ${\displaystyle a_{i}\,\!}$.

Un polinomio se dice que es autorrecíproco si ${\displaystyle p(z)\equiv p^{*}(z)}$.

Si los coeficientes a_i son reales, entonces esto se reduce a a_i = a_n−i. En este caso, se dice que p es un polinomio palindrómico.

Si p(z) es el polinomio mínimo de z₀ con |z₀| = 1, y p(z) tiene coeficientes reales, entonces p(z) es autorrecíproco. Esto es así porque

${\displaystyle z_{0}^{n}{\overline {p(1/{\bar {z_{0}}})}}=z_{0}^{n}{\overline {p(z_{0})}}=z_{0}^{n}{\bar {0}}=0}$.

Por tanto, z₀ es una raíz del polinomio ${\displaystyle z^{n}{\overline {p({\bar {z}}^{-1})}}}$, que tiene grado n. Sin embargo, el polinomio mínimo es único, por tanto

${\displaystyle p(z)=z^{n}{\overline {p({\bar {z}}^{-1})}}.}$

Una consecuencia de esto es que los polinomios ciclotómicos ${\displaystyle \Phi _{n}}$ son autorrecíprocos para ${\displaystyle n>1}$. Este resultado se utiliza en la criba especial del cuerpo de números para permitir que números de la forma ${\displaystyle x^{11}\pm 1}$, ${\displaystyle x^{13}\pm 1}$, ${\displaystyle x^{15}\pm 1}$ y ${\displaystyle x^{21}\pm 1}$ puedan ser factorizados tomando partido de los factores algebraicos mediante el uso de polinomios de grado 5, 6, 4 y 6 respectivamente. Nótese que el ${\displaystyle \phi }$ de los exponentes es 10, 12, 8 and 12.

Polinomios recíprocos
A p(x) se le llama recíproco si cumple con la siguiente igualdad:
TEOREMA
Todo polinomio recíproco de
grado impar se anula para 1 o -1.
Sea p(x) un polinomio de grado impar,
entonces (x-l) o (x+l) será
uno de sus factores.
Procedimiento para factorizar polinomios recíprocos de grado par
1.
11.
Se extrae la parte literal del término central, dando lugar a expresiones
1 2 1
x+-;x +2;'”
x x
de la forma
1
Se hace el cambio de variable x + -, con lo cual se logra disminuir el
x
grado del polinomio en la mitad.
Ejemplos
1. Factorice p(x)=x4+6×3+7×2+6x+1.
Resolución
Se factoriza la parte literal del término central
2. Halle el factor primo del polinomio
A(x)=3×5 + Sx 4+ 3×3 + 3×2 + Sx+ 3
que posee mayor suma de coeficientes.
Resolución
Se observa que A(_l)=O, entonces (x+ 1) es un factor de A(x).

Un polinomio todo en uno (AOP, all-in-one polynomial) es un polinomio usado en campos finitos, especificalmente GF(2) (binario). El AOP es un 1-polinomio igualmente espaciado.

Un AOP de grado m tiene todos los términos del ${\displaystyle x^{m}}$ al ${\displaystyle x^{0}}$ con coeficientes 1, y puede escribirse:

${\displaystyle AOP(x)=\sum _{i=0}^{m}x^{i}}$

o

${\displaystyle AOP(x)=x^{m}+x^{m-1}+\cdots +x+1}$

o

${\displaystyle AOP_{m}(x)={\frac {x^{m+1}-1}{x-1}}}$

Así, las raíces de polinomios todo en uno son todas raíces de la unidad.

Propiedades

Sobre GF(2), el AOP posee varias propiedades interesantes, incluyendo:

• La distancia de Hamming del AOP es m + 1
• El AOP es irreducible si y sólo si m + 1 es primo y 2 es una raíz primitiva módulo m + 1
• El único AOP que es un polinomio primitivo es x² + x + 1.

A pesar de que la distancia de Hamming sea grande, debido a la fácil representación y otras mejoras, existen implementaciones eficientes en áreas tales como teoría de códigos y en criptografía.

Sobre ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, el AOP es irreducible cuando m + 1 es primo p, y por ende en esos casos, el p-ésimo polinomio ciclotómico.

 polinomio simétrico es un polinomio en n variables ${\displaystyle P(X_{1},X_{2},...,X_{n})}$, tal que si intercambiamos alguna de las variables el polinomio sigue siendo el mismo.

Ejemplos

Estos polinomios:

• ${\displaystyle P(X_{1},X_{2})=X_{1}^{3}+X_{2}^{3}-7}$
• ${\displaystyle P(X_{1},X_{2})=4X_{1}X_{2}}$
• ${\displaystyle P(X_{1},X_{2},X_{3})=X_{1}X_{2}X_{3}-2X_{1}X_{2}-2X_{1}X_{3}-2X_{2}X_{3}}$

son todos simétricos. El polinomio ${\displaystyle P(X_{1},X_{2})=X_{1}-X_{2}}$ no es simétrico, ya que si intercambiamos ${\displaystyle X_{1}}$ y ${\displaystyle X_{2}}$ obtenemos el polinomio ${\displaystyle X_{2}-X_{1}}$, que no es el mismo.

Los ladrillos constituyentes de los polinomios simétricos

Para cada n, existen n polinomios simétricos elementales en las variables ${\displaystyle X_{1},X_{2},...,X_{n}}$. Son los ladrillos constituyentes para todos los polinomios simétricos en dichas variables, lo que quiere decir que todo polinomio simétrico en n variables puede obtenerse a partir de estos polinomios elementales mediante multiplicaciones y sumas. Más concretamente: cualquier polinomio simétrico en n variables es un polinomio de los n polinomios elementales simétricos en dichas variables. Por ejemplo, para n=2, sólo hay dos polinomios simétricos elementales, ${\displaystyle X_{1}+X_{2}}$ y ${\displaystyle X_{1}X_{2}}$. El primer polinomio de la lista de arriba puede entonces escribirse como sigue:

${\displaystyle P(X_{1},X_{2})=X_{1}^{3}+X_{2}^{3}-7=(X_{1}+X_{2})^{3}-3X_{1}X_{2}(X_{1}+X_{2})-7.}$