Epónimos relacionados con las matemáticas

corchete de Poisson es un importante operador de la mecánica hamiltoniana, actuando como pieza fundamental en la definición de la evolución temporal de un sistema dinámico en la formulación hamiltoniana. Desde un punto de vista más general, el corchete de Poisson se usa para definir un álgebra de Poisson, de las que las variedades de Poisson son un caso especial. Todas éstas están nombradas en honor a Siméon Denis Poisson.

Coordenadas canónicas

Frecuentemente el corchete de Poisson se define de forma no intrínseca usando un conjunto de coordenadas sobre el espacio de fases del sistema (aunque más adelante se da la #Definición general en forma intrínseca). Usando coordenadas canónicas ${\displaystyle (q^{i},p_{j})\,}$ sobre el espacio de fases ${\displaystyle \Gamma \,}$, el corchete de Poisson se puede expresar como:

(*)${\displaystyle \{{\tilde {f}},{\tilde {g}}\}=\sum _{i=1}^{N}\left[{\frac {\partial {\tilde {f}}}{\partial q^{i}}}{\frac {\partial {\tilde {g}}}{\partial p_{i}}}-{\frac {\partial {\tilde {f}}}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial {\tilde {g}}}{\partial q^{i}}}\right]}$

Más formalmente si ${\displaystyle (U\subset \Gamma ,\varphi )}$ es una carta local, asociada a las coordenadas canónicas definidas anteriormente, es decir:

${\displaystyle \varphi :U\to \mathbb {R} ^{2n},\qquad x\in U\mapsto (q^{i},p_{j})=\varphi (x)}$

El corchete de Poisson el pullback de la anterior aplicación dada en (*):

${\displaystyle \{f,g\}=\varphi ^{*}(\{{\tilde {f}},{\tilde {g}}\})=\{{\tilde {f}}\circ \varphi ,{\tilde {g}}\circ \varphi \}\,}$

Ecuaciones del movimiento

Las ecuaciones de movimiento de Hamilton-Jacobi tienen una expresión equivalente en términos del corchete de Poisson. Esto se puede demostrar directamente tomando unas coordenadas explícitas. Imaginemos que ${\displaystyle f(q,p,t)}$ es una función en la variedad. Entonces se tiene que

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}f(p,q,t)={\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {\partial f}{\partial p}}{\frac {\mathrm {d} p}{\mathrm {d} t}}+{\frac {\partial f}{\partial q}}{\frac {\mathrm {d} q}{\mathrm {d} t}}}$

Entonces, llamando a ${\displaystyle p=p(t)}$ y ${\displaystyle q=q(t)}$ las soluciones de las ecuaciones de Hamilton-Jacobi ${\displaystyle {\dot {q}}={\partial H}/{\partial p}}$ y ${\displaystyle {\dot {p}}=-{\partial H}/{\partial q}}$, uno puede escribir

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}f(p,q,t)={\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {\partial f}{\partial q}}{\frac {\partial H}{\partial p}}-{\frac {\partial f}{\partial p}}{\frac {\partial H}{\partial q}}={\frac {\partial f}{\partial t}}+\{f,H\}}$

Así, la evolución temporal de una función f en una variedad simpléctica puede darse como una familia uniparamétrica de variemorfismos, con el tiempo t siendo el parámetro. Desechando las coordenadas, se tiene

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}f=\left({\frac {\partial }{\partial t}}-\{\,H,\cdot \,\}\right)f.}$

El operador ${\displaystyle -\{\,H,\cdot \,\}}$ se conoce como el liouvilliano.

Constantes de movimiento

Un sistema dinámico integrable tiene que tener constantes de movimientos además de la energía. Tales constantes conmutarán con el hamiltoniano bajo el corchete de Poisson. Imaginemos que la función ${\displaystyle f(q,p)}$ es una constante de movimiento. Esto implica que si ${\displaystyle q(t),p(t)}$ es una trayectoria o solución de las ecuaciones de movimiento de Hamilton-Jacobi, entonces se tiene que ${\displaystyle 0={\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} t}}}$ a lo largo de dicha trayectoria. Por lo que

${\displaystyle 0={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}f(p,q)={\frac {\partial f}{\partial p}}{\frac {\mathrm {d} p}{\mathrm {d} t}}+{\frac {\partial f}{\partial q}}{\frac {\mathrm {d} q}{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial f}{\partial q}}{\frac {\partial H}{\partial p}}-{\frac {\partial f}{\partial p}}{\frac {\partial H}{\partial q}}=\{f,H\}}$

donde, como arriba, los pasos intermedios se realizan aplicando las ecuaciones de movimiento. Esta ecuación se conoce como la ecuación de Liouville. El contenido del teorema de Liouville es que la evolución temporal de una medida (o función de distribución en el espacio de fases) está dado por lo anterior.

Para que un sistema hamiltoniano sea completamente integrable, todas sus constantes de movimiento deben estar en involución mutua.

Definición general

Sea M una variedad simpléctica, esto es, una variedad en la que existe una forma simpléctica: una forma diferencial de segundo orden ${\displaystyle \omega }$ que es a la vez cerrada (${\displaystyle d\omega =0}$) y no-degenerada, en el siguiente sentido: cuando se ve como un mapa ${\displaystyle \omega :\xi \in \mathrm {vect} [M]\rightarrow i_{\xi }\omega \in \Lambda ^{1}[M]}$, ${\displaystyle \omega }$ es invertible para obtener ${\displaystyle {\tilde {\omega }}:\Lambda ^{1}[M]\rightarrow \mathrm {vect} [M]}$. Aquí ${\displaystyle d}$ se usa como la derivada exterior, operador intrínseco a la estructura de la variedad M, e ${\displaystyle i_{\xi }\theta }$ es la derivada interior u operación de contracción tensorial, que es equivalente a ${\displaystyle \theta (\xi )}$ en formas diferenciales de primer orden ${\displaystyle \theta }$.

Usando los axiomas del cálculo exterior, uno puede derivar:

${\displaystyle \ i_{[v,w]}\omega =d(i_{v}i_{w}\omega )+i_{v}d(i_{w}\omega )-i_{w}d(i_{v}\omega )-i_{w}i_{v}d\omega }$

Aquí ${\displaystyle [v,w]}$ denota el corchete de Lie en campos vectoriales suaves, que esencialmente define la estructura de la variedad de M.

Si v es tal que ${\displaystyle d(i_{v}\omega )=0}$, se le puede llamar ${\displaystyle \omega }$-cocerrado (o simplemente cocerrado). A su vez, si se cumple ${\displaystyle i_{v}\omega =df}$ para alguna función f, podemos llamar a v ${\displaystyle \omega }$-coexacta (o simplemente coexacta). Dado que ${\displaystyle d\omega =0}$, esto implica que el corchete de Lie de dos vectores cocerrados siempre es un campo vectorial coexacto, ya que cuando v y w son ambos cocerrados, el único término no nulo en la expresión es ${\displaystyle d(i_{v}i_{w}\omega )}$. Y como la derivada exterior obedece ${\displaystyle d\circ d=0}$, todos los campos vectoriales coexactos son cocerrados, y por eso el corchete de Lie es cerrado tanto en el espacio de los campos vectoriales cocerrados como en el subespacio de éste consistente en los campos vectoriales coexactos. En el lenguaje del álgebra abstracta, los campos vectoriales cocerrados forman un subálgebra del álgebra de Lie de los campos vectoriales suaves en M, y los campos vectoriales coexactos forman un ideal de este subálgebra.

Dada la existencia del mapa inverso ${\displaystyle {\tilde {\omega }}}$, todas las funciones reales suaves f en M pueden ser asociadas a un campo vectorial coexacto ${\displaystyle {\tilde {\omega }}(df)}$. (Dos funciones están asociadas con el mismo campo vectorial si, y sólo si, su diferencia está en el núcleo de d, esto es, constante en cada componente conectada de M.) Así, definimos el corchete de Poisson en ${\displaystyle (M,\omega )}$ como una operación bilineal en las funcionesdiferenciables sobre las que las funciones (suaves) de ${\displaystyle C^{\infty }}$ forman un álgebra. Esto está dado por:

${\displaystyle \{f,g\}=i_{{\tilde {\omega }}(df)}dg=-i_{{\tilde {\omega }}(dg)}df=-\{g,f\}}$

Esta simetría sesgada del corchete de Poisson está asegurada por los axiomas del cálculo exterior y la condición ${\displaystyle d\omega =0}$. Como el mapa ${\displaystyle {\tilde {\omega }}}$ es linear en todo punto y de simetría sesgada, algunos autores lo asocian a un bivector, que no es un objeto frecuentemente encontrado en el cálculo exterior. En esta forma se llama el bivector de Poisson o la estructura de Poisson en la variedad simpléctica, y se denota como ${\displaystyle \{f,g\}={\tilde {\omega }}(df,dg)}$.

El corchete de Poisson en funciones suaves se corresponde con el corchete de Lie en campos vectoriales coexactos y hereda toda sus propiedades. Por lo que satisface la Identidad de Jacobi:

${\displaystyle \ \{f,\{g,h\}\}+\{g,\{h,f\}\}+\{h,\{f,g\}\}=0}$

El corchete de Poisson ${\displaystyle \{f,\_\}}$ respecto a un campo escalar f se corresponde con la derivada de Lie respecto a ${\displaystyle {\tilde {\omega }}(df)}$. Por lo que es una derivada, y así, satisface la Regla de Leibniz:

${\displaystyle \ \{f,gh\}=\{f,g\}h+g\{f,h\}}$

Una propiedad fundamental de las variedades es que el conmutador de las operaciones de derivada de Lie sobre dos campos vectoriales es equivalente a la derivada de Lie respecto de algún campo vectorial, que se será su corchete de Lie. El rol paralelo del corchete de Poisson es aparente haciendo una ordenación de la identidad de Jacobi:

${\displaystyle \ \{f,\{g,h\}\}-\{g,\{f,h\}\}=\{\{f,g\},h\}}$

Si el corchete de Poisson de f y g se anula (${\displaystyle \{f,g\}=0}$), entonces se dice que f y g están en involución mutua, y las operaciones de hacer el corchete de Poisson respecto de f y g conmutan.

Álgebra de Lie

Los corchetes de Poisson son anticonmutativos. También satisfacen la identidad de Jacobi. Esto hace que el espacio de las funciones suaves de una variedad simpléctica sea un álgebra de Lie de dimensión infinita con el corchete de Poisson actuando como el corchete de Lie. El correspondiente grupo de Lie es el grupo de simplectomorfismos de las variedades simplécticas (también conocido como transformaciones canónicas).

Dado un campo vectorial diferenciable X en el entorno tangente, sea ${\displaystyle P_{X}}$ su momento conjugado. El mapa de los momentos conjugados es un álgebra de Lie antihomomorfa desde el corchete de Poisson al corchete de Lie:

${\displaystyle \{P_{X},P_{Y}\}=-P_{[X,Y]}.\,}$

Esto es un resultado importante que merece la pena demostrar. Escribamos un campo escalar X en el punto q del espacio de configuración como

${\displaystyle X_{q}=\sum _{i}X^{i}(q){\frac {\partial }{\partial q^{i}}}}$

donde ${\displaystyle \partial /\partial q^{i}}$ se refiere al marco de coordenadas locales. El momento conjugado de X tiene la forma

${\displaystyle P_{X}(q,p)=\sum _{i}X^{i}(q)\;p_{i}}$

donde ${\displaystyle p_{i}}$ son las funciones momento conjugadas de las coordenadas. Entonces se tiene, para un punto ${\displaystyle (q,p)}$ en el espacio de fases,

${\displaystyle \{P_{X},P_{Y}\}(q,p)=\sum _{i}\sum _{j}\{X^{i}(q)\;p_{i},Y^{j}(q)\;p_{j}\}}$

${\displaystyle =\sum _{ij}p_{i}Y^{j}(q){\frac {\partial X^{i}}{\partial q^{j}}}-p_{j}X^{i}(q){\frac {\partial Y^{j}}{\partial q^{i}}}}$

${\displaystyle =-\sum _{i}p_{i}\;[X,Y]^{i}(q)}$

${\displaystyle =-P_{[X,Y]}(q,p).\,}$

Lo anterior se mantiene para todos los ${\displaystyle (q,p)}$, llegando al resultado deseado.

criba de Atkin es un algoritmo rápido y moderno empleado en matemática para hallar todos los números primos menores o iguales que un número natural dado. Es una versión optimizada de la criba de Eratóstenes, pero realiza algo de trabajo preliminar y no tacha los múltiplos de los números primos, sino concretamente los múltiplos de los cuadrados de los primos. Fue ideada por A. O. L. Atkin y Daniel J. Bernstein.

Algoritmo

Así funciona el algoritmo:

• Todos los restos son módulo 60, es decir, se divide el número entre 60 y se toma el resto.
• Todos los números, incluidos x e y, son enteros positivos.
• Invertir un elemento de la lista de la criba significa cambiar el valor ("primo" o "no primo") al valor opuesto.

1. Crear una lista de resultados, compuesta por 2, 3 y 5.
2. Crear una lista de la criba con una entrada por cada entero positivo; todas las entradas deben marcarse inicialmente como "no primos".
3. Para cada entrada en la lista de la criba:
   • Si la entrada es un número con resto 1, 13, 17, 29, 37, 41, 49 ó 53, se invierte tantas veces como soluciones posibles hay para 4x² + y² = entrada.
   • Si la entrada es un número con resto 7, 19, 31 ó 43, se invierte tantas veces como soluciones posibles hay para 3x² + y² = entrada.
   • Si la entrada es un número con resto 11, 23, 47 ó 59, se invierte tantas veces como soluciones posibles hay para 3x² - y² = entrada con la restricción x > y.
   • Si la entrada tiene otro resto, se ignora.
4. Se empieza con el menor número de la lista de la criba.
5. Se toma el siguiente número de la lista de la criba marcado como "primo".
6. Se incluye el número en la lista de resultados.
7. Se eleva el número al cuadrado y se marcan todos los múltiplos de ese cuadrado como "no primos".
8. Repetir los pasos 5 a 8.

Pseudocódigo

Este pseudocódigo indica una versión sencilla del algoritmo:

// límite arbitrario de búsqueda
límite ← 1000000         

// inicializar la criba
es_primo(i) ← falso, i ∈ [5, límite] 

// introducir candidatos a números primos: 
// números naturales con un número impar de
// representaciones en determinadas formas cuadráticas
para (x, y) en [1, √límite] × [1, √límite]:
    n ← 4x²+y²
    si (n ≤ límite) ∧ (n mod 12 = 1 ∨ n mod 12 = 5):
        es_primo(n) ← ¬es_primo(n)
    n ← 3x²+y²
    si (n ≤ límite) ∧ (n mod 12 = 7):
        es_primo(n) ← ¬es_primo(n)
    n ← 3x²-y²
    si (x > y) ∧ (n ≤ límite) ∧ (n mod 12 = 11):
        es_primo(n) ← ¬es_primo(n)
  
// eliminar compuestos mediante la criba
para n en [5, √límite]:
    si es_primo(n):
        // n es primo, se omiten los múltiplos de su cuadrado, esto es
        // suficiente porque los números compuestos que están
        // en esta lista no pueden ser [[número libre de cuadrados|libres de cuadrados]]
        es_primo(k) ← falso, k ∈ {n², 2n², 3n², ..., limit} 

escribir 2, 3
para n en [5, límite]:
    si es_prime(n): escribir n

Este pseudocódigo está así escrito para aumentar la claridad, pero los cálculos redundantes hacen que sea más lento que la criba de Eratóstenes. Para mejorar su eficiencia, se deben emplear métodos más rápidos para hallar las soluciones de las tres ecuaciones. Para ello, se puede utilizar la identidad ${\displaystyle (x+1)^{2}=x^{2}+2x+1}$ para no tener que calcular el cuadrado de x e y, y calcular el módulo de las tres funciones cuadráticas a partir del módulo de x e y, tal como viene en las siguientes tablas:

${\displaystyle 4x^{2}+y^{2}}$

y\x	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
0	0	4	4	0	4	4	0	4	4	0	4	4
1	1	5	5	1	5	5	1	5	5	1	5	5
2	4	8	8	4	8	8	4	8	8	4	8	8
3	9	1	1	9	1	1	9	1	1	9	1	1
4	4	8	8	4	8	8	4	8	8	4	8	8
5	1	5	5	1	5	5	1	5	5	1	5	5
6	0	4	4	0	4	4	0	4	4	0	4	4
7	1	5	5	1	5	5	1	5	5	1	5	5
8	4	8	8	4	8	8	4	8	8	4	8	8
9	9	1	1	9	1	1	9	1	1	9	1	1
10	4	8	8	4	8	8	4	8	8	4	8	8
11	1	5	5	1	5	5	1	5	5	1	5	5

${\displaystyle 3x^{2}+y^{2}}$

y\x	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
0	0	3	0	3	0	3	0	3	0	3	0	3
1	1	4	1	4	1	4	1	4	1	4	1	4
2	4	7	4	7	4	7	4	7	4	7	4	7
3	9	0	9	0	9	0	9	0	9	0	9	0
4	4	7	4	7	4	7	4	7	4	7	4	7
5	1	4	1	4	1	4	1	4	1	4	1	4
6	0	3	0	3	0	3	0	3	0	3	0	3
7	1	4	1	4	1	4	1	4	1	4	1	4
8	4	7	4	7	4	7	4	7	4	7	4	7
9	9	0	9	0	9	0	9	0	9	0	9	0
10	4	7	4	7	4	7	4	7	4	7	4	7
11	1	4	1	4	1	4	1	4	1	4	1	4

${\displaystyle 3x^{2}-y^{2}}$

y\x	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
0	0	3	0	3	0	3	0	3	0	3	0	3
1	11	2	11	2	11	2	11	2	11	2	11	2
2	8	11	8	11	8	11	8	11	8	11	8	11
3	3	6	3	6	3	6	3	6	3	6	3	6
4	8	11	8	11	8	11	8	11	8	11	8	11
5	11	2	11	2	11	2	11	2	11	2	11	2
6	0	3	0	3	0	3	0	3	0	3	0	3
7	11	2	11	2	11	2	11	2	11	2	11	2
8	8	11	8	11	8	11	8	11	8	11	8	11
9	3	6	3	6	3	6	3	6	3	6	3	6
10	8	11	8	11	8	11	8	11	8	11	8	11
11	11	2	11	2	11	2	11	2	11	2	11	2

Explicación

El algoritmo ignora cualquier número divisible por 2, 3 ó 5. Todos los números con resto, módulo 60, igual a 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 40, 42, 44, 46, 48, 50, 52, 54, 56 ó 58 son pares y por tanto compuestos. Los de resto 3, 9, 15, 21, 27, 33, 39, 45, 51 ó 57 son divisibles por 3 y por tanto compuestos. Finalmente, los de resto 5, 25, 35 ó 55 son divisibles entre 5 y por tanto compuestos. Todos estos restos son ignorados.

Todos los números con resto, módulo 60, igual a 1, 13, 17, 29, 37, 41, 49 ó 53 tienen un resto, módulo 4, de 1. Estos números son primos si y sólo si el número de soluciones de 4x² + y² = n es impar y el número es libre de cuadrados (demostrado como "teorema 6.1" en¹ ).

Todos los números con resto, módulo 60, igual a 7, 19, 31 ó 43 tienen un resto, módulo 6, de 1. Estos números son primos si y sólo si el número de soluciones de 3x² + y² = n es impar y el número es libre de cuadrados (demostrado como "teorema 6.2" en¹ ).

Todos los números con resto, módulo 60, de 11, 23, 47 ó 59 tienen un resto, módulo 12, de 11. Estos números son primos si y sólo si el número de soluciones de 3x² − y² = n es impar y el número es libre de cuadrados (demostrado como "teorema 6.3" en¹ ).

Ninguno de los candidatos a primos es divisible entre 2, 3 ó 5, por lo que no puede ser divisible entre sus cuadrados. Esta es la razón por la que las comprobaciones de si un número es libre de cuadrados no incluyen los casos 2², 3² y 5².

Complejidad computacional

Esta criba obtiene los números primos hasta N mediante O(N/log log N) operaciones con sólo N^1/2+o(1) bits de memoria. Esto es ligeramente mejor que la criba de Eratóstenes, que requiere O(N) operaciones y O(N^1/2(log log N)/log N) bits de memoria.¹ Estas complejidades computacionales asintóticas ya incluyen algunas optimizaciones sencillas.

Apéndice

Las dos primeras ecuaciones que se utilizan para determinar la primalidad de un número tras sus comprobaciones modulares son ecuaciones de elipses. Pueden reescribirse en la forma estándar dividiendo los dos miembros de la ecuación entre n, donde n es la entrada cuya primalidad se quiere determinar. Esta forma facilitaría la implementación de un test.