Matemáticas - Polinomios

método de Bairstow es un algoritmo eficiente de búsqueda de las raíces de un polinomio real de grado arbitrario. Es un método iterativo, basado en el método de Müller y de Newton Raphson. Dado un polinomio ${\displaystyle \ f_{n}(x)}$ se encuentran dos factores, un polinomio cuadrático

${\displaystyle \ f_{2}(x)=x^{2}-rx-s}$ y ${\displaystyle \ f_{n-2}(x)}$

El procedimiento general para el método de Bairstow es el siguiente. Dado:

${\displaystyle \ f_{n}(x)}$ y ${\displaystyle \ r_{0}}$ y ${\displaystyle \ s_{0}}$

• 1. Utilizando el método de Newton Raphson se calcula:

${\displaystyle \ f_{2}(x)=x^{2}-rx-s}$ y ${\displaystyle \ f_{n-2}(x)}$, tal que, el residuo de ${\displaystyle \,f_{n}(x)/f_{2}(x),}$ sea igual a cero.

• 2. Se determinan la raíces ${\displaystyle \ f_{2}(x)}$ , utilizando la formula general.
• 3. Se calcula ${\displaystyle \ f_{n-2}(x)=f_{n}(x)/f_{2}(x)}$
• 4. Se hace ${\displaystyle \ f_{n}(x):=f_{n-2}(x)}$
• 5. Si el grado del polinomio es mayor que tres regresamos al paso 2; en caso contrario, terminamos.

La principal diferencia de este método, respecto a otros, es que permite calcular todas las raíces de un polinomio (reales e imaginarias).

Para calcular la división de polinomios, hacemos uso de la división sintética. Así dado:

${\displaystyle \ f_{n}(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}}$

Al dividir entre ${\displaystyle \ f_{2}(x)=x^{2}-rx-s}$ , se tiene como resultado el siguiente polinomio:

${\displaystyle \ f_{n-2}(x)=b_{n}x^{n-2}+b_{n-1}x^{n-3}+...+b_{3}x+b_{2}}$

con un residuo ${\displaystyle \,R=b_{1}{x-r}+b_{0},}$ , el residuo será cero solo si ${\displaystyle \,b_{1}yb_{0},}$ lo son.

Los términos b, se calculan utilizando división sintética, la cual puede resolverse utilizando la siguiente relación de recurrencia:

${\displaystyle \,b_{n}=a_{n},}$

${\displaystyle \,b_{n-1}=a_{n-1}+rb_{n},}$

${\displaystyle \,b_{i}=a_{i}+rb_{i+1}+sb_{i+2},}$

Una manera de determinar los valores de r y s que hacen cero el residuo es utilizar el método de Newton-Raphson. Para ello necesitamos una aproximación lineal de ${\displaystyle \ b_{1}yb_{0},}$ respecto a r y s la cual calculamos utilizando la serie de Taylor

${\displaystyle \ b_{1}(r+dr,s+ds)=b_{1}+{\frac {\partial b_{1}}{\partial r}}dr+{\frac {\partial b_{1}}{\partial s}}ds}$

${\displaystyle \ b_{0}(r+dr,s+ds)=b_{0}+{\frac {\partial b_{0}}{\partial r}}dr+{\frac {\partial b_{0}}{\partial s}}ds}$

donde los valores de r y s están dados y se calculan los incrementos dr y ds que hacen a ${\displaystyle \ b_{1}(r+dr,s+ds)}$ y ${\displaystyle \ b_{0}(r+dr,s+dr)}$ igual a cero. El sistema de ecuaciones que se tiene que resolver es:

${\displaystyle \ {\frac {\partial b_{1}}{\partial r}}dr+{\frac {\partial b_{1}}{\partial s}}ds=-b_{1}}$

${\displaystyle \ {\frac {\partial b_{0}}{\partial r}}dr+{\frac {\partial b_{0}}{\partial s}}ds=-b_{0}}$

Bairtow muestra que las derivadas parciales pueden obtener haciendo un procedimiento similar a la división sintética, así:

${\displaystyle \ c_{n}=b_{n}}$

${\displaystyle \ c_{n-1}=b_{n-1}+rc_{n}}$

${\displaystyle \ c_{i}=b_{i}+rc_{i+1}+sc_{i+2}}$

donde:

${\displaystyle \ {\frac {\partial b_{0}}{\partial r}}=c_{1}}$

${\displaystyle \ {\frac {\partial b_{1}}{\partial r}}={\frac {\partial b_{0}}{\partial s}}=c_{2}}$

${\displaystyle \ {\frac {\partial b_{1}}{\partial s}}=c_{3}}$

regla de los signos de Descartes, inicialmente descrita por René Descartes en su obra La géométrie, es un teorema que determina el número de raíces positivas y negativas de un polinomio.

"El número de raíces reales positivas de un polinomio f(x)=0 es igual al número de cambios de signo de término a término (variaciones) de f(x) o es menor que este en un numero par. El numero de raíces negativas es igual al número de variaciones de f(-x) o es menor que este en un numero par"

Según la regla, si los términos de un polinomio con coeficientes reales se colocan en orden descendente de grado, entonces el número de raíces positivas del polinomio es igual al número de cambios de signo, o menor de esa cifra por una diferencia par, (por ejemplo si hay 3 cambios de signo, hay o 3 o 1 raíces positivas). Es importante precisar que esta regla no proporciona el número exacto de raíces del polinomio ni tampoco identifica las raíces del polinomio.

Ejemplo

${\displaystyle x^{3}+x^{2}-x-1\,}$

Tiene un cambio de signo entre el segundo y el tercer término. Por tanto existe solamente una raíz positiva.

Para contar el número de raíces negativas (como corolario a la regla), hacemos la sustitución ${\displaystyle x\longrightarrow -x\,}$:

${\displaystyle -x^{3}+x^{2}+x-1\,}$

Este polinomio tiene dos cambios de signo, luego el polinomio original posee 2 o 0 raíces negativas.

Para confirmar el resultado, obsérvese la factorización del polinomio original:

${\displaystyle x^{3}+x^{2}-x-1=(x+1)^{2}(x-1)\,}$

Las raíces son 1 y - 1 (dos veces)














regla de Ruffini facilita el cálculo rápido de la división de cualquier polinomio entre un binomio de la forma . Descrita por Paolo Ruffini en 1809, es un caso especial de «división sintética» (una división de polinomios en donde el divisor es un «factor lineal»).¹ El Algoritmo de Horner para la división de polinomios utiliza la regla de Ruffini (también se la conoce como Método de Horner o Algoritmo de Ruffini-Horner). La regla de Ruffini permite asimismo localizar las raíces de un polinomio y factorizarlo en binomios de la forma  (siendo r un número entero) si es coherente.

Historia del método de Ruffini

El método de Ruffini-Horner para la búsqueda de un valor aproximado de la raíz de un polinomio fue publicado con algunos años de diferencia por Paolo Ruffini (1804-1807-1813) y por William George Horner (1819-1845, póstumamente); al parecer Horner no tenía conocimiento de los trabajos de Ruffini.

El método de Ruffini-Horner es difícilmente explotable si el polinomio posee dos raíces muy cercanas. Ruffini no evoca esta problemática, pero Horner propone un procedimiento especial para estos casos.² El método de Horner fue utilizado por los matemáticos De Morgan y J.R. Young.

En tanto que técnica de cambio de variable, históricamente se encuentran algoritmos parecidos; por ejemplo en China, para la extracción de la raíz n-ésima;³ en la obra de Al Samaw'al (siglo XII).⁴ El matemático persa Sharaf al-Din al-Tusi (siglo XII) fue uno de los primeros en aplicarlo al caso general de una ecuación de tercer grado.⁵

Algoritmo

La regla de Ruffini establece un método para la división del polinomio:

${\displaystyle P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}}$

entre el binomio:

${\displaystyle Q(x)=x-r\,\!}$

para obtener el cociente:

${\displaystyle R(x)=b_{n-1}x^{n-1}+b_{n-2}x^{n-2}+\cdots +b_{1}x+b_{0}}$

y el resto:

${\displaystyle s.\!}$

• 1. Se trazan dos líneas a manera de ejes y se escriben los coeficientes de P(x), ordenados y sin omitir términos nulos. Se escribe la raíz r del lado izquierdo y el primer coeficiente en el renglón inferior (a_n):

${\displaystyle {\begin{array}{c|ccccc}{}&a_{n}&a_{n-1}&\dots &a_{1}&a_{0}\\r&{}&{}&{}&{}&{}\\\hline {}&a_{n}&{}&{}&{}&{}\\{}&=b_{n-1}&{}&{}&{}&{}\\\end{array}}}$

• 2. Se multiplica (a_n) por r y se escribe debajo de a_n-1:

${\displaystyle {\begin{array}{c|ccccc}{}&a_{n}&a_{n-1}&\dots &a_{1}&a_{0}\\r&{}&b_{n-1}\,r&{}&{}&{}\\\hline {}&a_{n}&{}&{}&{}&{}\\{}&=b_{n-1}&{}&{}&{}&{}\\\end{array}}}$

• 3. Se suman los dos valores obtenidos en la misma columna:

${\displaystyle {\begin{array}{c|ccccc}{}&a_{n}&a_{n-1}&\dots &a_{1}&a_{0}\\r&{}&b_{n-1}\,r&{}&{}&{}\\\hline {}&a_{n}&a_{n-1}+b_{n-1}\,r&{}&{}&{}\\{}&=b_{n-1}&=b_{n-2}&{}&{}&{}\\\end{array}}}$

• 4. El proceso se repite:

${\displaystyle {\begin{array}{c|ccccc}{}&a_{n}&a_{n-1}&\dots &a_{1}&a_{0}\\r&{}&b_{n-1}\,r&\dots &b_{1}\,r&b_{0}\,r\\\hline {}&a_{n}&a_{n-1}+b_{n-1}\,r&\dots &a_{1}+b_{1}\,r&a_{0}+b_{0}\,r\\{}&=b_{n-1}&=b_{n-2}&\dots &=b_{0}&=s\\\end{array}}}$

Los valores b son los coeficientes del polinomio resultante ${\displaystyle R(x)\!}$ de grado uno menos que el grado de ${\displaystyle P(x)\!}$. El residuo es ${\displaystyle s.\!}$

Ejemplo 1

División de

${\displaystyle P(x)=2x^{3}+3x^{2}-4\,\!}$

entre

${\displaystyle Q(x)=x+1.\,\!}$

utilizando la regla de Ruffini.

1. Se escribe ${\displaystyle Q(x)=x+1=x-(-1)\,\!}$ y el primer coeficiente (2) en el primer renglón:

${\displaystyle {\begin{array}{c|cccc}{}&2&3&0&-4\\-1&{}&{}&{}&{}\\\hline {}&2&{}&{}&{}\\\end{array}}}$

2. Multiplicando por la raíz r=(-1):

${\displaystyle {\begin{array}{c|rrrr}{}&2&3&0&-4\\-1&{}&{-2}&{}&{}\\\hline {}&2&{}&{}&{}\\\end{array}}}$

3. Sumando la columna:

${\displaystyle {\begin{array}{c|rrrr}{}&2&3&0&-4\\-1&{}&{-2}&{}&{}\\\hline {}&2&{1}&{}&{}\\\end{array}}}$

4. El procedimiento se repite hasta obtener el residuo:

${\displaystyle {\begin{array}{c|rrrr}{}&2&3&0&-4\\-1&{}&{-2}&{-1}&{1}\\\hline {}&2&{1}&{-1}&{-3}\\{}&\mathrm {Coef.} &{}&{}&\mathrm {Resto} \end{array}}}$

Si el polinomio original = divisor×cociente+resto, entonces

${\displaystyle P(x)=Q(x)R(x)+s\,\!}$, donde

${\displaystyle R(x)=2x^{2}+x-1\,\!}$ y ${\displaystyle s=-3.\,\!}$

Ejemplo 2

Cuando el resto es igual a 0; permite factorizar, como en el siguiente ejemplo:

${\displaystyle F(x)=x^{3}+x^{2}-x-1}$

Tomamos

${\displaystyle G(x)=x+1}$

Usamos el método, y nos queda así:

${\displaystyle {\begin{array}{c|rrrr}{}&1&1&-1&-1\\-1&{}&{-1}&{0}&{1}\\\hline {}&1&{0}&{-1}&{0}\\{}&\mathrm {Coef.} &{}&{}&\mathrm {Resto} \end{array}}}$

Entonces F(x) se factoriza ${\displaystyle (x^{2}-1)(x+1)}$

Encontrar raíces

Véase también: Teorema de la raíz racional

Si ${\displaystyle P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0}}$ es un polinomio con coeficientes enteros y con a₀ y a_n distintos de cero, entonces por el teorema de la raíz racional, todas las raíces racionales reales serán de la forma p/q, donde p es un entero divisor de a₀ y q es un entero divisor de a_n. Así por ejemplo, si el polinomio es

${\displaystyle P(x)=x^{3}+2x^{2}-x-2=0\,\!,}$

entonces las posibles raíces racionales son todos los enteros divisores de a₀ (−2):

${\displaystyle {\text{Posibles raíces:}}\left\{+1,-1,+2,-2\right\}.}$

Esto es de utilidad para poder factorizar un polinomio (en caso de ser factorizable) de coeficientes enteros, usando los divisores del término independiente.