conjunto de Smith-Volterra-Cantor (SVC) o el conjunto gordo de Cantor (en inglés fat Cantor set) es un ejemplo de un conjunto de puntos en la recta real R que no es denso en ninguna parte (en particular, no contiene intervalos), pero que sin embargo tiene medida positiva.
Después de eliminarse los intervalos negros, los puntos blancos que quedan forman un conjunto que no es
denso en ninguna parte, de
medida 1/2.
Construcción
La construcción de este conjunto es similar a la del
conjunto de Cantor. En particular, el proceso consiste en eliminar determinados intervalos del
intervalo unidad [0, 1].
En el primer paso, se elimina el intervalo central de longitud 1/4, es decir, se quita 1/8 a cada lado del punto central, 1/2, con lo que el conjunto resultante es
- .
En cada uno de los siguientes pasos, se elimina de cada uno de los
intervalos restantes un subintervalo centrado en él de longitud
. Por tanto, en el segundo paso hay que eliminar los intervalos (5/32, 7/32) y (25/32, 27/32), resultando en el siguiente conjunto:
- .
Si el proceso continúa de forma indefinida, el conjunto de Smith-Volterra-Cantor es el conjunto de los puntos que nunca han sido eliminados. La siguiente imagen muestra el conjunto inicial y cinco iteraciones de este proceso:
Propiedades
Por construcción, el conjunto de Smith-Volterra-Cantor no contiene intervalos. Durante el proceso, se eliminan del intervalo inicial intervalos de longitud total
- .
Esto muestra que el conjunto de los puntos que quedan tiene medida positiva de 1/2.
Otros conjuntos gordos de Cantor
En general, se puede eliminar
rn de cada uno de los subintervalos restantes en la
n-ésima iteración del algoritmo para acabar con un conjunto similar al de Cantor. Este conjunto tendrá medida positiva
si y sólo si la suma de la sucesión es menor que la medida del intervalo inicial.
constante de Apéry es un número curioso que aparece en diversas situaciones. Se define como el número ζ(3),
Teorema de Apéry
Este valor debe su nombre a
Roger Apéry (1916-1994), quien en
1977 probó que era
irracional. Este resultado es conocido como "Teorema de Apéry". La prueba original es compleja y pruebas más cortas han sido halladas usando los
Polinomios de Legendre.
El resultado ha permanecido bastante aislado: poco se sabe sobre ζ(
n) para otros
números impares n.
Representación por series
que fue posteriormente redescubierta varias veces, incluyendo
Ramaswami en 1934.
Simon Plouffe dio numerosas series, que son notables en cuanto a que pueden dar varios dígitos por repetición. Estas incluyen:
y
Muchas series sumatorias han sido encontradas, incluyendo:
y
donde
Algunas de estas han sido utilizadas para calcular varios millones de dígitos de la constante de Apéry.
Representación por integrales
Hay también muchas representaciones integrales para la constante de Apéry, de los más sencillos
o
que se derivan trivialmente de las definiciones integrales clásicas de la
función zeta de Riemann, hasta bastante complicadas, como, por ejemplo,
vea Iaroslav Blagouchine.
3 Además, el vínculo a las derivadas de la
función gamma
-
- B2 ≈ 1,902160583104
También existe la constante de Brun por primos cuádruples. Un primo cuádruple es dos parejas de primos gemelos separados por 4 unidades (la distancia más pequeña posible). Los primeros primos cuádruples son (5, 7, 11, 13), (11, 13, 17, 19) y (101, 103, 107, 109). Esta constante, B4, es la suma de los inversos de todos los primos cuádruples:
con un valor de:
- B4 = 0,87058 83800 ± 0,00000 00005
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