Matemáticas - Polinomios

Polinomio de Newton-Gregory

Dados los valores ${\displaystyle y_{0},y_{1},...,y_{n}}$ de una función correspondientes a los (n+1) valores equidistantes ${\displaystyle x_{0},x_{1},...,x_{n}}$ de la variable, se busca un polinomio de grado n:

${\displaystyle P_{n}=a_{o}+a_{1}(x-x_{0})+a_{2}(x-x_{0})(x-x_{1})+...+a_{n}(x-x_{0})(x-{x_{1}})}$ que pase por los (n+1) pares de coordenadas.¹

Los coeficientes ${\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2},...,a_{n}}$ se obtienen sometiendo a la parábola correspondiente a ${\displaystyle P_{n}(x)}$ las n+1 condiciones de pasar por los punto ${\displaystyle A_{0},A_{1},...,A_{n}}$.

El polinomio de Gregory-Newton (ascendente)² expresado formalmente por:

${\displaystyle p_{n}(x)=y_{0}+{\frac {x-x_{0}}{h}}\Delta y_{0}+{\frac {(x-x_{1})\cdot (x-x_{0})}{2\cdot h^{2}}}\Delta ^{2}y_{0}+...+{\frac {(x-x_{n-1})...(x-x_{1})\cdot (x-x_{0})}{n!\cdot h^{n}}}\Delta ^{n}y_{0}}$

Es utilizado para hallar la expresión del polinomio derivada con datos equidistantes interpolados.

 polinomio homogéneo es un polinomio en que cada uno de sus términos (monomios) tienen el mismo grado; o sus elementos son de la misma dimensión. Por ejemplo, ${\displaystyle x^{5}+2x^{3}y^{2}+9x^{1}y^{4}}$ es un polinomio homogéneo de grado 5, en dos variables; la suma de los exponentes es siempre 5.

Una forma algebraica, o simplemente forma es otro nombre para un polinomio homogéneo. Un polinomio homogéneo de grado 2 es una forma cuadrática, y puede ser representado como una matriz simétrica. La teoría de las formas algebraicas es muy extensa, y tiene numerosas aplicaciones en todas las otras matemáticas y ciencias teóricas.

Tensores simétricos

Los polinomios homogéneos en un espacio vectorial pueden ser construidos directamente a partir de tensores simétricos, y viceversa. Para espacios vectoriales definidos sobre los cuerpos de números reales o complejos, el sistema de polinomios homogéneos y los tensores simétricos son de hecho isomorfos. Este parentesco es usualmente expresados como sigue.

Siendo X e Y vectores del espacio vectorial, y T el mapa multilineal o tensor simétrico:

${\displaystyle {\begin{matrix}T:&\underbrace {X\times X\times \cdots \times X} &\to &Y\\&n&&\\\end{matrix}}}$

Se define el operador diagonal ${\displaystyle \Delta }$ como:

${\displaystyle {\begin{matrix}\Delta :&X&\to &X^{n}\\&x&\mapsto &(x,x,\dots ,x)\\\end{matrix}}}$

El polinomio homogéneo ${\displaystyle {\widehat {T}}}$ de grado n asociado con T es simplemente ${\displaystyle {\widehat {T}}=T\circ \Delta }$, de modo que

${\displaystyle {\widehat {T}}(x)=(T\circ \Delta )(x)=T(x,x,\ldots ,x)}$

Escrito de esta manera, está claro que un polinomio homogéneo es una función homogénea de grado n. Esto, para un escalar a, uno tiene

${\displaystyle {\widehat {T}}(ax)=a^{n}{\widehat {T}}(x)}$

Inversamente, dado un polinomio homogéneo ${\displaystyle P}$, uno puede construir el tensor simétrico correspondiente ${\displaystyle {\check {P}}}$, el cuál sigue inmediatamente una multilinearidad del tensor por medio de una fórmula polarizada:

${\displaystyle {\check {P}}(x_{1},x_{2},\cdots x_{n})={\frac {1}{2^{n}n!}}\sum _{\varepsilon _{i}=\pm 1 \atop 1\leq i\leq n}\varepsilon _{1}\varepsilon _{2}\cdots \varepsilon _{n}P\left(\sum _{i=1}\varepsilon _{i}x_{i}\right)}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}(X^{n},Y)}$ denota el espacio de tensores simétricos de rango n, y ${\displaystyle {\mathcal {P}}(X,Y)}$ denota el espacio de polinomios homogéneos de grado n. Si el vector espacial X e Y están encima de los números reales o complejos (o más generalmente, encima de un cuerpo de característica cero), luego esos dos espacios son isomórficos, con los mapeados dados por sombreros y comprobamos:

${\displaystyle {\widehat {\;}}:{\mathcal {L}}(X^{n},Y)\to {\mathcal {P}}(X,Y)}$

y

${\displaystyle {\check {\;}}:{\mathcal {P}}(X,Y)\to {\mathcal {L}}(X^{n},Y)}$

Forma algebraica

Forma algebraica, o simplemente forma, es otro termino para polinomios homogéneos. Estos se utilizan generalmente para formas cuadráticas a de grados 3 y más, y en el pasado también fueron conocidos como cuantos. Al especificar el tipo de forma, uno tiene que dar su grado de una forma, y el número de variables n. Una forma está encima de algún campo K dado, si este va de Kⁿ a K, donde n es el número de variables de la forma.

Una forma encima de algún campo K en n variables representa 0 si en él existe un elemento

(x₁,...,x_n)

en Kⁿ semejante que por lo menos de

x_i (i=1,...,n)

no es igual a cero.

Propiedades básicas

El número de diferentes monomios homogéneos de grado M en N variables es ${\displaystyle {\frac {(M+N-1)!}{M!(N-1)!}}}$

La serie de Taylor de un polinomio homogéneo P ampliado al punto x puede ser escrito como

${\displaystyle {\begin{matrix}P(x+y)=\sum _{j=0}^{n}{n \choose j}dlw{\check {P}}(&\underbrace {x,x,\dots ,x} &\underbrace {y,y,\dots ,y} ).\\&j&n-j\\\end{matrix}}}$

Otra identidad útil es

${\displaystyle {\begin{matrix}P(x)-P(y)=\sum _{j=0}^{n-1}{n \choose j}{\check {P}}(&\underbrace {y,y,\dots ,y} &\underbrace {(x-y),(x-y),\dots ,(x-y)} ).\\&j&n-j\\\end{matrix}}}$

Historia

Los polinomio homogéneos tuvieron un importante papel en las matemáticas del siglo XIX.

Las dos evidentes áreas donde se podría aplicar fueron la geometría proyectiva, y la teoría de números (en menor medida). El uso geométrico fue relacionado con teoría invariante.

Se denomina Polinomio Homogéneo a aquel polinomio en el que todos sus términos son del mismo grado:

• P(x) = 2x⁵ + x²y³ + 5x⁴y¹ + y⁵

En este caso, todos los términos tienen grado 5 (cuando hay dos variables x e y, se suman los exponentes), por lo tanto es homogéneo.

Ejemplos de Polinomio Homogéneo:

• P(x, y) = x³ + 2xy² + y³ 
• Q(x, y) = x + y    
• T(x, y) = 3x² + xy + 7y²

polinomio mínimo de un elemento α es el polinomio mónico p de menor grado tal que p(α)=0. Las propiedades del polinomio mínimo dependen de la estructura algebraica a la cual pertenece α.

Teoría de cuerpos

En teoría de cuerpos, dada una extensión de cuerpo E/F y un elemento α de E que sea algebraico sobre F, el polinomio mínimo de α es el polinomio mónico p, con coeficientes en F, de menor grado tal que p(α) = 0. El polinomio mínimo es irreducible, y cualquier otro polinomio no nulo f que cumple f(α) = 0 es un múltiplo de p.

Álgebra lineal

En álgebra lineal, el polinomio mínimo de una matriz n*n A sobre un cuerpo F es el polinomio mónico p(x) sobre F de menor grado tal que p(A)=0. Cualquier otro polinomio q con q(A) = 0 es un múltiplo de p.

Los siguientes tres enunciados son equivalentes:

1. λ∈F es una raíz de p(x),
2. λ es una raíz del polinomio característico de A,
3. λ es un valor propio de A.

La multiplicidad de la raíz λ de p(x) es el tamaño del mayor bloque de Jordan correspondiente a λ.

El polinomio mínimo no es siempre el mismo que el polinomio característico. Consideremos la matriz ${\displaystyle 4I_{n}}$, que tiene como polinomio característico ${\displaystyle (x-4)^{n}}$. Sin embargo, el polinomio mínimo es ${\displaystyle x-4}$, ya que ${\displaystyle 4I-4I=0}$, por lo que son distintos para ${\displaystyle n\geq 2}$. El hecho que el polinomio mínimo siempre divida el polinomio característico es consecuencia del teorema de Cayley–Hamilton.

polinomio primitivo puede referirse a uno de los dos siguientes conceptos:

• Un polinomio sobre un dominio de factorización única (como el de los enteros) tal que el máximo común divisor de sus coeficientes es 1.
• El polinomio mínimo de un elemento primitivo de una extensión de cuerpos GF(p^m).

Propiedades

Como todos los polinomios mínimos son irreducibles, todos los polinomios primitivos también lo son.

Todos los polinomios primitivos tienen un número impar de términos, entre ellos, el término constante. Si un polinomio primitivo no tiene el término constante entonces x (la indeterminada) puede ser sacada como factor común en todos los términos por lo que el polinomio no es irreducible. Si un polinomio primitivo tiene un número par de términos, entonces (x + a) puede ser sacado como factor común.

Un polinomio irreducible de grado m, F(x) sobre GF(p) para un p primo, es primitivo si el entero positivo n más pequeño tal que F(x) divide xⁿ − 1 es n = p^m − 1.

Sobre GF(p^m) hay exactamente φ(p^m − 1)/m polinomios primitivos de grado m, donde φ es función fi de Euler.

Todas las raíces de un polinomio primitivo tienen orden p^m − 1.

Usos

Representación de los elementos de un cuerpo

Los polinomios primitivos se usan en la representación de los elementos de un cuerpo finito. Si α ∈ GF(p^m) es una raíz de un polinomio primitivo F(x) entonces el orden de α es p^m − 1, lo que significa que todos los elementos de GF(p^m) pueden ser representados como las sucesivas potencias de α:

${\displaystyle \{0,1,\alpha ,\alpha ^{2},\ldots ,\alpha ^{p^{m}-2}\}}$

Cuando estos elementos son reducidos módulo F(x) producen una representación en forma de base polinómica de todos los elementos del cuerpo.

Generación de secuencias pseudoaleatorias

Los polinomios primitivos definen una relación de recurrencia que puede ser usada para generar secuencias pseudoaleatorias.

Por ejemplo, dado el polinomio primitivo x¹⁰ + x³ + 1, empezamos con una semilla especificada por el usuario (puede ser escogida al azar, pero no es una condición necesaria). Entonces tomamos el 10º, 3º, y el 0º bit, empezando por el menos significativo, y operamos con una puerta XOR todo ellos, obteniendo así un nuevo bit. La semilla se rota hacia la izquierda y el nuevo bit se convierte en el menos significativo de la semilla. Este proceso puede ser repetido hasta generar 2¹⁰-1 = 1023 bits pseudoaleatorios.

En general, para un polinomio primitivo de grado m, este proceso genera 2^m bits pseudoaleatorios antes de repetir la misma secuencia.

Encontrar polinomios primitivos

La clase más útil de polinomios primitivos es la de trinomios primitivos, esos que tienen solamente tres términos distintos a cero, porque son los más simples y resultan los más eficientes generadores de números al azar. Un número de resultados dan técnicas para localizar y testear la primitividad de trinomios. Una prueba simple es la siguiente: para cada r tal que 2^r−1 es un primo de Mersenne, un trinomio de grado r es primitivo si y solo si es irreducible. Los algoritmos recientemente inventados por Richard Brent han permitido el descubrimiento de trinomios primitivos de grado muy grande, por ejemplo x^6972593 + x^3037958 + 1.