Epónimos relacionados con las matemáticas

distribución de Bernoulli (o distribución dicotómica), nombrada así por el matemático y científico suizo Jakob Bernoulli, es una distribución de probabilidad discreta, que toma valor 1 para la probabilidad de éxito (${\displaystyle p}$) y valor 0 para la probabilidad de fracaso (${\displaystyle q=1-p}$).

Si ${\displaystyle X}$ es una variable aleatoria que mide el "número de éxitos", y se realiza un único experimento con dos posibles resultados (éxito o fracaso), se dice que la variable aleatoria ${\displaystyle X\,}$ se distribuye como una Bernoulli de parámetro ${\displaystyle p\,}$.

${\displaystyle X\sim Be(p)\,}$

Su función de probabilidad viene definida por:

${\displaystyle f(x)=p^{x}(1-p)^{1-x}\,\qquad {\text{ con }}\,x=\{0,1\}\,}$

La fórmula será:

${\displaystyle f\left(x;p\right)=\left\{{\begin{matrix}p&{\mbox{si }}x=1,\\q&{\mbox{si }}x=0,\\0&{\mbox{en cualquier otro caso}}\end{matrix}}\right.}$

Un experimento al cual se aplica la distribución de Bernoulli se conoce como Ensayo de Bernoulli o simplemente ensayo, y la serie de esos experimentos como ensayos repetidos.

Bernoulli
Parámetros	${\displaystyle 0$
Dominio	${\displaystyle k=\{0,1\}\,}$
Función de probabilidad (fp)	${\displaystyle {\begin{matrix}q=(1-p)&{\mbox{para }}k=0\\p~~&{\mbox{para }}k=1\end{matrix}}}$
Función de distribución (cdf)	${\displaystyle {\begin{matrix}0&{\mbox{para }}k<0 1="" amp="" annotation="" end="" geq="" k="" leq="" matrix="" mbox="" para="" q="">$
Media	${\displaystyle p\,}$
Mediana	N/A
Moda	${\displaystyle {\begin{matrix}0&{\mbox{si }}q>p\\0y1&{\mbox{si }}q=p\\1&{\mbox{si }}q$
Varianza	${\displaystyle pq\,}$
Coeficiente de simetría	${\displaystyle {\frac {q-p}{\sqrt {pq}}}}$
Curtosis	${\displaystyle {\frac {6p^{2}-6p+1}{p(1-p)}}}$
Entropía	${\displaystyle -q\ln(q)-p\ln(p)\,}$
Función generadora de momentos (mgf)	${\displaystyle q+pe^{t}\,}$
Función característica	${\displaystyle q+pe^{it}\,}$

Propiedades características

Esperanza matemática:

${\displaystyle E\left[X\right]=p=u}$

Varianza:

${\displaystyle var\left[X\right]=p\left(1-p\right)=pq}$

Función generatriz de momentos:

${\displaystyle \left(q+pe^{t}\right)}$

Función característica:

${\displaystyle \left(q+pe^{it}\right)}$

Moda:

0 si q > p (hay más fracasos que éxitos)

1 si q < p (hay más éxitos que fracasos)

0 y 1 si q = p (los dos valores, pues hay igual número de fracasos que de éxitos)

Asimetría (Sesgo):

${\displaystyle \gamma _{1}={\frac {q-p}{\sqrt {qp}}}}$

Curtosis:

${\displaystyle \gamma _{2}={\frac {6p^{2}-6p+1}{p(1-p)}}}$

La Curtosis tiende a infinito para valores de ${\displaystyle p}$ cercanos a 0 ó a 1, pero para ${\displaystyle p={\frac {1}{2}}}$ la distribución de Bernoulli tiene un valor de curtosis menor que el de cualquier otra distribución, igual a -2.

Caracterización por la binomial:

${\displaystyle X\sim Be(p)\Longleftrightarrow X\sim B(1,p)\,}$ ; donde ${\displaystyle B(1,p)\,}$ es una distribución binomial.

Distribuciones Relacionadas

• Si ${\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},\dots ,X_{n}}$ son ${\displaystyle n}$ variables aleatorias identicamente distribuidas con la distribución de Bernoulli con la misma probabilidad de éxito ${\displaystyle p}$ en todas, entonces la variable aleatoria ${\displaystyle X=X_{1}+X_{2}+\dots +X_{n}}$ presenta una distribución binomial de probabilidad.

${\displaystyle X\sim B(n,p)}$

Ejemplo

"Lanzar una moneda, probabilidad de conseguir que salga cruz".

Se trata de un solo experimento, con dos resultados posibles: el éxito (p) se considerará sacar cruz. Valdrá 0,5. El fracaso (q) que saliera cara, que vale (1 - p) = 1 - 0,5 = 0,5.

La variable aleatoria X medirá "número de cruces que salen en un lanzamiento", y sólo existirán dos resultados posibles: 0 (ninguna cruz, es decir, salir cara) y 1 (una cruz).

Por tanto, la v.a. X se distribuirá como una Bernoulli, ya que cumple todos los requisitos.

${\displaystyle X\sim Be(0,5)}$

${\displaystyle P(X=0)=f(0)=0,5^{0}0,5^{1}=0,5}$

${\displaystyle P(X=1)=f(1)=0,5^{1}0,5^{0}=0,5}$

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Ejemplo:

"Lanzar un dado y salir un 6".

Cuando lanzamos un dado tenemos 6 posibles resultados:

${\displaystyle \Omega =\{1,2,3,4,5,6\}}$

Estamos realizando un único experimento (lanzar el dado una sola vez).

Se considera éxito sacar un 6, por tanto, la probabilidad según la Regla de Laplace (casos favorables dividido entre casos posibles) será 1/6.

${\displaystyle p=1/6}$

Se considera fracaso no sacar un 6, por tanto, se considera fracaso sacar cualquier otro resultado.

${\displaystyle q=1-p=1-1/6=5/6}$

La variable aleatoria X medirá "número de veces que sale un 6", y solo existen dos valores posibles, 0 (que no salga 6) y 1 (que salga un 6).

Por tanto, la variable aleatoria X se distribuye como una Bernoulli de parámetro ${\displaystyle p}$ = 1/6

${\displaystyle X\sim Be(1/6)}$

La probabilidad de que obtengamos un 6 viene definida como la probabilidad de que X sea igual a 1.

${\displaystyle P(X=1)=f(1)=(1/6)^{1}*(5/6)^{0}=1/6=0.1667}$

La probabilidad de que NO obtengamos un 6 viene definida como la probabilidad de que X sea igual a 0.

${\displaystyle P(X=0)=f(0)=(1/6)^{0}*(5/6)^{1}=5/6=0.8333}$

La distribución Cauchy-Lorentz, llamada en honor a Augustin Cauchy y Hendrik Lorentz, es una distribución de probabilidad continua. Es conocida como la distribución de Cauchy y en el ámbito de la física se conoce como la distribución de Lorentz, la función Lorentziana ó la distribución de Breit-Wigner. Su importancia en la física es dada por ser la solución de la ecuación diferencial que describe la resonancia forzada. En espectroscopia describe la forma de las líneas espectrales que son ampliadas por diversos mecanismos, en particular, el mecanismo de ensanchamiento por colisión.

Caracterización

Función de densidad (PDF)

En estadística la distribución de Cauchy (a veces también distribución de Lorentz) es una distribución de probabilidad continua cuya función de densidad es

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x;x_{0},\gamma )&={\frac {1}{\pi \gamma \left[1+\left({\frac {x-x_{0}}{\gamma }}\right)^{2}\right]}}\\[0.5em]&={1 \over \pi }\left[{\gamma \over (x-x_{0})^{2}+\gamma ^{2}}\right]\end{aligned}}}$

donde x₀ es el parámetro de corrimiento que especifica la ubicación del pico de la distribución, y γ es el parámetro de escala que especifica el ancho medio al máximo medio (half-width at half-maximum, HWHM).

En el caso especial donde x₀ = 0 y γ = 1 es denominado la distribución estándar Cauchy con la función de densidad de probabilidad

${\displaystyle f(x;0,1)={\frac {1}{\pi (1+x^{2})}}.\!}$

En general la distribución de Cauchy no tiene valor esperado ni varianza.

Sean ${\displaystyle U}$ y ${\displaystyle V}$ dos variables aleatorias uniformes dentro -1 y 1 y ${\displaystyle U^{2}+V^{2}<1 annotation="">$, entonces el número ${\displaystyle U/V}$ tiene la distribución Cauchy.

Función de distribución

La función de distribución acumulativa (CDF) es:

${\displaystyle F(x;x_{0},\gamma )={\frac {1}{\pi }}\arctan \left({\frac {x-x_{0}}{\gamma }}\right)+{\frac {1}{2}}}$

y la función inversa de distribución acumulativa para la distribución Cauchy es

${\displaystyle F^{-1}(p;x_{0},\gamma )=x_{0}+\gamma \,\tan \left[\pi \,\left(p-{\tfrac {1}{2}}\right)\right].}$

Propiedades

La distribución de Cauchy es un ejemplo de una distribución que no tiene valor esperado, varianza o momentos definidos. Su moda y su mediana están bien definidas y son ambas iguales a x₀.

Cuando U y V son dos variables aleatorias independendientes y normalmente distribuidas con un valor esperado = 0 y una varianza = 1, luego la tasaU/V tiene la distribución estándar de Cauchy.

Sí X₁, …, X_n son variables aleatorias, independientes e idénticamente distribuidas, cada una con una distribución Cauchy, luego la media de la muestra (X₁ + … + X_n)/n tiene la misma distribución Cauchy estándar (la media de la muestra, la cuál no es afectada por los valores extremos, puede ser usada como medida de la tendencia central). Para comprobar que esto es cierto se calcula la función característica de la media de la muestra:

${\displaystyle \phi _{\overline {X}}(t)=\mathrm {E} \left(e^{i\,{\overline {X}}\,t}\right)\,\!}$

donde ${\displaystyle {\overline {X}}}$ es la media de la muestra. Este ejemplo sirve para demostrar que la hipótesis de varianza finita en el teorema del límite central no puede ser depuesta, al igual que la hipótesis de esperanza finita en la ley de los grandes números. Es también un ejemplo de una versión más generalizada del teorema de límite central que es característica de todas las distribuciones asimétricas alpha-estables de Lévy, de las cuales es la distribución de Cauchy un caso especial.

La distribución de Cauchy es una función de distribución infinitamente divisible. Es también una distribución estrictamente estable.

La distribución de Cauchy coíncide con la distribución t de Student con un grado de libertad.

Función Característica

Sea X una variable aleatoria con una distribución Cauchy. Luego la función característica de la distribución Cauchy está bien definida:

${\displaystyle \phi _{x}(t;x_{0},\gamma )=\mathrm {E} (e^{i\,X\,t})=\exp(i\,x_{0}\,t-\gamma \,|t|).\!}$

Cauchy-Lorentz
La línea verde es la distribución estándar de Cauchy Función de densidad de probabilidad
Leyenda de colores para la PDF de la imagen superior Función de distribución de probabilidad
Parámetros	${\displaystyle x_{0}\!}$ (real) ${\displaystyle \gamma >0\!}$ escala (real)
Función de densidad (pdf)	${\displaystyle {\frac {1}{\pi \gamma \,\left[1+\left({\frac {x-x_{0}}{\gamma }}\right)^{2}\right]}}\!}$
Función de distribución (cdf)	${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}\arctan \left({\frac {x-x_{0}}{\gamma }}\right)+{\frac {1}{2}}}$
Media	no definida
Mediana	${\displaystyle x_{0}}$
Moda	${\displaystyle x_{0}}$
Varianza	no definida
Curtosis	no definida
Entropía	${\displaystyle \ln(4\,\pi \,\gamma )\!}$
Función generadora de momentos (mgf)	no definida
Función característica	${\displaystyle \exp(x_{0}\,i\,t-\gamma \,|t|)\!}$