Epónimos relacionados con las matemáticas

constante de los inversos de Fibonacci, o ψ, se define como la suma de los recíprocos de los números de Fibonacci:

${\displaystyle \psi =\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{F_{k}}}={\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{13}}+\cdots .}$

La razón entre dos términos consecutivos de esta suma tiende al inverso del número áureo. Como este número es menor que 1, el criterio de d'Alembert establece que la suma converge.

Se sabe que ψ es aproximadamente igual a

${\displaystyle \psi \approx 3.359885666243177553172011302918927179688905133731\dots .}$¹

No se conoce una fórmula cerrada que dé el valor de ψ, pero Gosper describe un algoritmo para obtener una aproximación rápida de su valor.² ψ es irracional. Esta propiedad fue conjeturada por Paul Erdős, Ronald Graham y Leonard Carlitz, y comprobada en 1989 por Richard André-Jeannin.³

La representación de esta constante en fracción continua es:

${\displaystyle \psi =[3;2,1,3,1,1,13,2,3,3,2,1,1,6,3,2,4,362,2,4,8,6,30,50,1,6,3,3,2,7,2,3,1,3,2,\cdots ]\!\,.}$

constante de Meissel-Mertens, también conocida como constante de Mertens, constante de Kronecker, constante de Hadamard-de la Vallée-Poussin y constante de los inversos de los números primos, es una constante matemática, empleada principalmente en teoría de números, y que se define como el límite de la diferencia entre la serie armónica, sumada sólo en el conjunto de los números primos, y el logaritmo natural del logaritmo natural:

${\displaystyle M=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(\sum _{p\leq n}{\frac {1}{p}}-\ln(\ln(n))\right)=\gamma +\sum _{p}\left[\ln \left(1-{\frac {1}{p}}\right)+{\frac {1}{p}}\right]}$

Aquí, γ es la constante de Euler-Mascheroni, que se define de forma parecida aunque la suma recorre todos los números naturales, no sólo los primos.

La constante de Meissel-Mertens vale aproximadamente

M ≈ 0.2614972128476427837554268386086958590516... ((sucesión A077761 en OEIS))

Se puede considerar el hecho de que haya dos logaritmos (logaritmo del logaritmo) en el límite que fija la constante como una consecuencia de la combinación del teorema de los números primos y el límite de la constante de Euler-Mascheroni.

constante de Ramanujan-Soldner (o simplemente constante de Soldner) es una constante matemática definida como la única raíz positiva de la función integral logarítmica. Se llama así en honor a Srinivasa Ramanujan y Johann Georg von Soldner.

Su valor es, aproximadamente, μ ≈ 1,451369234883381050283968485892027449493…

Como la integral logarítmica se define como

${\displaystyle \mathrm {li} (x)=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\ln t}},}$

se tiene

${\displaystyle \mathrm {li} (x)\;=\;\mathrm {li} (x)-\mathrm {li} (\mu )}$

${\displaystyle \int _{0}^{x}{\frac {dt}{\ln t}}=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\ln t}}-\int _{0}^{\mu }{\frac {dt}{\ln t}}}$

${\displaystyle \mathrm {li} (x)=\int _{\mu }^{x}{\frac {dt}{\ln t}},}$

lo que facilita el cálculo para enteros positivos. Además, como la función integral exponencial satisface la ecuación

${\displaystyle \mathrm {li} (x)\;=\;\mathrm {Ei} (\ln {x})}$,

se tiene que la única raíz positiva de la integral exponencial se produce en el logaritmo natural de la constante de Ramanujan-Soldner, cuyo valor es aproximadamente ln(μ) ≈ 0,372507410781366634461991866…

Du Bois Reymond, (Paul David Gustav) ${\displaystyle C_{n}}$ están definidas por

${\displaystyle C_{n}\equiv \int _{0}^{\infty }\left|{{d \over dt}\left({\sin t \over t}\right)^{n}}\right|\,dt-1}$

Estas constantes pueden también escribirse como:

${\displaystyle C_{n}=2\sum _{k=1}^{\infty }(1+x_{k}^{2})^{(-n/2)}}$

donde ${\displaystyle x_{k}}$ es la k-ésima raíz de

${\displaystyle t=\tan(t)}$

Además tenemos la siguiente serie

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{1 \over x_{k}^{2}}={1 \over 10}}$

En el siguiente gráfico se ve la representación de la función

${\displaystyle \left|{{d \over dt}\left({\sin t \over t}\right)^{n}}\right|}$

para los primeros cuatro valores de ${\displaystyle n}$

La integración numérica de esta función es difícil. Los cuatro primeros valores de estas constantes son:

${\displaystyle C_{1}}$ diverge

${\displaystyle C_{2}\approx 0.1945}$

${\displaystyle C_{3}\approx 0.028254}$

${\displaystyle C_{4}\approx 0.00524054}$

Las constantes pares de Bois Reymond pueden ser calculadas analíticamente como polinomios en ${\displaystyle e^{2}}$.

${\displaystyle C_{2}={1 \over 2}(e^{2}-7)}$

${\displaystyle C_{4}={1 \over 8}(e^{4}-4e^{2}-25)}$

 constantes de Landau son varias constantes matemáticas que describen el comportamiento de las funciones holomorfas definidas sobre el disco unidad.

Definición

Sea ${\displaystyle F}$ el conjunto de las funciones holomorfas ${\displaystyle f}$ sobre el disco unidad ${\displaystyle D=\{z\in \mathbb {C} \mid \left|z\right|<1 annotation="">$ para las cuales:

${\displaystyle f'(0)=1}$.

Para una función ${\displaystyle f}$ dada de este conjunto, se define:

• ${\displaystyle L_{f}}$ como el radio del mayor disco contenido en la imagen de ${\displaystyle D}$ por ${\displaystyle f}$;
• ${\displaystyle B_{f}}$ como el radio del mayor disco que sea una imagen biholomorfa de un subconjunto de ${\displaystyle D}$.

Las constantes de Landau ${\displaystyle L}$ y ${\displaystyle B}$ se definen entonces como los ínfimos del conjunto de los ${\displaystyle L_{f}}$ y ${\displaystyle B_{f}}$ para todos los elementos de ${\displaystyle F}$.

Asimismo, se define la constante ${\displaystyle A}$ de la misma manera que ${\displaystyle B}$ al no considerar más que las funciones inyectivas de ${\displaystyle F}$.

Valor aproximado

No se conoce el valor exacto de ${\displaystyle L}$, ${\displaystyle B}$ y ${\displaystyle A}$, pero sí se sabe que

${\displaystyle 0.4330+10^{-14}$

${\displaystyle 0.5$

${\displaystyle 0.5$

 constantes de Stieltjes ${\displaystyle \gamma _{k}}$ son los coeficientes de la expansión en serie de Laurent de la función zeta de Riemann:

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{s-1}}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}\gamma _{n}\;(s-1)^{n}}$

Las constantes de Stieltjes se definen por el siguiente límite

${\displaystyle \gamma _{n}=\lim _{m\rightarrow \infty }{\left[\left(\sum _{k=1}^{m}{\frac {\ln ^{n}k}{k}}\right)-{\frac {\ln ^{n+1}m}{n+1}}\right]}}$

(En el caso n = 0, el primer sumando requiere la evaluación de 0⁰, que se toma como 1.)

La fórmula integral de Cauchy nos da la siguiente representación integral:

${\displaystyle \gamma _{n}={\frac {(-1)^{n}n!}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }e^{-nix}\zeta \left(e^{ix}+1\right)dx.}$

Para el caso n = 0, se recupera la constante de Euler-Mascheroni ${\displaystyle \gamma _{0}=\gamma =0.577...}$.

Una aproximación de las primeras constantes viene dada por la siguiente tabla:

n	Valores aproximados de γn
0	0.5772156649015328606065120900824024310421
1	-0.072815845483676724860586
2	-0.0096903631928723184845303
3	0.002053834420303345866160
4	0.0023253700654673000574
5	0.0007933238173010627017
6	-0.00023876934543019960986
7	-0.0005272895670577510
8	-0.00035212335380
9	-0.0000343947744
10	0.000205332814909

Constantes de Stieltjes generalizadas

Más generalmente, se puede definir las constantes de Stieltjes ${\displaystyle \gamma _{k}(q)}$ asociadas a las expansiones en serie de Laurent de la función zeta de Hurwitz:

${\displaystyle \zeta (s,q)={\frac {1}{s-1}}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}\gamma _{n}(q)\;(s-1)^{n}}$

Donde q es un número complejo con Re(q)>0. Como la función zeta de Hurwitz es un generalización de la función zeta de Riemann, tenemos que:

${\displaystyle \gamma _{n}(1)=\gamma _{n}}$