Hemos explicado en post recientes que las raíces de la unidad se distribuyen a lo largo de la circunferencia unidad en el plano complejo, dividiéndola en n partes iguales. Vimos que cada uno de los valores de la raíz n-ésima de la unidad se podía expresar mediante el número complejo
ei(2PI/n)k. Dando valores a k desde 1 hasta n obtenemos todas las raíces. No lo dijimos en su momento, pero a dichos números complejos unitarios se les denomina
números de Moivre .
Estas raíces son las soluciones de la ecuación polinómica :
xn=1Pues bien, a aquellos polígonos irreducibles cuyas raíces son raíces de la unidad se llaman
Polinomios ciclotómicos . Esta bella palabra significa etimológicamente
que corta a la circunferencia; como podemos ver tienen el nombre muy bien puesto. No son ellos quienes
cortan a la circunferencia en
R 2, sino sus raíces en el plano complejo.
Nuestro polinomio genérico
xn-1 no será ciclotómico para todo valor de n. De hecho lo será sólo para n=1. El motivo es que en la propia definición de
Polinomio ciclotómico se expresa que dicho polinomio debe ser irreducible.
Los polinomios son expresiones en forma de suma de potencias de ciertas variables, denominadas
indeterminadas . Consideraremos únicamente polinomios racionales de una indeterminada. Su forma genérica es:
P(x)=anxn+an-1xn-1+ an-2xn-2+...+ a1x+a0 Los números a
n son los coeficientes; que pertenecerán al cuerpo de los racionales.
Pues bien; el conjunto de todos los polinomios con la operación suma y producto habituales resulta ser un anillo, que llamaremos
Z[x] o
Q[x], para el caso de que los coeficientes sean enteros o racionales.
Z[x] o
Q[x] resultan ser anillos y no cuerpos, y la relación de divisibilidad entre los polinomios se define al uso:
Diremos que un polinomio P(x) divide a otro Q(x) cuando existe un tercero
Z(x) tal que Q(x)=Z(x)·P(x) Diremos que un polinomio es irreducible cuando no puede expresarse como producto de otros dos. Por lo tanto, obtendremos los sucesivos polinomios ciclotómicos factorizando los polinomios genéricos
xn=1.
El primero de ellos provendrá de la ecuación
x=1; y por lo tanto es
F1(x)=x-1.Para n=2, tenemos
x2=1, que en forma de polinomio es
x2-1 Ahora bien; este polinomio se puede expresar como (x+1)·(x-1). Como el segundo factor era el primer polinomio ciclotómico, el otro es nuestro segundo:
F2(x)=x+1.Si continuamos, para n=3 tenemos que el polinomio
x3-1 es divisible por (x-1), pudiendo ser factorizado así: x
3-1=(x-1)·(x
2+x+1)
Este último factor es por tanto el tercer polinomio ciclotómico:
P3(x)= x2+x+1Esa es la pauta para la obtención de los sucesivos polinomios ciclotómicos
· F
1(x) = x-1
· F
2(x) = x+1
· F
3(x) = x
2+x+1
· F
4(x) = x
2+1
· F
5(x) = x
4+x
3+x
2+x+1
· F
6(x) = x
2-x+1
Si
n es primo, entonces el polinomio ciclotómico F
n es completo de grado (n-1). En general, el grado de
Fn(x) es igual al número de enteros menores que
n y coprimos (sin divisores comunes) con
n.
De hecho, una definición alternativa de los polinomios ciclotómicos es esta:
donde k toma sólo valores desde 1 hasta n que sean primos con el propio n.
Siendo
los correspondientes números de Moivre.
Lo curioso del asunto es que con tal definición, siempre resulten polinomios de coeficientes enteros.
Además, todos los coeficientes parecen ser igual a la unidad con signo más o menos, o cero.
Este extremo ilustra el papel relativamente poco significativo que representan las conjeturas en matemáticas, y que hemos resaltado muchas veces desde este blog. En efecto, es natural viendo que los primeros polinomios ciclotómicos tienen siempre sus coeficientes con estos valores, conjeturar que ocurre así para todo n.
Si seguimos calculándolos, podremos comprobar que entre los cien primeros, ninguno incumple esta norma.
En las ciencias experimentales, cuando las observaciones dan la razón a la teoría, ésta sale reforzada. Esta forma de acceso a la verdad en matemáticas no es satisfactoria: en matemáticas las hipótesis no valen nada mientras no se demuestren. Y cien casos demuestran el caso general tan poco como diez mil o mil millones...
Lo extraordinario del caso es que nuestros polinomios ciclotómicos no cumplen la conjetura anterior: el primero que la incumple es el de puesto 105, que vale:
F
105(x) = x
48 + x
47 + x
46 - x
43 - x
42 -
2x
41 - x
40 - x
39 +x
36 + x
35+x
34 + x
33+ x
32 + x
31 - x
28 - x
26 - x
24 - x
22 - x
20 +x
17 + x
16+ x
15 + x
14 + x
13 + x
12 - x
9 - x
8 -
2x
7 - x
6 - x
5 + x
2 + x + 1
como pueden observar, dos de los coeficientes son sendos doses.
De hecho, se ha demostrado que existen coeficientes tan grandes como se quiera para polinomios de puesto suficientemente elevado.
No hay comentarios:
Publicar un comentario