Epónimos relacionados con las matemáticas

Cohomología de Čech es una teoría de cohomología basada en las propiedades de conjuntos abiertos y recubrimientos de espacio topológico. Se llama así por el matemático checo Eduard Čech.

Motivación

Sea X un espacio topológico, y sea ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ un recubrimiento de X. Define un complejo simplicial ${\displaystyle N({\mathcal {U}})}$, llamado el nervio del recubrimiento de la siguiente manera que:

• Hay un vértice para cada elemento de ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$.
• Hay un límite para cada par de ${\displaystyle U_{1},U_{2}\in {\mathcal {U}}}$ de tal manera que ${\displaystyle U_{1}\cap U_{2}\neq \emptyset }$.
• En general, existe un k-simplex para cada k+1-subconjuntos del elemento ${\displaystyle \{U_{0},\ldots ,U_{k}\}\,\!}$ de ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ para que ${\displaystyle U_{0}\cap \cdots \cap U_{k}\neq \emptyset \,\!}$.

Geométricamente el nervio ${\displaystyle N({\mathcal {U}})}$ es esencialmente un "complejo dual" (en el sentido de un grafo dual o dualidad de Poincaré) para el recubrimiento de ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$.

La idea de la cohomología de Čech es que, si optamos por un recubrimiento ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ que es lo suficiente pequeño de conjuntos abiertos conectados, el resultado complejo simplicial de ${\displaystyle N({\mathcal {U}})}$ debe ser un buen modelo de combinatoria para el espacio X. Para tal recubrimiento, la cohomología Čech de X se define como la cromología simplicial del nervio.

Esta idea puede ser formalizada por la noción de un buen recubrimiento, por lo que todo conjunto abierto y cada intersección finita de conjuntos abiertos es contráctil. Sin embargo, un enfoque más general es tomar el límite directo de los grupos de cohomología del nervio sobre el sistema de todos los recubrimientos de X, ordenados por el refinamiento. Este es el enfoque adoptado por debajo.

Construcción

Sea X un espacio topológico y deja que ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ sea un prehaz de los grupos abelianos de ${\displaystyle X}$. ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ deja de ser una recubrimiento de ${\displaystyle X}$.

Simplex

Una q-simplex ${\displaystyle \sigma }$ de ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ es una colección ordenada de ${\displaystyle q+1}$ de los conjuntos seleccionados de ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$, de tal manera que la intersección de todos estos conjuntos no está vacía. Esta intersección se llama el soporte de ${\displaystyle \sigma }$ y su denotación es ${\displaystyle |\sigma |}$.

Ahora vamos a ${\displaystyle \sigma =(U_{i})_{i\in \{0,\cdots ,q\}}^{q}}$ que es un q-simplex. El j-ésimo límite parcial de ${\displaystyle \sigma }$ es decir:

${\displaystyle \partial _{j}\sigma :=(U_{i})_{i\in \{0,\cdots ,q\},i\neq j}.}$

El límite de ${\displaystyle \sigma }$ se define como la suma alterna de los límites parciales:

${\displaystyle \partial \sigma :=\sum _{j=0}^{q}(-1)^{j+1}\partial _{j}\sigma .}$

Cocadenas

Una q-cocadena de ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ con coeficientes en ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ es un mapa que asocía a cada q-simplex &sigma un elemento de ${\displaystyle {\mathcal {F}}(|\sigma |)}$ y denotamos el conjunto de todas las q-cocadenas de ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ con coeficientes en ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ por ${\displaystyle C^{q}({\mathcal {U}},{\mathcal {F}})}$. ${\displaystyle C^{q}({\mathcal {U}},{\mathcal {F}})}$ es un grupo abeliano por adición puntual.

 condiciones de frontera de Cauchy en ecuaciones diferenciales ordinarias o en ecuaciones diferenciales parciales imponen valores específicos a la solución de una ecuación diferencial que se toma de la frontera del dominio y de la derivada normal a la frontera. Esto es igual a imponer dos tipos de condiciones: la condición de frontera de Dirichlet y la condición de frontera de Neumann. Su nombre hace honor al prolífero matemático francés del siglo XIX Augustin Louis Cauchy.

Las condiciones de Cauchy son también llamadas condiciones de valor inicial o valores iniciales o simplemente valores de Cauchy.

Descripción

Las condiciones de frontera de Cauchy pueden ser entendidas desde la teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden donde se tiene una solución particular que especifica el valor de la función y el valor de la derivada tomando valores iniciales o puntos de frontera, así por ejemplo:

${\displaystyle {\begin{cases}y(a)=\alpha \\y'(a)=\beta \end{cases}}}$

donde ${\displaystyle a\ }$ es la frontera o punto inicial. Las condiciones de frontera de Cauchy son una generalización de estos tipos de condiciones. Las derivadas parciales pueden ser escritas de una forma más simple de la siguiente:

${\displaystyle u_{x}={\partial u \over \partial x}\ }$

${\displaystyle u_{xy}={\partial ^{2}u \over \partial y\,\partial x}\ }$

Definamos una ecuación diferencial parcial de segundo orden:

${\displaystyle \psi _{xx}+\psi _{yy}=\psi (x,y)\ }$

Tenemos un dominio de dos dimensiones cuya frontera es una línea, que puede ser descrita por las siguientes ecuaciones paramétricas:

${\displaystyle x=\xi (s)\ }$

${\displaystyle y=\eta (s)\ }$

así, de manera similar que en las ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden, necesitamos ahora conocer el valor de la función en la frontera y su derivada normal a esta para hallar la solución de la ecuación diferencial parcial, es decir, que:

${\displaystyle {\begin{cases}\psi (s)\\{\frac {d\psi }{dn}}(s)=\mathbf {n} \cdot \nabla \psi \end{cases}}}$

sean especificados en cada punto de la frontera en el dominio dado por la ecuación diferencial parcial, donde ${\displaystyle \nabla \psi (s)\,}$ es el gradiente de la función. Se dice a veces que esas condiciones de frontera de Cauchy son una media ponderada de la imposición de las condiciones de frontera de Dirichlet y las condiciones de frontera de Neumann. Esto no debe confundirse con la estadística de objetos tales como la media ponderada, la media geométrica ponderada o la media armónica ponderada, ya que ninguna de estas fórmulas se utilizan en la imposición de las condiciones de frontera de Cauchy. Por el contrario, el término media ponderada significa que durante el análisis de un determinado problema de valor de frontera, se debe tener en cuenta toda la información disponible para su buen planteado y posterior solución satisfactoria.

Dado que el parámetro ${\displaystyle s\ }$ es por lo general el tiempo, las condiciones de Cauchy también pueden ser llamadas condiciones de valor inicial o valores iniciales o simplemente valores de Cauchy.

Observe que si bien las condiciones de frontera de Cauchy implican tener tanto las condiciones de frontera de Dirichlet como las de Neumann, que no es lo mismo del todo que tener una condición de frontera de Robin o de impedancia. Una mezcla entre las condiciones de frontera de Dirichlet y Neumann está dada por

${\displaystyle \alpha (s)\psi (s)+\beta (s){\frac {d\psi }{dn}}(s)=f(s)\ }$

donde se entiende que ${\displaystyle \alpha (s)\ }$, ${\displaystyle \beta (s)\ }$, y ${\displaystyle f(s)\ }$ deben darse en la frontera (esto contrasta con el término condiciones de frontera mixtas, que es generalmente usado para referirse a condiciones de frontera de tipos diferentes en subgrupos distintos de frontera). En este caso la función y sus derivadas deben cumplir una condición dentro de la misma ecuación de la condición de frontera.

Ejemplo

Definamos la ecuación del calor en un espacio bidimensional así:

${\displaystyle u_{t}=k\nabla ^{2}u\ }$

donde ${\displaystyle k\ }$ es la constante específica del material llamada conductividad térmica, y suponemos que tal ecuación está aplicada a una región ${\displaystyle \ G}$, que esta sobre el semidisco céntrico al origen del radio ${\displaystyle \ a}$. Suponemos también que la temperatura se acerca a cero en la porción de curva de la frontera, mientras que la porción delantera de la frontera es aislada, por ejemplo podemos definir las condiciones de frontera de Cauchy como

${\displaystyle u=0\ \forall (x,y)\in \{r=a,0\leq \theta \leq \pi \}\ }$

y

${\displaystyle u_{y}=0,y=0\ }$

Podemos separar las variables considerando que las funciones están compuestas por el producto de la parte espacial y la temporal

${\displaystyle u(x,y,t)=\phi (x,y)\psi (t)\ }$

aplicando éste producto a la ecuación original obtenemos

${\displaystyle \phi (x,y)\psi '(t)=k\phi ''(x,y)\psi (t)\ }$

de dónde

${\displaystyle {\frac {\psi '(t)}{k\psi (t)}}={\frac {\phi ''(x,y)}{\phi (x,y)}}}$

Donde el lado izquierdo depende solo de ${\displaystyle t\ }$, mientras que el lado derecho depende solo de ${\displaystyle (x,y)\ }$, de donde podemos concluir que ambos pueden ser iguales a una misma constante

${\displaystyle {\frac {\psi '(t)}{k\psi (t)}}=-\lambda ={\frac {\phi ''(x,y)}{\phi (x,y)}}}$

Así tenemos ambas ecuaciones: la primera en variables espaciales

${\displaystyle \phi _{xx}+\phi _{yy}+\lambda \phi (x,y)=0\ }$

y una segunda con la variable temporal

${\displaystyle \psi '(t)+\lambda k\psi (t)=0\ }$

Una vez que se imponen las condiciones de frontera, la solución de la ecuación diferencial ordinaria en el tiempo es

${\displaystyle \psi (t)=Ae^{-\lambda kt}\ }$

donde A es una constante que puede ser definida de las condiciones iniciales. La parte espacial puede ser resuelta de nuevo por separación de variables, sustituyendo ${\displaystyle \phi (x,y)=X(x)Y(y)\ }$ en la ecuación diferencial parcial y dividiendo por ${\displaystyle X(x)Y(y)\ }$ de donde obtenemos luego de reorganizar los términos

${\displaystyle {\frac {Y''}{Y}}+\lambda =-{\frac {X''}{X}}}$

así la parte izquierda depende solo de y la derecha depende solo de x, ambos lados pueden ser igual a una constante, denominada ${\displaystyle \mu \ }$,

${\displaystyle {\frac {Y''}{Y}}+\lambda =-{\frac {X''}{X}}=\mu }$

finalmente obtenemos un par de ecuaciones diferenciales ordinarias que se pueden imponer condiciones de frontera para definirlas.

condición de frontera de Neumann (o de segundo tipo) es un tipo de condición de frontera o contorno, llamada así en alusión a Carl Neumann.¹ Se presenta cuando a una ecuación diferencial ordinaria o en derivadas parciales, se le especifican los valores de la derivada de una solución tomada sobre la frontera o contorno del dominio.

Ejemplos

EDO

En el caso de una ecuación diferencial ordinaria, por ejemplo, puede ser:

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+3y=1}$

sobre el intervalo [0,1] las condiciones de frontera de Neumann toman la forma:

${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {dy}{dx}}(0)=\alpha _{1}\\{\frac {dy}{dx}}(1)=\alpha _{2}\end{cases}}}$

donde ${\displaystyle \alpha _{1}}$ y ${\displaystyle \alpha _{2}}$ son números dados.

EDP

Para una ecuación diferencial en derivadas parciales sobre un dominio ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ tal como:

${\displaystyle \nabla ^{2}y=0}$

donde ${\displaystyle \nabla ^{2}}$ es el laplaciano, la condición de frontera de Neumann toma la forma:

${\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial \mathbf {n} }}(x)=f(x)\quad \forall x\in \partial \Omega .}$

Aquí ${\displaystyle \mathbf {n} }$ es la normal a la frontera ${\displaystyle \partial \Omega }$ y ${\displaystyle f}$ es una función escalar.

La derivada normal ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \mathbf {n} }}}$ se define como:

${\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial \mathbf {n} }}(x)=\nabla y(x)\cdot \mathbf {n} (x)}$

donde ${\displaystyle \nabla }$ es el gradiente (vector) y el punto es el producto interno con el vector normal unitario n.

condición de frontera de Robin (o de tercer tipo) es un tipo de condición de frontera o contorno, denominado así en honor a Victor Gustave Robin (1855-1897),¹ cuando en una ecuación diferencial ordinaria o en una derivadas parciales, se le específica una combinación lineal de los valores de una función y y los valores de su derivada sobre la frontera del dominio.

Definición

Las condiciones de frontera de Robin son una combinación ponderada de las condiciones de Dirichlet y Neumann. Es el contraste de la condiciones de frontera mixtas, las cuales son condiciones de frontera de diferentes tipos especificadas en diferentes subconjuntos de la frontera. Las condiciones de frontera de Robin también se denominan condiciones de frontera de impedancia, por su aplicación en problemas electromagnéticos.

Si Ω es el dominio sobre el cual se resuelve la ecuación dada y ∂Ω es su frontera, la condición de Robin es:²

${\displaystyle au+b{\frac {\partial u}{\partial n}}=g\qquad {\text{sobre }}\partial \Omega \,}$

para algunas constantes distintas de cero a y b y una función dada g definida sobre ∂Ω. Aquí, u es la solución desconocida definida sobre Ω y ∂u/∂n es la derivada normal en la frontera. En general a y b pueden ser funciones dadas en lugar de constantes.

En una dimensión, si, por ejemplo, Ω = [0, 1], la condición de frontera de Robin es:

${\displaystyle {\begin{cases}au(0)-bu'(0)=g(0)\,\\au(1)+bu'(1)=g(1).\,\end{cases}}}$

donde se puede observar el cambio de signo en el frente que involucra la derivada: esto esporque la normal a [0, 1] en 0 apunta en la dirección negativa, mientras que en 1 apunta en dirección positiva.

Aplicaciones

Las condiciones de frontera de Robin se utilizan frecuentemente para resolver problemas de Sturm-Liouville que aparece en muchos contextos en la ciencia y la ingeniería.

Además, la condición de frontera de Robin es una forma general de condiciones de frontera aisladas para las ecuaciones de convección-difusión. En estas ecuaciones, la suma de los flujos convectivos y difusivos en la frontera son cero:

${\displaystyle -D{\frac {\partial c(0)}{\partial x}}+u_{x}(0)\,c(0)=0\,}$

donde D es la constante de difusión, u la velocidad de convección en la frontera y c es la concentración. El primer término es el resultado de la ley de difusión de Fick.