
Después de eliminarse los intervalos negros, los puntos blancos que quedan forman un conjunto que no es denso en ninguna parte, de medida 1/2.
Construcción
La construcción de este conjunto es similar a la del conjunto de Cantor. En particular, el proceso consiste en eliminar determinados intervalos del intervalo unidad [0, 1].
En el primer paso, se elimina el intervalo central de longitud 1/4, es decir, se quita 1/8 a cada lado del punto central, 1/2, con lo que el conjunto resultante es
- .
En cada uno de los siguientes pasos, se elimina de cada uno de los intervalos restantes un subintervalo centrado en él de longitud . Por tanto, en el segundo paso hay que eliminar los intervalos (5/32, 7/32) y (25/32, 27/32), resultando en el siguiente conjunto:
- .
Si el proceso continúa de forma indefinida, el conjunto de Smith-Volterra-Cantor es el conjunto de los puntos que nunca han sido eliminados. La siguiente imagen muestra el conjunto inicial y cinco iteraciones de este proceso:
Propiedades
Por construcción, el conjunto de Smith-Volterra-Cantor no contiene intervalos. Durante el proceso, se eliminan del intervalo inicial intervalos de longitud total
- .
Esto muestra que el conjunto de los puntos que quedan tiene medida positiva de 1/2.
Otros conjuntos gordos de Cantor
En general, se puede eliminar rn de cada uno de los subintervalos restantes en la n-ésima iteración del algoritmo para acabar con un conjunto similar al de Cantor. Este conjunto tendrá medida positiva si y sólo si la suma de la sucesión es menor que la medida del intervalo inicial.
constante de Apéry es un número curioso que aparece en diversas situaciones. Se define como el número ζ(3),
donde ζ es la función zeta de Riemann. Y tiene un valor de
Teorema de Apéry
Este valor debe su nombre a Roger Apéry (1916-1994), quien en 1977 probó que era irracional. Este resultado es conocido como "Teorema de Apéry". La prueba original es compleja y pruebas más cortas han sido halladas usando los Polinomios de Legendre.El resultado ha permanecido bastante aislado: poco se sabe sobre ζ(n) para otros números impares n.Representación por series
En 1772, Leonhard Euler dio la representación de la serieque fue posteriormente redescubierta varias veces, incluyendo Ramaswami en 1934.Simon Plouffe dio numerosas series, que son notables en cuanto a que pueden dar varios dígitos por repetición. Estas incluyen:yMuchas series sumatorias han sido encontradas, incluyendo:ydondeAlgunas de estas han sido utilizadas para calcular varios millones de dígitos de la constante de Apéry.Representación por integrales
Hay también muchas representaciones integrales para la constante de Apéry, de los más sencillosoque se derivan trivialmente de las definiciones integrales clásicas de la función zeta de Riemann, hasta bastante complicadas, como, por ejemplo,vea Johan Jensen,1 ovea F. Beukers,2 ovea Iaroslav Blagouchine.3 Además, el vínculo a las derivadas de la función gammatambién puede usarse para obtener muchas otras representaciones mediante conocidas fórmulas integrales para la función gamma y sus derivadas logarítmicas.- constante de Brun, B2, es el valor al que converge la suma de los inversos de los números primos gemelos:En 1919 Viggo Brun demostró la convergencia de la serie. Esto contrasta con el hecho de que la suma de los inversos de todos los números primos diverge. Si la serie de Brun fuera divergente, demostraría la infinidad de los primos gemelos (conjetura de los números primos gemelos), pero como es convergente no es posible tal demostración. Calculando los primos gemelos hasta 1014 (y al mismo tiempo descubriendo el error de división del Intel Pentium), Thomas Nicely estimo la constante de Brun en 1,902160578. La mejor estimación hasta la actualidad es la de Pascal Sebah y Patrick Demichel publicada en el año 2002, con todos los primos gemelos hasta 1016:
- B2 ≈ 1,902160583104
También existe la constante de Brun por primos cuádruples. Un primo cuádruple es dos parejas de primos gemelos separados por 4 unidades (la distancia más pequeña posible). Los primeros primos cuádruples son (5, 7, 11, 13), (11, 13, 17, 19) y (101, 103, 107, 109). Esta constante, B4, es la suma de los inversos de todos los primos cuádruples:con un valor de:- B4 = 0,87058 83800 ± 0,00000 00005
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