Los cinco primeros polinomios de Hermite (probabilísticos').
Definición
Los polinomios de Hermite se definen como:
(los "polinomios de Hermite probabilísticos") o, a veces, como (los "polinomios de Hermite físicos"):
Estas dos definiciones no son exactamente equivalentes; una es un reescalado trivial de la otra:
.
Los polinomios físicos pueden expresarse como:
Propiedades
Ortogonalidad
es un polinomio de grado
n, con
n = 0, 1, 2, 3, .... Estos
polinomios son ortogonales con respecto de la
función peso (
medida)
(probabilista)
o
(física)
es decir
(probabilista)
o
(física)
Función generadora
Fórmulas de recurrencia
Los polinomios de Hermite (en su forma "física") satisfacen las siguientes relaciones de recurrencia:
Descomposición en serie de funciones
Toda función
f continua puede expresarse como serie infinita en términos de polinomios de Hermite:
Donde las constantes de la anterior serie vienene dados por:
Otros resultados
Ecuación diferencial de Hermite
Los polinomios de Hermite son soluciones de la ecuación diferencial de Hermite:
1
que en forma canónica puede escribirse como:
Desarrollando
en
serie de potencias se obtiene una relación de recurrencia entre coeficientes consecutivos como la que sigue:
Puede verse que siempre que n sea natural se anula el coeficiente de toda potencia mayor (y distinta) que n. Esto es, una de las soluciones linealmente independientes es un polinomio de grado n (polinomio de laguerre de orden n, que notaremos por L
n(x)). Para encontrar la otra solución linealmente independiente han de estudiarse las soluciones de la ecuación más general
.
Definición
El polinomio de Laguerre de orden n puede definirse como sigue:
Que tras desarrollar queda de la forma:
algunos de estos polinomios son:
n | |
0 | |
1 | |
2 | |
3 | |
4 | |
5 | |
6 | |
Los polinomios de Laguerre también pueden ser definidos mediante la integral:
Integrando en sentido contrario a las agujas del reloj sobre cualquier camino cerrado en torno al origen del plano complejo y contenido en el disco |t| < 1.
Función generatriz
Cambiando el orden de los sumatorios, haciendo el cambio m = n - k y reordenando queda lo que a continuación:
Que sabiendo que
, y después de reagrupar queda de la forma:
Relaciones de recurrencia
A partir de la función generatriz, despejando la exponencial y derivando respecto de t se puede llegar a una relación de recurrencia como la siguiente:
Conocidos los dos primeros polinomios (ver tabla) puede utilizarse esta fórmula para obtener el de grado n.
Ortogonalidad
Los polinomios de Laguerre son
ortogonales según el producto escalar:
No obstante podemos definir las funciones:
Despejando de su definición los polinomios de Laguerre y sustituyendo en la ecuación de Laguerre obtenemos la
ecuación diferencial que nos da estas funciones como solución:
Polinomios asociados de Laguerre
También llamados polinomios de Laguerre generalizados, son polinomios que cumplen la siguiente ecuación diferencial:
Definición
Quedan definidos a partir de las derivadas de los polinomios de Laguerre:
Aunque en ocasiones puede resultar ventajosa la siguiente definición:
Puede comprobarse que para m > n el polinomio asociado correspondiente vale 0. Asimismo, salta a la vista que
.
Derivando, según la definición se obtiene:
Función generatriz y relaciones de recurrencia
De la que se derivan las relaciones de recurrencia que cumplen; algunas de las cuales son las siguientes:
Ortogonalidad
Los polinomios asociados de Laguerre son ortogonales respecto la función peso
. Se cumple que:
Otra relación de importancia que cumplen es la siguiente:
Donde
es la
función Gamma.
Como con los polinomios de Laguerre, se encuentra que las siguientes funciones son ortonormales respecto de la función peso 1:
Son de importancia en
mecánica cuántica otras que son ortonormales respecto de la función peso
(debido a la forma que toma la integral de volúmen en coordenadas esféricas) que surgen como solución a la parte radial de la
ecuación de Schrödinger para el
átomo hidrogenoide. Estas funciones son las siguientes:
En general las funciones construidas de la forma:
Son ortogonales respecto de la función peso
y son solución de la ecuación:
Relación con los polinomios de Hermite
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