Epónimos relacionados con las matemáticas

 conjetura de Cramér, formulada por el matemático sueco Harald Cramér en 1936,¹ dice que

${\displaystyle \limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {p_{n+1}-p_{n}}{(\log p_{n})^{2}}}=1}$

donde p_n denota el n-ésimo número primo y "log" denota el logaritmo natural. Esta conjetura aún no ha sido demostrada ni refutada, y es improbable que lo sea en un futuro cercano. Se fundamenta en un modelo probabilístico (en esencia, una heurística) de los números primos, en el cual se presupone que la probabilidad de que un número natural sea primo es ${\displaystyle {\tfrac {1}{\log x}}}$. Este modelo se conoce como el modelo de Cramér de los números primos. De ahí, se puede demostrar que la conjetura es cierta con probabilidad uno.²

Shanks conjeturó la igualdad asintótica de diferencias maximales entre primos consecutivos, un enunciado más fuerte.³

También Cramér formuló otra conjetura sobre diferencias entre primos consecutivos:

${\displaystyle p_{n+1}-p_{n}={\mathcal {O}}({\sqrt {p_{n}}}\,\log p_{n})}$

que demostró presuponiendo la (aún por demostrar) hipótesis de Riemann.

Además, E. Westzynthius demostró en 1931 que⁴

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\frac {p_{n+1}-p_{n}}{\log p_{n}}}=\infty .}$

Conjetura de Cramér-Granville

Puede que la conjetura de Cramér sea demasiado fuerte. Andrew Granville conjeturó en 1995⁵ que existe una cota ${\displaystyle M}$ para la cual ${\displaystyle p_{n+1}-p_{n}$. Maier propuso ${\displaystyle M=2e^{-\gamma }\approx 1.1229\ldots .\ }$

Nicely⁶ ha calculado muchas diferencias grandes entre primos consecutivos. Ha medido la compatibilidad con la conjetura de Cramér midiendo la razón R entre el logaritmo de un número primo y la raíz cuadrada de la diferencia con el siguiente. «Para las mayores diferencias maximales que se conocen», dice, «R se ha mantenido cerca de 1,13», lo que muestra que, al menos entre los números que ha observado, el refinamiento de Granville de la conjetura de Cramér parece ajustarse bien a los datos.

conjetura de Elliott–Halberstam es una conjetura acerca de la distribución de primos es progresiones aritméticas. Este tiene muchas aplicaciones en teoría de cribas y es atribuido a Peter D. T. A. Elliott y Heini Halberstam.

Establecer esta conjetura requiere cierta notación. Sea ${\displaystyle \pi (x)}$ el número de primos menores o iguales a x. Sea q es un número entero positivo y a es coprimo a q, tome

${\displaystyle \pi (x;q,a)\,}$

como el número de primos menores o iguales a x los cuales son iguales a a modulo q. El teorema de Dirichlet en progresiones aritméticas nos dice que

${\displaystyle \pi (x;q,a)\sim {\frac {\pi (x)}{\phi (q)}}}$

cuando a es coprimo a q. Si definimos la función error

${\displaystyle E(x;q)=\max _{(a,q)=1}\left|\pi (x;q,a)-{\frac {\pi (x)}{\phi (q)}}\right|}$

donde el máximo es tomado sobre todos los a coprimo a q, entonces la conjetura de Elliott–Halberstam conjecture asegura que para todo θ < 1 y A > 0 existe una constante C > 0 tal que

${\displaystyle \sum _{1\leq q\leq x^{\theta }}E(x;q)\leq {\frac {Cx}{\log ^{A}x}}}$

para todo x > 2.

Esta conjetura fue probada para todo θ < 1/2 por Enrico Bombieri y A. I. Vinogradov (el Bombieri–Vinogradov theorem, algunas veces conocido como el "teorema de Bombieri"); este resultado es ya bastante util, siendo una de las diferentes formas de la hipótesis de Riemann, Terence Tao llamó a esta conjetura como "Una especie de hipótesis de Riemann super-generalizada para teoría de cribas".¹ Se sabe que la conjetura falla en el punto θ = 1.

La conjetura de Elliott–Halberstam tiene muchas consecuencias. Uno de los resultados más recientes fue logrado por Dan Goldston, János Pintz, y Cem Yildirim [2] (véase [3], [4]), los cuales mostraron (asumiendo esta conjetura) que existen infinitos pares de primos los cuales difieren en a lo sumo en 16.

conjetura de Fermat–Catalan combina ideas del último teorema de Fermat y de la conjetura de Catalan, de ahí el nombre. La conjetura postula que la ecuación

(1)${\displaystyle a^{m}+b^{n}=c^{k}\quad }$

tiene un número finito de soluciones (a,b,c,m,n,k); aquí a, b, c son números enteros positivos coprimos y m, n, k son enteros positivos que satisfacen

(2)${\displaystyle {\frac {1}{m}}+{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{k}}<1 .="" annotation="">$

A fecha de 2008, se conocen las siguientes soluciones de (1):¹

${\displaystyle 1^{m}+2^{3}=3^{2}\;}$

${\displaystyle 2^{5}+7^{2}=3^{4}\;}$

${\displaystyle 13^{2}+7^{3}=2^{9}\;}$

${\displaystyle 2^{7}+17^{3}=71^{2}\;}$

${\displaystyle 3^{5}+11^{4}=122^{2}\;}$

${\displaystyle 33^{8}+1549034^{2}=15613^{3}\;}$

${\displaystyle 1414^{3}+2213459^{2}=65^{7}\;}$

${\displaystyle 9262^{3}+15312283^{2}=113^{7}\;}$

${\displaystyle 17^{7}+76271^{3}=21063928^{2}\;}$

${\displaystyle 43^{8}+96222^{3}=30042907^{2}\;}$

La primera de ellas (1^m+2³=3²) es la única solución donde una de las variables a, b o c es 1; esta es la conjetura de Catalan, demostrada en 2002 por Preda Mihăilescu. Técnicamente, este caso produce un número infinito de soluciones de (1) (puesto que se puede escoger cualquier m para m>6), pero a los efectos de enunciado de la conjetura de Fermat-Catalan se contabilizarán todas esas soluciones como una sola.

Se conoce, mediante el teorema de Faltings, que para cualquier elección fijada de enteros positivos m, n y k que satisfacen (2), existe únicamente un número finito de tuplas de números enteros coprimos (a, b, c) que resuelven (1), pero claro, la conjetura de Fermat–Catalan completa es una afirmación mucho más fuerte.

La conjetura abc implica la conjetura de Fermat–Catalan.

conjetura de Grimm establece que a cada elemento de un conjunto de números compuestos se puede asignar un número primo que lo divide, de forma que cada uno de los números primos elegidos es distinto de todos los demás. La conjetura fue publicada por vez primera en American Mathematical Monthly, 76(1969) 1126-1128.

Enunciado formal

Sean ${\displaystyle n+1,n+2,...,n+k}$ números compuestos, entonces existen números primos ${\displaystyle p_{i}}$, distintos entre sí, tales que ${\displaystyle p_{i}|(n+i)}$ para ${\displaystyle 1\leq i\leq k}$.

Versión más débil

Una versión más débil de la conjetura, aunque también sin demostración conocida, dice así:

Si en el intervalo ${\displaystyle [n+1,n+k]}$ no hay ningún número primo, entonces ${\displaystyle \prod _{x\leq k}(n+x)}$ tiene al menos k factores primos distintos. conjetura de Hirsch afirma que "si un poliedro está definido por n desigualdades lineales en d variables siempre ha de ser posible viajar de cualquier vértice a cualquier otro vértice recorriendo como mucho n-d aristas".1 En términos un poco más técnicos, afirma que el grafo arista-vértice de un politopo de n-caras en un espacio euclidiano d-dimensional tiene un diámetro no mayor que n − d. Es decir, que cualquiera de dos vértices del politopo deben estar conectados el uno con el otro por una trayectoria de longitud n − d como máximo. La conjetura fue presentada primero en 1957 en una carta de Warren M. Hirsch a George B. Dantzig2 3 y es motivada por el análisis del método simplex en programación lineal, a medida que el diámetro de un politopo proporciona un límite más bajo en el número de pasos necesarios por el método simplex. La conjetura de Hirsch fue probada para d < 4 y para varios casos especiales,4 los límites superiores más conocidos mostraron solamente que los politopos tienen un diámetro sub-exponencial en función de n y d.5 sin embargo, después de más de cincuenta años, un contraejemplo fue anunciado en mayo de 2010 por Francisco Santos Leal, de la Universidad de Cantabria.6 7 8 el resultado debe ser presentado en la conferencia 100 Years in Seattle: The Mathematics of Klee and Grünbaum. Varias formulaciones equivalentes del problema habían sido dadas, por ejemplo la conjetura d-paso, que indica que el diámetro de cualquier politopo de 2d-caras en un espacio euclidiano d-dimensional no es mayor que d.2 9 La conjetura de d-paso era conocida como verdadera para d < 6,9 pero cuando fue encontrado un contraejemplo el caso general también fue refutado, usando un politopo 43-dimensional de 86 caras con un diámetro de más de 43.6 El contraejemplo anunciado no tendría ninguna consecuencia directa para el análisis del método simplex, pues no eliminaría la posibilidad de un más grande pero todavía lineal o un número polinómico de pasos.