Epónimos relacionados con las matemáticas

 construcción de Cayley-Dickson produce una secuencia de álgebras sobre el cuerpo de los números reales, cada una con dimensión doble que la anterior. Las álgebras producidas por este proceso son conocidas como álgebras de Cayley-Dickson; dado que son una extensión de los números complejos, son números hipercomplejos.

Todas estas álgebras tienen los conceptos de norma y conjugado, siendo la idea general que el producto de un elemento y su conjugado debería ser el cuadrado de su norma.

La sorpresa es que para los primeros pasos, además de tener dimensión más alta, la siguiente álgebra pierde alguna propiedad algebraica específica.

Introducción

Paso1. El paso de ${\displaystyle \mathbb {R} }$ a ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Los números complejos pueden escribirse como pares ordenados ${\displaystyle (a,b)}$ de números reales ${\displaystyle a}$ y ${\displaystyle b}$, con la suma definida componente a componente y el producto definido por la expresión:

${\displaystyle (a,b)(c,d)=(ac-bd,ad+bc).\,}$

La conjugación de un número complejo quedará definida por:

${\displaystyle (a,b)^{*}=(a,-b).\,}$

Como primera consecuencia, el producto de un número complejo así formado, por su conjugado ${\displaystyle (a,b)^{*}(a,b)=(aa+bb,ab-ba)=(a^{2}+b^{2},0),\,}$ será siempre un número real no negativo, con lo que podremos definir su raíz cuadrada (la norma del número complejo):

${\displaystyle |z|=(z^{*}z)^{1/2}.\,}$

Este mismo procedimiento, con unas ligeras modificaciones en la definición del producto y de la conjugación, nos permitirá definir los siguientes pasos de la construcción de Cayley-Dickson.

Paso 2. El paso de ${\displaystyle \mathbb {C} }$ a ${\displaystyle \mathbb {H} }$

A partir de una pareja ${\displaystyle (a,b)}$ de números complejos ${\displaystyle a}$ y ${\displaystyle b}$, podemos definir el producto¹

${\displaystyle (a,b)(c,d)=(ac-d^{*}b,da+bc^{*}).\,}$

Observamos dos variaciones con la fórmula que permitía el paso de R a C: aquí el orden es importante, pues el nuevo producto no será conmutativo, y aparece el conjugado de los números complejos (pues antes el conjugado de un número real era él mismo).

La conjugación quedará definida como:

${\displaystyle (a,b)^{*}=(a^{*},-b).\,}$

De nuevo el producto de un elemento por su conjugado será un número real no negativo:

${\displaystyle (a,b)^{*}(a,b)=(a^{*},-b)(a,b)=(a^{*}a+bb^{*},ab-ab)=(|a|^{2}+|b|^{2},0).\,}$

Esto nos permitirá definir la norma de estos pares ordenados. Al álgebra de dimensión cuatro que forman estos pares ordenados se le conoce con el nombre de cuaterniones.

El procedimiento general

El procedimiento general repite exactamente las definiciones dadas en el segundo paso (de C a H). De hecho, el primer paso (de R a C) puede verse como un caso particular del procedimiento general. En el tercer paso se construirían los octoniones como parejas de cuaterniones. En el cuarto paso se construirían los sedeniones como parejas de octoniones. El proceso puede repetirse indefinidamente.

convenio de suma de Einstein, notación de Einstein o notación indexada a la convención utilizada para abreviar la escritura de sumatorios, en el que se suprime el símbolo de sumatorio (representado con la letra griega sigma - ${\displaystyle \Sigma }$). El convenio fue introducido por Albert Einstein en 1916.¹ Se aplica en matemáticas en especial a los cálculos realizados en álgebra lineal destinados a la física. El convenio se aplica sólo a sumatorios sobre índices repetidos. El convenio se usa especialmente con tensores donde es muy frecuente la operación de suma sobre índices repetidos y sería muy fatigoso escribir explícitamente los signos de sumatorios.

Definición

Dada una expresión lineal en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ en la que se escriben todos sus términos de forma explícita:

${\displaystyle \mathbf {u} =u_{1}x_{1}+u_{2}x_{2}+u_{3}x_{3}+\cdots +u_{n}x_{n}}$

esta puede expresarse convencionalmente como el sumatorio:

${\displaystyle \mathbf {u} =\sum _{i=1}^{n}u_{i}x_{i}}$

La notación de Einstein obtiene una expresión aún más condensada eliminando el signo de sumatorio y entendiendo que en la expresión resultante un índice indica la suma sobre todos los posibles valores del mismo.²

${\displaystyle \mathbf {u} =u_{i}x_{i}}$

Índices

Un índice utilizado en la notación de Einstein puede aparecer en forma de producto hasta dos veces en mismo término de una expresión, por lo que las siguientes expresiones son válidas:

${\displaystyle k_{i}x_{i}\!}$

${\displaystyle \mathbf {v} _{i}=v_{ij}x_{j}}$

${\displaystyle c_{ijk}e_{i}e_{j}e_{k}\!}$

y las siguientes expresiones no se encuentran definidas o son inválidas:³

${\displaystyle x_{i}y_{i}z_{i}\!}$

${\displaystyle a_{m}x_{mj}y_{mk}\!}$

en cálculo de tensores es también común utilizar una de las ocurrencias como un subíndice y la otra como un superíndice. Por ejemplo, en la siguiente expresión en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$

${\displaystyle \mathbf {} a^{\mu }b_{\mu }=a^{0}b_{0}+a^{1}b_{1}+a^{2}b_{2}+a^{3}b_{3}}$

Un índice que se repite dos veces en el mismo término de una ecuación se conoce como índice mudo, por ejemplo:⁴

${\displaystyle \mathbf {A} =A_{i}e_{i}\!}$

Un índice que se repite en cada uno de los términos de una expresión a excepción de los términos constantes se conoce como índice libre.²

${\displaystyle s_{r}=a_{r}x_{i}+b_{r}x_{j}+c_{r}-1\!}$

Los índices libres no se expanden en forma de sumatorio, sino que representan un sistema de ecuaciones independientes.

${\displaystyle s_{1}=a_{1}x_{i}+b_{1}x_{j}+c_{1}-1\!}$

${\displaystyle s_{2}=a_{2}x_{i}+b_{2}x_{j}+c_{2}-1\!}$

${\displaystyle s_{3}=a_{3}x_{i}+b_{3}x_{j}+c_{3}-1\!}$

Representaciones vectoriales

Se emplea el convenio de Einstein en Álgebra lineal para distinguir fácilmente entre vectores columna y vectores fila. Se puede, por ejemplo, poner superíndices para representar elementos en una columna y subíndices para representar elementos en una fila. Siguiendo esta convención, entonces,

${\displaystyle \mathbf {u} =u_{i}={\begin{bmatrix}u_{1}&u_{2}&\cdots &u_{n}\end{bmatrix}}\ \ \mathrm {para} \ \ i=1,2,3,\ldots ,n}$

representa 1 x n vector fila y

${\displaystyle \mathbf {v} =v^{j}={\begin{bmatrix}v^{1}\\v^{2}\\\vdots \\v^{n}\end{bmatrix}}\ \ \mathrm {para} \ \ j=1,2,3,\ldots ,n}$

representa n x 1 vector columna.

En matemática y en física teórica y en particular en la relatividad general, los vectores fila representan vectores contravariantes mientras que los vectores columna representan vectores covariantes.

Representación matricial

Empleando la notación estándar, se puede generar una matriz M × N denominada A mediante multiplicación de vectores columna u por vectores fila v:

${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} }$

En la notación de Einstein, se tiene que:

${\displaystyle {A^{i}}_{j}=u^{i}v_{j}={(u\otimes v)^{i}}_{j}}$

Como i y j representan dos índices diferentes y en este caso con dos rangos diferentes M y N respectivamente, los índices no son eliminados en la multiplicación. Ambos índices sobreviven a la multiplicación para llegar a crear una nueva matriz A.

convolución de Dirichlet es una operación binaria definida para funciones aritméticas; esta es importante en teoría de números. Fue desarrollada por Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet, un matemático alemán.

Definición

Si ƒ y g son dos funciones aritméticas ( i.e. funciones de enteros positivos a números complejos), se puede definir una nueva función aritmética ƒ * g, la convolución de Dirichlet de ƒ y g, por medio de

${\displaystyle {\begin{aligned}(f*g)(n)&=\sum _{d\,\mid \,n}f(d)g\left({\frac {n}{d}}\right)\\&=\sum _{ab\,=\,n}f(a)g(b)\end{aligned}}}$

donde la suma se extiendo sobre todos los divisores positivos d de n, o equivalentemente, sobre todos los pares (a, b) de enteros positivos cuyo producto sea n.

Propiedades

El conjunto de funciones aritméticas forma un anillo conmutativo, el anillo de Dirichlet, bajo la adición componente a componente ( i.e. f + g se define por medio de (f + g)(n)= f(n) + g(n)) y la convolución de Dirichlet. La identidad multiplicativa es la función ${\displaystyle \epsilon }$ definida como ${\displaystyle \epsilon }$(n) = 1 si n = 1 y ${\displaystyle \epsilon }$(n) = 0 si n > 1. Entonces las unidades (i.e. los elementos invertibles) de este anillo son las funciones aritméticas f con f(1) ≠ 0.

Especialmente, la convolución de Dirichlet es¹ asociativa,

${\displaystyle (f\cdot g)\cdot h=f\cdot (g\cdot h),\ }$

distributiva para la suma

${\displaystyle f\cdot (g+h)=f\cdot g+f\cdot h=(g+h)\cdot f}$

es conmutativa,

${\displaystyle f\cdot g=g\cdot f}$

y tiene un elemento identidad,

${\displaystyle f\cdot \epsilon =\epsilon \cdot f=f}$

Más aún, para cada f para el cual f(1) ≠ 0 existe un g tal que f * g = ${\displaystyle \epsilon }$, llamado inverso de Dirichlet de f.

La convolución de Dirichlet de dos funciones multiplicativas es siempre multiplicativa, y cada función multiplicativa tiene una inversa de Dirichlet que es también multiplicativa. El artículo sobre funciones multiplicativas expone un listado de varias relaciones de convolución sobre importantes funciones multiplicativas.

Dada una función completamente multiplicativa f entonces f (g*h) = (f g)*(f h), donde la yuxtaposición representa la multiplicación componente a componente. La convolución de dos funciones completamente multiplicativas es a a fortiori multiplicativa, pero no necesariamente completamente multiplicativa.

Ejemplos

En estas fórmulas

${\displaystyle \epsilon }$ es la identidad multiplicativa. ( i.e. ${\displaystyle \epsilon }$(1) = 1, para todos los demás valores 0.)

1 es la función constante cuyo valor es 1 para todo n. (i.e. 1(n) = 1.) Manteniendo en mente que 1 no es la identidad.

1_C, donde ${\displaystyle \scriptstyle C\subset \mathbb {Z} }$ es un conjunto que es la función indicatriz. (i.e. 1_C(n) = 1 si n ∈ C, 0 de cualquier otra manera.)

Id es la función identidad, cuyo valor es n. (I.e. Id(n) = n.)

Id_k es la k-ésima función potencia. (i.e. Id_k(n) = n^k.)

Las otras funciones expuestas en los ejemplos son funciones aritméticas.

• 1 * μ = ${\displaystyle \epsilon }$   (La inversa de Dirichlet de la función constante 1 es la función de Möbius.) Esto implica que

• g = f * 1 if and only if f = g * μ   (la fórmula de inversión de Möbius).

• λ * |μ| = ${\displaystyle \epsilon }$   donde λ es la función de Liouville.

• λ * 1 = 1_Sq   donde Sq = {1, 4, 9, ...} es el conjunto de cuadrados

• ${\displaystyle \sigma }$_k = Id_k * 1   definición de la función σ_k

• ${\displaystyle \sigma }$ = Id * 1   definición de la función σ = σ₁

• d = 1 * 1   definición de la función d(n) = σ₀

• Id_k = ${\displaystyle \sigma }$_k * ${\displaystyle \mu }$   Inversión de Möbius de las fórmulas para σ_k, σ, y d.

• Id = ${\displaystyle \sigma }$ * ${\displaystyle \mu }$

• 1 = d * μ

• d ³ * 1 = (d * 1)²

• ${\displaystyle \varphi }$ * 1 = Id   Propiedad de la función φ de Euler.

• J_k * 1 = Id_k

• (Id_sJ_r) * J_s = J_s + r

• ${\displaystyle \sigma }$ = ${\displaystyle \varphi }$ * d   Demostración: convolucionar 1 en ambos miembros de Id = ${\displaystyle \varphi }$ * 1.

• Λ * 1 = log   donde Λ es la función de von Mangoldt.

Inversa de Dirichlet

Dada una función aritmética ƒ su inversa de Dirichlet g = ƒ⁻¹ puede ser calculada recursivamente ( i.e. el valor de g(n) es en términos de g(m) para m < n) de la definición de inversa de Dirichlet.

Para n = 1:

(ƒ * g) (1) = ƒ(1) g(1) = ${\displaystyle \epsilon }$(1) = 1, así

g(1) = 1/ƒ(1). Esto implica que ƒ no tiene inversa de Dirichlet siƒ(1) = 0.

Para n = 2

(ƒ * g) (2) = ƒ(1) g(2) + ƒ(2) g(1) = ${\displaystyle \epsilon }$(2) = 0,

g(2) = −1/ƒ(1) (ƒ(2) g(1)),

Para n = 3

(ƒ * g) (3) = ƒ(1) g(3) + ƒ(3) g(1) = ${\displaystyle \epsilon }$(3) = 0,

g(3) = −1/ƒ(1) (ƒ(3) g(1)),

Para n = 4

(ƒ * g) (4) = ƒ(1) g(4) + ƒ(2) g(2) + ƒ(4) g(1) = ${\displaystyle \epsilon }$(4) = 0,

g(4) = −1/ƒ(1) (ƒ(4) g(1) + ƒ(2) g(2)),

y en general para n > 1,

${\displaystyle g(n)={\frac {-1}{f(1)}}\sum _{\stackrel {d\,\mid \,n}{d$

Dado que la única división es por ƒ(1) se muestra que ƒ tiene una inversa de Dirichlet si y sólo si ƒ(1) ≠ 0.