Epónimos relacionados con las matemáticas

 anillo ${\displaystyle R}$ es Noetheriano por la izquierda si sus ideales por la izquierda satisfacen la condición de cadena ascendente. Diremos que un anillo es noetheriano si es noetheriano por la izquierda y por la derecha. En los anillos conmutativos no se utiliza esta distinción, pues noetheriano por un lado implica noetheriano por el otro.

Los anillos Noetherianos son nombrados así en honor a Amalie Emmy Noether.

Uno de los primeros resultados que puede demostrarse es que un anillo es noetheriano por la izquierda si, y sólo si, todo ideal por la izquierda del anillo es finitamente generado. Otra condición equivalente a las anteriores es que todo conjunto no vacío de ideales del anillo tiene un ideal maximal. También es conocido que si ${\displaystyle R}$ es un anillo noetheriano, entonces ${\displaystyle R[X]}$ es un anillo noetheriano (teorema de la base de Hilbert)

Importancia

El que un anillo sea noetheriano implica de alguna manera ciertas condiciones de finitud. Así, por ejemplo, en un anillo noetheriano todo elemento se descompone en un producto finito de elementos irreducibles, aunque en general esta descomposición no será única. Para que un dominio noetheriano sea dominio de factorización única debe de verificarse que todo elemento irreducible del anillo sea primo.

En anillos noetherianos conmutativos también implica que de la intersección de una familia cualquiera de ideales (infinita o no), puede extraerse un subconjunto finito que tenga esa misma intersección. Y todavía más, todo ideal de un anillo noetheriano conmutativo puede expresarse de forma única como intersección finita de ideales primarios.

Otro punto importante es que si tenemos una familia cualquiera de ecuaciones polinómicas sobre un anillo noetheriano conmutativo, entonces podemos prescindir de todas salvo un número finito para obtener un sistema que tenga la misma solución que el sistema inicial. También juega un papel importante en el "buen comportamiento" de la dimensión de Krull. Estos resultados son fundamentales en geometría algebraica y de ahí la importancia de estos anillos en esta rama de las matemáticas.

Ejemplos

a) El conjunto de los números enteros ${\displaystyle \mathbb {Z} }$
b) Los dominios de ideales principales
c) Los dominios de Dedekind.
d) Cualquier cuerpo y en particular ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, ${\displaystyle \mathbb {R} }$ y ${\displaystyle \mathbb {C} }$
e) Los anillos de polinomios sobre un anillo noetheriano (en particular, sobre un cuerpo)

Proposiciones

a) Si R es un anillo noetheriano e I un ideal bilátero, entonces R/I es noetheriano.
b) Todo anillo artiniano por la izquierda es noetheriano por la izquierda (igual por la derecha)

Caracterización de anillos noetherianos

Publicado el diciembre 11, 2015 por Fernando Revilla

Estudiamos la caracterización de los anillos noetherianos vía la condición de cadena ascendente, y damos un ejemplo de aplicación.
Enunciado
(a)   Sea R$R$ un anillo conmutativo y unitario. Se dice que R$R$ cumple la condición de cadena ascendente sii para toda cadena In$I_n$ de ideales de R$R$

I1⊂I2⊂I3⊂…⊂In⊂In+1⊂…$$I_1\subset I_2\subset I_3\subset \dots \subset I_n\subset I_{n+1}\subset \dots$$

existe un n0$n_0$ natural tal que In=In0$I_n=I_{n_0}$ para todo n≥n0$n\ge n_0$ (i.e. la cadena se estabiliza). Demostrar la siguiente caracterización

R es noetheriano⇔R cumple la condición de cadena ascendente.$$R\text{ es noetheriano}\iff R\text{ cumple la condición de cadena ascendente.}$$

(b)   Aplicación: demostrar que el anillo C(R)$\mathcal{C}(\mathbb{R})$ de las funciones continuas de R$\mathbb{R}$ en R$\mathbb{R}$ no es noetheriano.

Solución
(a)   ⇒)$\Rightarrow )$ Recordamos que un anillo conmutativo y unitario R$R$ se dice que es noetheriano sii todo ideal de R$R$ está finitamente generado. Demostremos la caracterización propuesta. Sea I1⊂I2⊂I3⊂…$I_1\subset I_2\subset I_3\subset \dots$ una cadena ascendente de ideales de R.$R.$ Es inmediato comprobar que I=⋃nj=1Ij$I=\bigcup _{j=1}^n{I}_j$ es ideal de R.$R.$ Por hipótesis R$R$ está finitamente generado, por tanto existen elementos g1,…,gm$g_1,\dots ,g_m$ de R$R$ tales que I=⟨g1,…,gm⟩.$I=⟨g_1,\dots ,g_m⟩.$ Para 1≤j≤m$1\le j\le m$ se verifica gj∈Ikj$g_j\in I_{k_j}$ para algún kj$k_j$ natural. Si

n0=max{kj:1≤j≤m},$$n_0=max\{k_j:1\le j\le m\},$$

entonces g1,…,gm∈In0$g_1,\dots ,g_m\in I_{n_0}$ ya que Ikj⊂In0.$I_{k_j}\subset I_{n_0}.$ Entonces, para todo n≥n0$n\ge n_0$ se verifica

I=⟨g1,…,gm⟩⊂In0⊂In⊂I,$$I=⟨g_1,\dots ,g_m⟩\subset I_{n_0}\subset I_n\subset I,$$

lo cual implica que In0=In$I_{n_0}=I_n$ si n≥n0.$n\ge n_0.$
⇐)$\Leftarrow )$ Por reducción al absurdo. Si R$R$ no es noetheriano existe un ideal J$J$ de R$R$ no está finitamente generado. Elijamos 0≠f1∈J$0\ne f_1\in J$ y sea I1=⟨f1⟩.$I_1=⟨f_1⟩.$ Como J$J$ no está finitamente generado, I1⊊J$I_1⊊J$ y por tanto existe f2∈J∖I1$f_2\in J\setminus I_1$ tal que I2=⟨f1,f2⟩⊊J.$I_2=⟨f_1,f_2⟩⊊J.$ Repitiendo el proceso obtenemos una cadena de ideales

I1⊊I2⊊I3⊊…(Ik=⟨f1,f2,…fk⟩)

Caracterización de anillos noetherianos

Publicado el diciembre 11, 2015 por Fernando Revilla

Estudiamos la caracterización de los anillos noetherianos vía la condición de cadena ascendente, y damos un ejemplo de aplicación.
Enunciado
(a)   Sea R$R$ un anillo conmutativo y unitario. Se dice que R$R$ cumple la condición de cadena ascendente sii para toda cadena In$I_n$ de ideales de R$R$

I1⊂I2⊂I3⊂…⊂In⊂In+1⊂…$$I_1\subset I_2\subset I_3\subset \dots \subset I_n\subset I_{n+1}\subset \dots$$

existe un n0$n_0$ natural tal que In=In0$I_n=I_{n_0}$ para todo n≥n0$n\ge n_0$ (i.e. la cadena se estabiliza). Demostrar la siguiente caracterización

R es noetheriano⇔R cumple la condición de cadena ascendente.$$R\text{ es noetheriano}\iff R\text{ cumple la condición de cadena ascendente.}$$

(b)   Aplicación: demostrar que el anillo C(R)$\mathcal{C}(\mathbb{R})$ de las funciones continuas de R$\mathbb{R}$ en R$\mathbb{R}$ no es noetheriano.

Solución
(a)   ⇒)$\Rightarrow )$ Recordamos que un anillo conmutativo y unitario R$R$ se dice que es noetheriano sii todo ideal de R$R$ está finitamente generado. Demostremos la caracterización propuesta. Sea I1⊂I2⊂I3⊂…$I_1\subset I_2\subset I_3\subset \dots$ una cadena ascendente de ideales de R.$R.$ Es inmediato comprobar que I=⋃nj=1Ij$I=\bigcup _{j=1}^n{I}_j$ es ideal de R.$R.$ Por hipótesis R$R$ está finitamente generado, por tanto existen elementos g1,…,gm$g_1,\dots ,g_m$ de R$R$ tales que I=⟨g1,…,gm⟩.$I=⟨g_1,\dots ,g_m⟩.$ Para 1≤j≤m$1\le j\le m$ se verifica gj∈Ikj$g_j\in I_{k_j}$ para algún kj$k_j$ natural. Si

n0=max{kj:1≤j≤m},$$n_0=max\{k_j:1\le j\le m\},$$

entonces g1,…,gm∈In0$g_1,\dots ,g_m\in I_{n_0}$ ya que Ikj⊂In0.$I_{k_j}\subset I_{n_0}.$ Entonces, para todo n≥n0$n\ge n_0$ se verifica

I=⟨g1,…,gm⟩⊂In0⊂In⊂I,$$I=⟨g_1,\dots ,g_m⟩\subset I_{n_0}\subset I_n\subset I,$$

lo cual implica que In0=In$I_{n_0}=I_n$ si n≥n0.$n\ge n_0.$
⇐)$\Leftarrow )$ Por reducción al absurdo. Si R$R$ no es noetheriano existe un ideal J$J$ de R$R$ no está finitamente generado. Elijamos 0≠f1∈J$0\ne f_1\in J$ y sea I1=⟨f1⟩.$I_1=⟨f_1⟩.$ Como J$J$ no está finitamente generado, I1⊊J$I_1⊊J$ y por tanto existe f2∈J∖I1$f_2\in J\setminus I_1$ tal que I2=⟨f1,f2⟩⊊J.$I_2=⟨f_1,f_2⟩⊊J.$ Repitiendo el proceso obtenemos una cadena de ideales

I1⊊I2⊊I3⊊…(Ik=⟨f1,f2,…fk⟩)

http://fernandorevilla.es/blog/2015/12/11/caracterizacion-de-anillos-noetherianos/

aplicación de Poincaré o aplicación de primer retorno es una aplicación definida no en el espacio de estados del sistema, sino en un subespacio de dimensión inferior llamado sección de Poincaré. Dicha aplicación lleva cada punto de dicha sección en el primer punto en el que la órbita que lo contiene retorna a la misma. Fue presentada por Henri Poincaré en 1881, quien la aplicó al estudio del problema de los tres cuerpos.

Se exige que la sección de Poincaré sea transversal al flujo del sistema. Dicha transversalidad plasma la exigencia de que las órbitas que comienzan en la sección fluyan a través de la misma y no paralelas a ella.

Una aplicación de Poincaré puede interpretarse como un sistema dinámico discreto con un espacio de estado con menor dimensión que el sistema continuo original. Como preserva algunas características esenciales del sistema original suele emplearse como un medio alternativo de analizar al mismo. Sin embargo, no siempre es posible hacer esto, puesto que no existe un método general para construir aplicaciones de Poincaré. La elección de la misma suele ir precedida de un análisis de la estabilidad lineal del sistema, para asegurar que la sección interseque a todas las órbitas de interés. La correspondencia entre una y otra visión es la siguiente:

• Una órbita periódica simple del sistema dinámico original se convierte en un único punto fijo en la sección de Poincaré.
• Una trayectoria cuasiperiódica en la imagen de una curva cerrada.
• Un movimiento caótico en una zona con puntos distribuidos de modo errático.

En la sección de Poincaré S, la aplicación de Poincaré P lleva el punto x de en el punto P(x).