Matemáticas - Polinomios

polinomios ortogonales son conjuntos de polinomios que forman una base ortogonal de cierto espacio de Hilbert. Los polinomios ortogonales son importantes porque aparecen en la teoría de ecuaciones diferenciales, muy especialmente en la teoría de Sturm-Liouville, la teoría de espacios de Hilbert, la teoría de la aproximación de funciones y la mecánica cuántica.

Espacios de Hilbert ${\displaystyle L_{w}^{2}(\mathbb {R} )}$

La mayoría de las familias ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ de polinomios ortogonales más usados son bases ortogonales de un espacio de Hilbert ${\displaystyle L_{w}^{2}(I)}$ de funciones de cuadrado integrable respecto al producto escalar con función de ponderación ${\displaystyle w(x)\,}$. Es decir:

${\displaystyle \langle p_{m},p_{n}\rangle _{\mathcal {F}}=\int _{I\subset \mathbb {R} }p_{m}^{*}(x)p_{n}(x)w(x)\ dx=N_{m}\delta _{mn}}$

Donde:

${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{\mathcal {F}}}$ es el producto escalar del espacio ${\displaystyle L_{w}^{2}(I)}$.

${\displaystyle N_{m}\,}$ es un factor de normalización que vale 1 si la familia de polinomios es además ortonormal.

${\displaystyle \delta _{mn}\,}$ es el delta de Kronecker.

Además estos polinomios suelen ser los vectores propios de un operador diferencial lineal autoadjunto de segundo orden u operador Sturm-Liouville de la forma:

${\displaystyle {\mathcal {L}}(y)={\frac {1}{w}}\left[-{\frac {d}{dx}}\left[p(x){\frac {dy}{dx}}\right]+q(x)y\right]}$

Polinomios de Legendre

Los polinomios de Legendre son soluciones de la ecuación diferencial:¹

${\displaystyle (1-x^{2})y''-2xy'+n(n+1)y=0,\qquad y(x)=P_{n}(x)={\frac {1}{2^{n}n!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}(1-x^{2})^{n},\qquad \{w=1,I=[-1,1]\}}$

Polinomios de Hermite

Los polinomios de Hermite son soluciones de la ecuación diferencial:²

${\displaystyle y''-2xy'+2ny=0,\qquad y(x)=H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^{2}},\qquad \{w=e^{-x^{2}},I=\mathbb {R} \}}$

Polinomios de Laguerre

• Los polinomios de Laguerre son soluciones de la ecuación diferencial:³

${\displaystyle xy''+(1-x)y'+ny=0,\qquad y(x)=L_{n}(x)=e^{x}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}(x^{n}e^{-x}),\qquad \{w=e^{-x},I=[0,\infty )\}}$

• Los polinomios asociados de Laguerre son soluciones de la ecuación diferencial:⁴

${\displaystyle xy''-(m+1-x)y'+(n-m)y=0,\qquad y(x)=L_{n}^{m}(x)={\frac {d^{m}}{dx^{m}}}\left(e^{x}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}(x^{n}e^{-x})\right),\qquad \{w=x^{m}e^{-x},I=[0,\infty )\}}$

Polinomios de Chebyshov

Los polinomios de Chebyshov son soluciones de la ecuación diferencial:⁵

${\displaystyle (1-x^{2})y''-xy'+n^{2}y=0,\qquad y(x)=T_{n}(x)=\cos(n\arccos x),\qquad \{w={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}},I=[-1,1]\}}$

Los ${\displaystyle T_{n}(x)}$ se denominan polinomios de Chebyshov de primer tipo, además los polinomios de Chebyshov de segundo tipo ${\displaystyle U_{n}(x)}$ que vienen dados por:

${\displaystyle U_{n}(\cos \theta )={\frac {\sin(n+1)\theta }{\sin \theta }},\qquad U_{n}(x)={\frac {\sin[(n+1)\arccos x]}{\sin(\arccos x)}},\qquad \{w={\sqrt {1-x^{2}}},I=[-1,1]\}}$

Polinomios de Jacobi

Los polinomios de Jacobi son series de polinomios ortogonales ${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,beta)}}$ respecto a la función peso ${\displaystyle w(x)=(1-x)^{\alpha }(1+x)^{\beta }}$ en el intervalo [-1,+1] satisfacen la ecuación diferencial:

${\displaystyle \left(1-x^{2}\right)y''+(\beta -\alpha -(\alpha +\beta +2)x)y'+n(n+\alpha +\beta +1)y=0}$

Muchos polinomios ortogonales son casos particulares de Jacobi:

• Los polinomios ultraesféricos son aquellos para los cuales ${\displaystyle \alpha =\beta }$ entre ellos están:
  • Los polinomios de Chebyshev de primer tipo tienen ${\displaystyle \alpha =\beta =-1/2}$.
  • Los polinomios de Chebyshev de segundo tipo tienen ${\displaystyle \alpha =\beta =+1/2}$.
  • Los polinomios de Legendre tienen ${\displaystyle \alpha =\beta =0}$.

Mecánica cuántica

En mecánica cuántica son de uso común las siguientes familias de polinomios ortogonales:

• Los polinomios de Hermite aparecen en mecánica cuántica como soluciones del oscilador armónico unidimensional.
• Los polinomios de Legendre y sus funciones asociadas aparecen en problemas cuánticos con simetría esférica, ya que los armónicos esféricos son funciones ortogonales sobre la esfera expresables mediante estos polinomios.

Los polinomios ortogonales son una clase de polinomios que forman una base ortogonal en el espacio de Hilbert (que no es más que una generalización del espacio euclídeo). Aparecen sobretodo en la teoría de ecuaciones diferenciales y en la mecánica cuántica. Veamos la definición exacta de estos polinomios:

Un conjunto de polinomios de orden n, definidos en un determinado intervalo a ≤ x ≤ b, los cuales son ortogonales respecto a una definición de producto interno:

Con w(x)>0 una función de peso en a ≤ x ≤b, que garantiza que la norma sea finita en ese intervalo.

A continuación os dejo un cuadro con las propiedades generales de los polinomios ortogonales, en donde a y b son los límites del intervalo, mientras que Nn indica la norma del polinomio de grado n, siendo w(x) la función de peso, como indicamos anteriormente.

Estos polinomios son conocidos como los “polinomios ortogonales clásicos”, y la diferencia con los demás tipos son las siguientes:

A) Para definir los polinomios ortogonales, usamos la fórmula de Rodrigues generalizada:

en donde w(x), q y nu vienen detalladas en el cuadro de abajo (y son fijos para cada polinomio ortogonal):

Comentar además que, w(x) es una variable no negativa, e integrable en cierto intervalo de la recta real y p(x) es un polinomio independiente de n, de grado a lo sumo 2.

A continuación os dejo otro cuadro con ejemplos de cómo resolver polinomios ortogonales con la formula antes mencionada.

Para resolverlos simplemente tendríamos que sustituir el valor de “n” en la función, considerando el peso y la norma.

B) La última propiedad que diferencia a éstos polinomios de los otros, es que constituyen soluciones de una ecuación diferencial de segundo orden, del tipo:

donde alfa y beta son polinomios fijos para cada familia, independientes de n y con grados respectivos dos y uno. El enésimo polinomio es la solución de la ecuación con el correspondiente valor de γn.

 fórmula de Rodrigues (antes conocida como la fórmula de Ivory-Jacobi) es una fórmula para los polinomios de Legendre introducida por Olinde Rodrigues (1816), Sir James Ivory (1824) y Carl Gustav Jacobi (1827). El nombre de fórmula de Rodrigues fue propuesto por Eduard Heine en 1878, después de que Hermite señalase en 1865 que Rodrigues fue el primero en descubrirlo. El término también se utiliza para describir fórmulas similares para otros polinomios ortogonales. Askey (2005) describe la historia de la fórmula de Rodrigues en detalle.¹

Declaración

Rodrigues definió su fórmula para polinomios de Legendre:${\displaystyle P_{n}}$

${\displaystyle P_{n}(x)={1 \over 2^{n}n!}{d^{n} \over dx^{n}}\left[(x^{2}-1)^{n}\right].}$

Los polinomios de Laguerre se escriben normalmente como L0, L1, ..., y mediante la fórmula de Rodrigues se pueden escribir:

${\displaystyle L_{n}(x)={\frac {e^{x}}{n!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(e^{-x}x^{n}\right)={\frac {1}{n!}}\left({\frac {d}{dx}}-1\right)^{n}x^{n},}$

La fórmula de Rodrigues para polinomios de Hermite nos da:

.${\displaystyle H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^{2}}=\left(2x-{\frac {d}{dx}}\right)^{n}\cdot 1}$

A fórmulas similares para otras secuencias de las funciones ortogonales que surgen de la  Teoría de Sturm-Liouville, también puede aplicarse la fórmula de Rodrigues especialmente cuándo la secuencia resultante es polinómica.