Polinomios

Un polinomio es así:

un ejemplo de polinomio
este tiene 3 términos

Están hechos de:

	constantes (como 3, -20, o ½)
	variables (como x e y)
	exponentes (como el 2 en y²) pero sólo pueden ser 0, 1, 2, 3, ... etc

Que se pueden combinar usando:

+ - ×	sumas, restas y multiplicaciones...
	... ¡pero no divisiones!

Estas reglas hacen que los polinomios sean simples, ¡así es fácil trabajar con ellos!

¿Son polinomios o no?

Estos son polinomios:

3x
x - 2
3xyz + 3xy²z - 0.1xz - 200y + 0.5

Y estos no son polinomios

2/(x+2) no lo es, porque dividir no está permitido
3xy^-2 no lo es, porque un exponente es "-2" (los exponentes sólo pueden ser 0,1,2,...)

Pero esto sí está permitido:

x/2 está permitido, porque también es (½)x (la constante es ½, o 0.5)
también 3x/8 por la misma razón (la constante es 3/8, o 0.375)

Monomios, binomios, trinomios

Hay nombres especiales para los polinomios con 1, 2 o 3 términos:

¿Cómo te aprendes los nombres?
¡Piensa en bicicletas!

(También existen cuatrinomio (4 términos) y quintinomio (5 términos), pero se usan poco)

Un polinomio es una expresión algebraica de la forma:

P(x) = a_nxⁿ+ a_{n − 1}x^{n − 1}+ a_{n − 2}x^{n − 2}+ ... + a₁x¹ + a₀

Siendo:

a_n, a_n−1... a₁, a_onúmeros, llamados coeficientes

n un número natural

x la variable o indeterminada

a_n es el coeficiente principal

a_o es el término independiente

Grado de un Polinomio

El grado de un polinomio P(x) es el mayor exponente al que se encuentra elevada la variable x.

Según su grado los polinomios pueden ser de:

TIPO	EJEMPLO
PRIMER GRADO	P(x) = 3x + 2
SEGUNDO GRADO	P(x) = 2x² + 3x + 2
TERCER GRADO	P(x) = x³− 2x² + 3x + 2

Tipos de polinomios

1Polinomio nulo

Es aquel polinomio que tiene todos sus coeficientes nulos.

P(x) = 0x²+ 0x + 0

2Polinomio homogéneo

Es aquel polinomio en el que todos sus términos o monomios son del mismo grado.

P(x) = 2x²+ 3xy

3Polinomio heterogéneo

Es aquel polinomio en el que no todos sus términos no son del mismo grado.

P(x) = 2x³+ 3x² − 3

4Polinomio completo

Es aquel polinomio que tiene todos los términos desde el término independiente hasta el término de mayor grado.

P(x) = 2x³ + 3x² + 5x − 3

5Polinomio incompleto

Es aquel polinomio que no tiene todos los términos desde el término independiente hasta el término de mayor grado.

P(x) = 2x³ + 5x − 3

6Polinomio ordenado

Un polinomio está ordenado si los monomios que lo forman están escritos de mayor a menor grado.

P(x) = 2x³ + 5x − 3

7Polinomios iguales

Dos polinomios son iguales si verifican:

Los dos polinomios tienen el mismo grado.

Los coeficientes de los términos del mismo grado son iguales.

P(x) = 2x³ + 5x − 3

Q(x) = 5x− 3 + 2x³

8Polinomios semejantes

Dos polinomios son semejantes si verifican que tienen la misma parte literal.

P(x) = 2x³+ 5x − 3

Q(x) = 3x³+ 7x − 2

Valor numérico de un polinomio

Es el resultado que obtenemos al sustituir la variable x por un número cualquiera.

P(x) = 2x³ + 5x − 3 ; x = 1

P(1) = 2 · 1³ + 5 · 1 − 3 = 2 + 5 − 3 = 4

Suma de polinomios.Para sumar polinomios, sumamos entre sí aquellos monomios que tengan la misma parte literal.

Por ejemplo, consideremos los polinomios
P(x)= 3x⁵ + 2x³ - 5x² + 6 y Q(x) = 8x³ + 3x² - x - 4
El polinomio resultante de la suma P(x) + Q(x)= 3x⁵ + 10x³ - 2x² - x + 2
Fíjate, aquellos monomios cuya parte literal aparece en un polinomio los hemos copiado y hemos sumado aquellos monomios que tenían la misma parte literal:
2x³ + 8x³= 10x³
-5x² + 3x²= -2x³
6 - 4 =

Resta de polinomios.Para restar polinomios, restamos entre sí aquellos monomios que tengan la misma parte literal.

Por ejemplo, consideremos los polinomios
P(x)= 3x⁵ + 2x³ - 5x² + 6 y Q(x) = 8x³ + 3x² - x - 4
El polinomio resultante de la resta P(x) - Q(x)= 3x⁵ - 6 x³ - 8x² + x + 10
Fíjate, aquellos monomios cuya parte literal aparece sólo en P(x) se dejan tal cual, a los que aparecen sólo en Q(x) se les cambia el signo y restamos aquellos monomios que tenían la misma parte literal:
2x³ - 8x³= -6x³
-5x² - 3x²= -8x³
6 - (-4) = 10

Algunos ejemplos son:

3x² + 5x - 3 (3x - y) ³

2 + x a + b - 5
4 + y

_ 1_
x - 9

Una expresión algebraica que involucra solamente operaciones de suma, resta, multiplicación y el elevar a potencias de números naturales son variables ( las letras) y constantes( números solitos) se llama polinomios. Algunos ejemplos son:

5a + b 3x³ - 2x + 5

2x - 5y 9x² - 8

x² 5x⁴ - 3x³ + x² - x + 5

En un polinomio, la variable no puede aparecer en el denominador, como exponente ni dentro de un radical.

Objetivo A: Sumar polinomios

Un término es una expresión que está separada por los signos de suma o resta.
Ejemplos de términos: 3x , -2x², 4

Ejemplo:

3x² - 4x

3x² es un término. -4x es otro término.

Un constante es un término que no contiene variables, solamente posee coeficiente.

3x² + 9x + 8 En este caso, la constante es 8, ya que es el único término sin variables.

Un monomio es un número, una variable o un producto de números y variables.
Algunos ejemplos de monomios son:

3x², 2x, -5, 37 p⁴, 0

1
x No es un monomio porque la variable aparece en el denominador.

___Un polinomio es una expresión cuyos términos son monomios.

x² + 2x - 8

___Un monomio es un polinomio con un término.

5x³ Es un monomio

___Un binomio es un polinomio con dos términos.

5y²- 3x es un binomio.

___Un trinomio es un polinomio con tres términos.

6xy - 2r²s + 4r Es un trinomio.

Polinomios con más de tres términos no reciben nombres especiales..

___Los términos de un polinomio en una variable se arreglan usualmente de modo que los exponentes de la variable van en orden de mayor a menor y de izquierda a derecha. Esto se llama orden descendente.

4x³ - 3x² + 6x - 1
5y⁴ - 2y³ + y² - 7y + 8

___El grado de un polinomio es una variable es el exponente mayor.

___El Polinomio de 4x³ -3x² + 6x - 1 es de grado 3

___ 5y⁴ - 2y³ + y²- 7y + 8 es un polinomio de grado 4.

Polinomios pueden ser sumados, usando un formato vertical, mediante la combinación de términos semejantes.

Por ejemplo simplifica (2x² + x - 1) + ( 3x³ + 4x² - 5 ) usando el formato vertical.

Primero los términos son arreglados.
En orden descendente son términos semejantes en la misma.

              2x² + x - 1
+ 3x³+ 4x²        - 5
     3x³ + 6x² + x -6

Simplifica (3x³ - 7x + 2) + ( 7x² + 2x -7) usando el formato horizontal.

Pasos:

1) Usando las propiedades conmutativas       (3x³- 7x + 2) + (7x² + 2x -7)
y asociativas de la adición de reemplazar
los términos semejantes.                               3x³ + 7x²+ (-7x + 2x) + (2 + -7)
                                                                   (Este paso se hace mentalmente.)
2) Combinar términos semejantes.
3) Escribir el polinomio en orden descendente.   3x³ + 7x²- 5x -5

Ejemplo 1:

Escribe el siguiente polinomio en orden descendente.
3x² - 5 + 4x³ - 2x

Solución:
4x³ + 3x² -2x -5

Ejemplo 2:

Escribe el polinomio en orden descendente.

x + 6x² -1 + 5x³

Tu solución:

5x³+ 6x² + x - 1

Ejemplo 3:

Identifica el grado del polinomio

8x³ - 2x² -7

Solución:
El exponente mayor de la variable x es 3.
El grado de 8x³ - 2x² - 7 es grado 3.

Ejemplo 4:

Identifica el grado del polinomio

9x⁴ - 3x²+ 11

Tu solución:

Si el exponente mayor es 4, entonces el grado del polinomio es 4.

Ejemplo 5:

Simplifica (7y²- 6y + 9) + ( -8y² -2). Usar el formato vertical.

Solución:

                        7 y² + - 6y + 9
                   + -8 y²            + -2
                       -y2   +   -6y + 7

-y² - 6y + 7

Nota: Fíjate que hemos reescrito 7y² - 6y + 9 como 7y² + -6y + 9 ( usando las reglas de la resta - restar un número es igual que sumar el opuesto del número)

Ejemplo 6:

Simplifica ( 2x² + 4x -3 ) + ( 5x² - 6x ). Usar el formato vertical.

Tu solución:

                              2x² + 4x - 3
                         + 5x² + -6x
                            7x²+ -2x +-3

  Ejemplo 7:

Simplifica ( -4x² - 3xy + 2y ² ) + ( 3x² - 4 y² ). Usar el formato horizontal. En este tipo de suma se agrupan horizontalmente los términos semejantes. Términos semejantes son aquellos que tienen la misma variable o variables con el mismo exponente.

Solución:

( - 4x² - 3xy + 2y² ) + ( 3x²- 4y² )=

-4x² + 3x²+ -3xy + 2y²+ -4y² [Cómputo mental]

-x² - 3xy - 2y²

Ejemplo 8:

Simplifica (-3x³ + 2y²) + (-8x² + 9xy). Usar el formato horizontal.

Tu solución:

(-3x³ + 2y²) + (-8x² + 9xy)

-3x³ +( 2y² +- 8x² )+ 9xy

-3x³ -6x² + 9xy

La respuesta debe estar siempre en orden descendente.

Objetivo B: Restar polinomios

Nuestro objetivo es simplificar - ( x² - 2x + 3)

Para simplificar el opuesto de un polinomio, cambias el signo de cada término que está dentro del paréntesis.

-(x² - 2x +3) = - x² + 2x - 3

Polinomios pueden ser restados usando el formato vertical o el formato horizontal. Recuerda que para restar es lo mismo sumar el opuesto del polinomio.
Simplifica ( -3x² - 7) - (-8x² + 3x + -4). Usa el formato vertical.

1. Arreglar los términos de cada polinomio en orden descendente con los términos semejantes en la misma columna.
2. Reescribes la resta como la suma del opuesto.
3. Combinar los términos en cada columna.

                -3x²         +  7 
             - (-8x² + 3x + -4)   =

           -3x²        +   7 
       +   8x² + 3x + -4) 
       =   5x²  - 3x    - 3

(Restar un número es igual que sumar
el opuesto del número.)
(-3x² - 7) - ( -8x² + 3x + -4)
(-3x² + -7) + - (8x² + 3x + -4)
(-3x² + -7) + ( -8x² + -3x + 4)

Simplifica (5x² - 3x + 4) - ( -3x³ - 2x + 8). Usar el formato horizontal.

1. Reescribes la resta como la suma del opuesto. (5x² - 3x + 4) - (-3x³ - 2x + 8)

2. Combinas los términos semejantes. (5x² + -3x + 4) + - (-3x³ + -2x + 8)

3. Escribes el polinomio en orden descendente. (5x² + -3x + 4) + (3x³+ 2x + -8)

                                                                                                3x³ + 5x² + -3x + 2x + 4 + -8 
                                                                                                3x³ + 5x²  - x  -  4

Ejemplo:

Simplifica (6y² - 3y - 1) - (7y² - y) = Usar formato vertical.

Solución:        

                    6y² - 3y - 1      =           6y²+ -3y + -1 
                              -(7y² - y)    _               + -7y² + y_____ 
                                                                      -y² - 2y - 1

Ejemplo:

Simplifica (6y² - 3y - 1) - (7y² - y) = Usar formato vertical.

Solución:

                    ( 6y² + - 3y + -1)+ - (7y² + - y) = 6y2 + -3y+-1 + -7y2 + y 
                      6y²+ -7y² + -3y + y + -1 
                       -y² +          -2y +       -1 
                       -y²- 2y - 1

Ejemplo:

Simplifica (4x³ - 3x - 7) - (7x² - 4x - 2) . Usar el formato horizontal.

Solución:

            (4x³ - 3x - 7) - (7x² - 4x - 2)
            (4x³ + -3x + -7) +-(7x² + -4x + -2)
            (4x³ + -3x + -7) + (-7x²+ 4x + 2)
            4x³ + -7x² + -3x + 4x + -7 +2
            4x³ + -7x² + x + -5
            4x³ + -7x² + -3x + 4x + -7 + 2
            4x³ + -7x² + -3x + 4x + -7 + 2
            4x³ + -7x² + x + -5
            4x³ - 7x² + x - 5

  Ejemplo:

Simplifica ( -3a²- 4a + 2) - (5a³ + 2a - 6). Usar el formato horizontal.

Tu solución:

        (-3a² - 4a + 2) - (5a³ + 2a - 6)
        (-3a² - 4a + 2) + -(5a³ + 2a - 6)
        (-3a² - 4a + 2) + ( -5a³ - 2a + 6)
        -5a³ + -3a²+ -4a + -2a + 2 + 6
        -5a³ - 3a² - 6a + 8

AMIGOS PARA SIEMPRE

Páginas

lunes, 27 de febrero de 2017

Matemáticas - Polinomios

Polinomios

¿Son polinomios o no?

Monomios, binomios, trinomios

Grado de un Polinomio

Tipos de polinomios

Valor numérico de un polinomio

Objetivo A: Sumar polinomios

Objetivo B: Restar polinomios

No hay comentarios:

Publicar un comentario

Datos personales

Archivo del blog