Epónimos relacionados con las matemáticas

 constante de Cahen se define como una serie infinita de fracciones unitarias, con signos alternos, derivadas de la sucesión de Sylvester:

${\displaystyle C=\sum {\frac {(-1)^{i}}{s_{i}-1}}={\frac {1}{1}}-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{42}}+{\frac {1}{1806}}-\cdots \approx 0,64341054629}$

Si se agrupan estas fracciones en pares, se puede considerar la constante de Cahen como una serie de fracciones unitarias positivas formadas a partir de los términos en los lugares pares de la sucesión de Sylvester. Esta serie es un ejemplo de algoritmo voraz para fracciones egipcias:

${\displaystyle C=\sum {\frac {1}{s_{2i}}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{1807}}+{\frac {1}{10650056950807}}+\cdots }$

Esta constante recibe su nombre por Eugène Cahen (también conocido por la integral de Cahen-Mellin), quien fue el primero en formular e investigar su serie (Cahen 1891).

Se sabe que la constante de Cahen es trascendente (Davison and Shallit 1991), y es uno de los pocos números trascendentes construidos de forma natural cuya expansión en forma de fracción continua se conoce en su totalidad: si se forma la sucesión

1, 1, 2, 3, 14, 129, 25298, 420984147, ... (A006279)

definida por la recurrencia

${\displaystyle q_{n+2}=q_{n}^{2}q_{n+1}+q_{n}}$

entonces la expansión en forma de fracción continua de la constante de Cahen es

${\displaystyle [0,1,q_{0}^{2},q_{1}^{2},q_{2}^{2},\ldots ]}$

constante de Catalan debe su nombre al matemático belga Eugène Charles Catalan y aparece en el contexto de las integrales elípticas, y su valor resulta ser un número irracional igual a la suma alternada de los inversos de los cuadrados de los números naturales impares.

Concretamente, la constante de Catalan se define como el valor numérico de la siguiente integral:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}K(k)\ dk={\frac {1}{2}}\int _{k=0}^{1}\int _{\theta =0}^{\pi /2}{\frac {d\theta \ dk}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}={\frac {1}{1^{2}}}-{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}-\dots =0,915965594...}$

donde:

${\displaystyle K(k)\;}$ es la integral elíptica de primera especie.

 constante de Chaitin (o número omega de Chaitin o probabilidad de parada) es la probabilidad de que un programa elegido al azar detenga correctamente una máquina de Turing determinada. Al ser una probabilidad ha de ser un número entre 0 y 1.

Sea P el conjunto de todos los programas que se detienen, y |p| el tamaño en bits de un programa p, Ω está definida de la siguiente manera:

${\displaystyle \Omega =\sum _{p\in P}2^{-|p|}}$

Historia

Gregory Chaitin, en los años 1960 y casi a la vez que Andréi Kolmogórov, estableció la siguiente definición de objeto algorítmicamente aleatorio: aquel imposible de ser generado por un programa más corto que sí mismo. También demostró que todo número algorítmicamente aleatorio era normal (sea cual sea la base elegida, todos los dígitos aparecen con igual frecuencia, como si hubieran sido generados mediante sucesivos lanzamientos de un dado).

Recordemos que una máquina de Turing es un ordenador simple, pero que con ella se pueden computar todas las tareas computables.

Propiedades

• Esta constante no es computable. Es posible conocer los primeros dígitos, pero a partir de cierto decimal (que depende de la codificación elegida) no es posible obtener más.
• Es un número real b-normal y algorítmicamente incompresible, o en una terminología equivalente es un número e algorítmicamente aleatorio. Esto es decir bastante más de lo que parece a simple vista. Supone que no puede comprimirse en un programa más breve que él mismo. Un número irracional como π o e, a pesar de tener infinitos decimales no periódicos, puede ser generado correctamente hasta el decimal enésimo por un programa de muy pocas líneas que, ejecutado en un ordenador, vaya escribiendo los sucesivos decimales. Por lo tanto es comprimible, y no es algorítmicamente aleatorio.

No solamente no se puede calcular este número, sino que nunca se pueden saber cuáles son sus bits, porque esa información, como dijo Chaitin, "es matemáticamente incompresible e incomprensible, las palabras son muy semejantes. Para obtener los n primeros bits de Ω se necesita una teoría de n bits, de complejidad igual al fenómeno que se quiere estudiar. Eso significa que no se gana nada razonando".

Existen programas muy cortos que generan ${\displaystyle \pi }$ con sus infinitos decimales, luego la complejidad intrínseca (inherente y propia del elemento) de π es pequeña; no es algorítmicamente aleatorio. El conjunto de Mandelbrot, con sus recovecos infinitos y volutas bellísimas es generable también por programas muy cortos, por lo tanto posee muy poca complejidad en el sentido de Kolmogórov.

Nuestro Ω no tiene estructura: es puro azar a pesar de estar perfectamente definido.

Kolmogórov ha ideado el concepto de complejidad (cantidad de información) de un objeto como el número de bits del programa más conciso capaz de generarlo.

Metáfora de la constante de Chaitin: un número omega de Chaitin es una secuencia de bits que representan, en forma concentrada, la solución al problema de la parada para todos los programas de una máquina de Turing universal dada.

 constante de Conway es una constante matemática ligada a la tasa de crecimiento del número de cifras de una sucesión conocida como desintegración audioactiva (en inglés audioactive decay) o Look-and-Say ("Mira y di"). En esta sucesión, cada término se obtiene agrupando las cifras iguales del anterior y recitándolas. Por ejemplo, si ${\displaystyle x_{0}=1}$ ("un uno"), los siguientes términos serán:¹

${\displaystyle x_{1}=11}$ ("dos unos --> 21")

${\displaystyle x_{2}=21}$ ("un dos un uno --> 1211")

${\displaystyle x_{3}=1211}$ ("un uno un dos dos unos --> 111221")

${\displaystyle x_{4}=111221}$ ("tres unos dos doses un uno --> 312211")

${\displaystyle x_{5}=312211}$ ("un tres un uno dos doses dos unos --> 13112221")

etc.

El proceso es similar al empleado en el sistema de compresión Run-length encoding.

Independientemente del término inicial ${\displaystyle x_{o}}$ elegido (con la única salvedad del 22), la sucesión diverge y la razón entre el número de cifras de ${\displaystyle x_{n}}$ y ${\displaystyle x_{n-1}}$ tiende a un valor fijo que es la constante de Conway, ${\displaystyle \lambda \approx 1,303577269}$.² Esta constante es un número irracional algebraico, y de hecho es la única solución real positiva de la siguiente ecuación polinómica de grado 71:

${\displaystyle x^{71}-x^{69}-2x^{68}-x^{67}+2x^{66}+2x^{65}+x^{64}-x^{63}-x^{62}-x^{61}-x^{60}-x^{59}+}$

${\displaystyle 2x^{58}+5x^{57}+3x^{56}-2x^{55}-10x^{54}-3x^{53}-2x^{52}+6x^{51}+6x^{50}+x^{49}+9x^{48}-3x^{47}-}$

${\displaystyle 7x^{46}-8x^{45}-8x^{44}+10x^{43}+6x^{42}+8x^{41}-5x^{40}-12x^{39}+7x^{38}-7x^{37}+7x^{36}+x^{35}-}$

${\displaystyle 3x^{34}+10x^{33}+x^{32}-6x^{31}-2x^{30}-10x^{29}-3x^{28}+2x^{27}+9x^{26}-3x^{25}+14x^{24}-8x^{23}-}$

${\displaystyle 7x^{21}+9x^{20}+3x^{19}-4x^{18}-10x^{17}-7x^{16}+12x^{15}+7x^{14}+2x^{13}-12x^{12}-4x^{11}-}$

${\displaystyle 2x^{10}+5x^{9}+x^{7}-7x^{6}+7x^{5}-4x^{4}+12x^{3}-6x^{2}+3x-6=0}$

Al tomar 22 ("dos doses") como término inicial, la sucesión es degenerada porque todos los términos siguientes volverán a ser 22.

«Desintegración audioactiva»

John Conway calificó esta sucesión de «desintegración audioactiva» (audioactive decay), un juego de palabras sobre la desintegración radiactiva, poniendo énfasis en el comportamiento de los términos de la sucesión. Conway mostró que, a partir de un determinado punto, casi todos los términos de la sucesión pueden descomponerse en 92 subtérminos, a los que llamó elementos, por analogía con los elementos químicos. Estos elementos funcionan como entidades independientes, no interactúan con los demás dígitos del término y se descomponen en otro u otros elementos en el siguiente término de la sucesión.

Por ejemplo, el elemento más simple, llamado hidrógeno, es la secuencia estable ${\displaystyle 22}$. El manganeso, ${\displaystyle 3113322112}$, da lugar a ${\displaystyle 132123222112}$, que a su vez se descompone en los elementos prometio (${\displaystyle 132}$) y sodio (${\displaystyle 123222112}$).

La lista de elementos está confeccionada de tal manera que, empezando por el último elemento, el uranio (${\displaystyle 3}$) cada uno de los elementos anteriores hace su aparición a lo largo de sucesivas iteraciones hasta llegar al primero, el hidrógeno, al cabo de 91 iteraciones.

Z	Elemento	Proviene de	Se descompone en	Desarrollo	Longitud
1	Hidrógeno	7 elementos: H, He, Sc, Ga, Zr, Ce, Ta	1 elemento: H (estable)	22	2
2	Helio	1 elemento: Li	5 elementos: Hf, Pa, H, Ca, Li	13112221133211322112211213322112	32
3	Litio	2 elementos: He, Be	1 elemento: He	312211322212221121123222112	27
4	Berilio	1 elemento: B	3 elementos: Ge, Ca, Li	111312211312113221133211322112211213322112	42
5	Boro	1 elemento: C	1 elemento: Be	1321132122211322212221121123222112	34
6	Carbono	1 elemento: N	1 elemento: B	3113112211322112211213322112	28
7	Nitrógeno	1 elemento: O	1 elemento: C	111312212221121123222112	24
8	Oxígeno	1 elemento: F	1 elemento: N	132112211213322112	18
9	Flúor	1 elemento: Ne	1 elemento: O	31121123222112	14
10	Neón	1 elemento: Na	1 elemento: F	111213322112	12
11	Sodio	2 elementos: Mg, As	1 elemento: Ne	123222112	9
12	Magnesio	1 elemento: Al	2 elementos: Pm, Na	3113322112	10
13	Aluminio	1 elemento: Si	1 elemento: Mg	1113222112	10
14	Silicio	2 elementos: P, Mn	1 elemento: Al	1322112	7
15	Fósforo	1 elemento: S	2 elementos: Ho, Si	311311222112	12
16	Azufre	1 elemento: Cl	1 elemento: P	1113122112	10
17	Cloro	1 elemento: Ar	1 elemento: S	132112	6
18	Argón	1 elemento: K	1 elemento: Cl	3112	4
19	Potasio	1 elemento: Ca	1 elemento: Ar	1112	4
20	Calcio	13 elementos: He, Be, Sc, Ga (2 veces), Zr, Ru, Te, Ce, Sm, Gd, Tm, Ta, Re	1 elemento: K	12	2
21	Escandio	1 elemento: Ti	5 elementos: Ho, Pa, H, Ca, Co	3113112221133112	16
22	Titanio	1 elemento: V	1 elemento: Sc	11131221131112	14
23	Vanadio	1 elemento: Cr	1 elemento: Ti	13211312	8
24	Cromo	1 elemento: Mn	1 elemento: V	31132	5
25	Manganeso	1 elemento: Fe	2 elementos: Cr, Si	111311222112	12
26	Hierro	1 elemento: Co	1 elemento: Mn	13122112	8
27	Cobalto	5 elementos: Sc, Ni, Ce, Tm, Gd	1 elemento: Fe	32112	5
28	Níquel	1 elemento: Cu	2 elementos: Zn, Co	11133112	8
29	Cobre	1 elemento: Zn	1 elemento: Ni	131112	6
30	Zinc	3 elementos: Ni, Ga, Sm	1 elemento: Cu	312	3
31	Galio	1 elemento: Ge	6 elementos: Eu, Ca, Ac, H, Ca, Zn	13221133122211332	17
32	Germanio	3 elementos: Be, As, Re	2 elementos: Ho, Ga	31131122211311122113222	23
33	Arsénico	1 elemento: Se	2 elementos: Ge, Na	11131221131211322113322112	26
34	Selenio	1 elemento: Br	1 elemento: As	13211321222113222112	20
35	Bromo	1 elemento: Kr	1 elemento: Se	3113112211322112	16
36	Kriptón	1 elemento: Rb	1 elemento: Br	11131221222112	14
37	Rubidio	1 elemento: Sr	1 elemento: Kr	1321122112	10
38	Estroncio	1 elemento: Y	1 elemento: Rb	3112112	7
39	Itrio	1 elemento: Zr	2 elementos: Sr, U	1112133	7
40	Zirconio	1 elemento: Nb	4 elementos: Y, H, Ca, Tc	12322211331222113112211	23
41	Niobio	1 elemento: Mo	2 elementos: Er, Zr	11131221133221131112211312221	29
42	Molibdeno	1 elemento: Tc	1 elemento: Nb	13211322211312113211	20
43	Tecnecio	2 elementos: Zr, Ru	1 elemento: Mo	311322113212221	15
44	Rutenio	1 elemento: Rh	3 elementos: Eu, Ca, Tc	132211331222113112211	21
45	Rodio	1 elemento: Pd	2 elementos: Ho, Ru	311311222113111221131221	24
46	Paladio	1 elemento: Ag	1 elemento: Rh	111312211312113211	18
47	Plata	1 elemento: Cd	1 elemento: Pd	132113212221	12
48	Cadmio	1 elemento: In	1 elemento: Ag	3113112211	10
49	Indio	1 elemento: Sn	1 elemento: Cd	11131221	8
50	Estaño	1 elemento: Sb	1 elemento: In	13211	5
51	Antimonio	1 elemento: Te	2 elementos: Pm, Sn	3112221	7
52	Telurio	1 elemento: I	3 elementos: Eu, Ca, Sb	1322113312211	13
53	Yodo	1 elemento: Xe	2 elementos: Ho, Te	311311222113111221	18
54	Xenón	1 elemento: Cs	1 elemento: I	11131221131211	14
55	Cesio	1 elemento: Ba	1 elemento: Xe	13211321	8
56	Bario	1 elemento: La	1 elemento: Cs	311311	6
57	Lantano	1 elemento: Ce	1 elemento: Ba	11131	5
58	Cerio	1 elemento: Pr	4 elementos: La, H, Ca, Co	1321133112	10
59	Praseodimio	1 elemento: Nd	1 elemento: Ce	31131112	8
60	Neodimio	1 elemento: Pm	1 elemento: Pr	111312	6
61	Prometio	5 elementos: Mg, Sb, Sm, Er, Bi	1 elemento: Nd	132	3
62	Samario	1 elemento: Eu	3 elementos: Pm, Ca, Zn	311332	6
63	Europio	4 elementos: Ga, Ru, Te, Gd	1 elemento: Sm	1113222	7
64	Gadolinio	1 elemento: Tb	3 elementos: Eu, Ca, Co	13221133112	11
65	Terbio	1 elemento: Dy	2 elementos: Ho, Gd	3113112221131112	16
66	Disprosio	1 elemento: Ho	1 elemento: Tb	111312211312	12
67	Holmio	8 elementos: P, Sc, Ge, Rh, I, Tb, Er, Rn	1 elemento: Dy	1321132	7
68	Erbio	2 elementos: Nb, Tm	2 elementos: Ho, Pm	311311222	9
69	Tulio	1 elemento: Yb	3 elementos: Er, Ca, Co	11131221133112	14
70	Ytterbio	1 elemento: Lu	1 elemento: Tm	1321131112	10
71	Lutecio	1 elemento: Hf	1 elemento: Yb	311312	6
72	Hafnio	2 elementos: He, Ta	1 elemento: Lu	11132	5
73	Tántalo	1 elemento: W	5 elementos: Hf, Pa, H, Ca, W	13112221133211322112211213322113	32
74	Wolframio	2 elementos: Ta, Re	1 elemento: Ta	312211322212221121123222113	27
75	Renio	1 elemento: Os	3 elementos: Ge, Ca, W	111312211312113221133211322112211213322113	42
76	Osmio	1 elemento: Ir	1 elemento: Re	1321132122211322212221121123222113	34
77	Iridio	1 elemento: Pt	1 elemento: Os	3113112211322112211213322113	28
78	Platino	1 elemento: Au	1 elemento: Ir	111312212221121123222113	24
79	Oro	1 elemento: Hg	1 elemento: Pt	132112211213322113	18
80	Mercurio	1 elemento: Tl	1 elemento: Au	31121123222113	14
81	Talio	1 elemento: Pb	1 elemento: Hg	111213322113	12
82	Plomo	1 elemento: Bi	1 elemento: Tl	123222113	9
83	Bismuto	1 elemento: Po	2 elementos: Pm, Pb	3113322113	10
84	Polonio	1 elemento: At	1 elemento: Bi	1113222113	10
85	Ástato	1 elemento: Rn	1 elemento: Po	1322113	7
86	Radón	1 elemento: Fr	2 elementos: Ho, At	311311222113	12
87	Francio	1 elemento: Ra	1 elemento: Rn	1113122113	10
88	Radio	1 elemento: Ac	1 elemento: Fr	132113	6
89	Actinio	2 elementos: Ga, Th	1 elemento: Ra	3113	4
90	Torio	1 elemento: Pa	1 elemento: Ac	1113	4
91	Protactinio	4 elementos: He, Sc, Ta, U	1 elemento: Th	13	2
92	Uranio	1 elemento: Y	1 elemento: Pa	3	1

Soluciones del polinomio de Conway en el plano complejo.