Matemáticas - Polinomios

Deducción de la fórmula de Bhaskara

La fórmula que nos permite determinar las raíces de un polinomio de segundo grado fue deducida por el famoso matemático indio Bhaskaracharya, más conocido como Bhaskara II.

Lo que se busca es determinar los valores ${\displaystyle x_{1},x_{2}\,}$ para los cuales la ecuación ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\,}$

Demostración sencilla por cambio de variable

Se puede simplificar si aplicamos el cambio de variable ${\displaystyle 2m=b/a}$ y ${\displaystyle n=c/a}$. Así la ecuación queda:

${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\,}$

• Aplicamos el cambio de variable

${\displaystyle x^{2}+2mx+n=0\,}$

• Sumamos ${\displaystyle m^{2}}$ para ajustar cuadrados, y pasamos n al otro lado

${\displaystyle x^{2}+2mx+m^{2}=m^{2}-n\,}$

• Y lo contraemos de esta manera

${\displaystyle (x+m)^{2}=m^{2}-n\,}$

• Aplicamos la raíz cuadrada a ambos lados

${\displaystyle x+m=\pm {\sqrt {m^{2}-n}}\,}$

• Pasamos restando ${\displaystyle m}$

${\displaystyle x=-m\pm {\sqrt {m^{2}-n}}\,}$

• Deshaciendo la sustitución, ${\displaystyle m=b/2a}$ y ${\displaystyle n=c/a}$

${\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}\pm {\sqrt {\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {c}{a}}}}\,}$

• Y operando llegamos a la siguiente ecuación:

${\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\,}$

Demostración

• Partimos de la ecuación

${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\,}$

• Multiplicamos por ${\displaystyle 4a}$

${\displaystyle 4a^{2}x^{2}+4abx+4ac=0\,}$

• Sumamos ${\displaystyle b^{2}}$

${\displaystyle b^{2}+4a^{2}x^{2}+4abx+4ac=b^{2}\,}$

• Reordenamos para observar que es el cuadrado de la suma

${\displaystyle 4a^{2}x^{2}+4abx+b^{2}=b^{2}-4ac\,}$

• Y lo contraemos

${\displaystyle (2ax+b)^{2}=b^{2}-4ac\,}$

• Aplicamos la raíz cuadrada a ambos lados

${\displaystyle 2ax+b=\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}\,}$

• Pasamos restando ${\displaystyle b}$

${\displaystyle 2ax=-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}\,}$

• Y dividimos por ${\displaystyle 2a}$

${\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\,}$

discriminante de un polinomio es una cierta expresión de los coeficientes de dicho polinomio que es igual a cero si y solo si el polinomio tiene raíces múltiples en el plano complejo. Por ejemplo, el discriminante del polinomio cuadrático

${\displaystyle ax^{2}+bx+c\,}$       es       ${\displaystyle b^{2}-4ac\,}$.

El discriminante del polinomio cúbico

${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d\,}$       es       ${\displaystyle b^{2}c^{2}-4ac^{3}-4b^{3}d-27a^{2}d^{2}+18abcd\,}$.

Este concepto también se aplica si el polinomio tiene coeficientes en un cuerpo que no está contenido en los números complejos. En este caso, el discriminante se anula si y solo si el polinomio tiene raíces múltiples en su cuerpo de descomposición.

El concepto de discriminante ha sido generalizado a otras estructuras algebraicas además de los polinomios, incluyendo secciones cónicas, formas cuadráticas y cuerpos de números algebraicos. Los discriminantes en la teoría de números algebraicos están fuertemente relacionados y contienen información sobre ramificaciones. De hecho, los tipos de ramificación están relacionados con tipos más abstractos de discriminantes, lo que convierte esta idea algebraica en capital en muchas aplicaciones.

El discriminante de un polinomio

El discriminante de los polinomios cuadráticos

El polinomio cuadrático P(x) = ax² + bx + c tiene discriminante D = b² − 4ac, que es la cantidad bajo el signo de la raíz cuadrada en la fórmula de la solución de la ecuación de segundo grado. Dados los números reales a, b, c, se tiene:

• Cuando D > 0, P(x) tiene dos raíces reales distintas ${\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}$, y su representación cruza el eje de las abscisas dos veces.
• Cuando D = 0, P(x) tiene dos raíces coincidentes reales ${\displaystyle x_{1}=x_{2}=-{\frac {b}{2a}}}$, y su representación es tangente al eje de abscisas.
• Cuando D < 0, P(x) no tiene raíces reales y su representación queda estrictamente por encima o por debajo del eje de abscisas. En este caso, P(x) tiene dos raíces complejas distintas.

El discriminante de los polinomios cúbicos

El polinomio cúbico

${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d}$       tiene discriminante       ${\displaystyle b^{2}c^{2}-4ac^{3}-4b^{3}d-27a^{2}d^{2}+18abcd}$.

Los polinomios más simples tienen discriminantes con expresiones más simples. Por ejemplo el polinomio mónico cuadrático

${\displaystyle x^{2}+bx+c}$       tiene discriminante       ${\displaystyle b^{2}-4c}$.

el polinomio mónico cúbico

${\displaystyle x^{3}+bx^{2}+cx+d}$       tiene discriminante       ${\displaystyle b^{2}c^{2}-4c^{3}-4b^{3}d-27d^{2}+18bcd}$.

El polinomio mónico cúbico sin término cuadrático

${\displaystyle x^{3}+cx+d}$       tiene discriminante       ${\displaystyle -4c^{3}-27d^{2}}$.

Caso general

El discriminante del polinomio general

${\displaystyle p(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\ldots +a_{1}x+a_{0}}$

es, hasta cierto factor, igual al determinante de la matriz (2n − 1)×(2n − 1) (Véase también: matriz de Sylvester)

${\displaystyle \left({\begin{matrix}&a_{n}&a_{n-1}&a_{n-2}&\ldots &a_{0}&0&\ldots &\ldots &0\\&0&a_{n}&a_{n-1}&a_{n-2}&\ldots &a_{0}&0&\ldots &0\\&\vdots \ &&&&&&&&\vdots \\&0&0&\ldots \ &0&a_{n}&a_{n-1}&a_{n-2}&\ldots &a_{0}\\&na_{n}&(n-1)a_{n-1}&(n-2)a_{n-2}&\ldots \ &1a_{1}&0&\ldots &\ldots &0\\&0&na_{n}&(n-1)a_{n-1}&(n-2)a_{n-2}&\ldots \ &1a_{1}&0&\ldots &0\\&\vdots \ &&&&&&&&\vdots \\&0&0&\ldots &0&na_{n}&(n-1)a_{n-1}&(n-2)a_{n-2}&\ldots \ &1a_{1}\\\end{matrix}}\right)}$

El determinante de esta matriz se conoce como la resultante de ${\displaystyle p(x)}$ y ${\displaystyle p'(x)}$, notación ${\displaystyle R(p,p')}$. El discriminante ${\displaystyle D(p)}$ de ${\displaystyle p(x)}$ viene dado por

${\displaystyle D(p)=(-1)^{{\frac {1}{2}}n(n-1)}{\frac {1}{a_{n}}}R(p,p')\,}$.

Por

El discriminante del polinomio de cuarto grado se obtiene a partir de su determinante dividiéndolo por ${\displaystyle a_{4}}$.

De forma equivalente, el discriminante es igual a

${\displaystyle a_{n}^{2n-2}\prod _{i$

donde r₁,..., r_n son las raíces complejas (contando su multiplicidad) del polinomio p(x):

${\displaystyle {\begin{matrix}p(x)&=&a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_{1}x+a_{0}\\&=&a_{n}(x-r_{1})(x-r_{2})\ldots (x-r_{n})\end{matrix}}}$

Esta segunda expresión clarifica que p tiene raíz múltiple si y solo si el discriminante es cero (la raíz múltiple puede ser compleja).

El discriminante puede definirse para polinomios en cuerpos arbitrarios de la misma manera. La fórmula que involucra las raíces r_i igue siendo válida; las raíces tienen que tomarse en un cuerpo de descomposición del polinomio.

Discriminante de una sección cónica

Para una sección cónica definida por el polinomio real:

ax² + bxy + cy² + dx + ey + f= 0,

el discriminante es igual a

b² − 4ac,

y determina la forma de la sección cónica. Si el discriminante es menor a 0, la ecuación describe una elipse o una circunferencia. Si el discriminante es igual a 0, la ecuación describe una parábola. Si por el contrario es mayor a cero, la ecuación describe una hipérbola. Esta fórmula no funciona en los casos en que el polinomio ya se ha factorizado.

Discriminante de una forma cuadrática

Hay una generalización de las formas cuadráticas Q sobre cualquier cuerpo K de característica ≠ 2. Pueden expresarse como la suma de términos

a_iL_i²

donde los términos L_i son formas lineales y 1 ≤ i ≤ n donde n es el número de variables. Entonces el discriminante es el producto de a_i, tomado en K/K², y está bien definido. Una forma más invariante de decir lo mismo es que es el determinante de una matriz simétrica para Q.

Ecuaciones cuadráticas ¿qué es el discriminante?

Presta atención a la siguiente imagen, en donde te mostramos la forma tipo de una ecuación cuadrática completa y la fórmula para resolverla de la que hablábamos antes.

Ahora bien, el discriminante, precisamente es una parte de esta fórmula, pero una parte realmente muy importante ya que nos permitirá (si lo estudiamos por separado) determinar cuántas y qué tipo de soluciones tendrá la ecuación cuadrática en cuestión. De allí su nombre…, porque si lo piensas lo que nos permite en definitiva es discriminar.

Pero vamos por partes… ¿a qué parte de esta fórmula llamamos exactamente discriminante? La siguiente imagen te lo muestra claramente:

Se llama discriminante a la parte que está afectada por la raíz cuadrada, que, en la imagen anterior está destacada en color rojo.

¿Para qué nos sirve analizar el discriminante? Porque de su análisis sólo podrán surgir tres casos y en consecuencia, habrá sólo tres tipos de raíces o soluciones. El detalle consta en la siguiente imagen:

El discriminante se simboliza con la letra griega Delta, por lo que con frecuencia encontrarás expresiones como la que sigue, cuando se hace referencia al estudio de un discriminante:

Esto mismo, expresado desde el punto de vista de la gráfica de la ecuación cuadrática (es decir cuando se convierte en función), se visualiza mucho mejor; presta atención

En resumen, hemos respondido a la pregunta inicial: ya sabemos qué es el discriminante y para qué se usa. Te aseguro que es una herramienta muy potente a la hora de realizar el estudio de funciones más avanzadas y complejas, con las que seguramente te encontrarás en cursos superiores.

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