Matemáticas - Polinomios

polinomio de Hurwitz, nombrado por Adolf Hurwitz, es un polinomio cuyas raíces (ceros) están localizados en el semiplano izquierdo del plano complejo, o en el eje imaginario, esto quiere decir que la parte real de cada raíz es cero o negativa.^1 2 Tal polinomio debe tener coeficientes que son reales positivos. El término está a veces restringido para polinomios cuyas raíces tengan partes reales estrictamente negativas, excluyendo los ejes (ej. un polinomio estable de Hurwitz).^3 4

Una función polinómica ${\displaystyle P(s)}$ de una variable compleja ${\displaystyle s}$ se dice que es de Hurwitz si satisface las siguientes condiciones:

1. ${\displaystyle P(s)}$ es real cuando ${\displaystyle s}$ es real.
2. Las raíces de ${\displaystyle P(s)}$ tienen partes reales las cuales son cero o negativas.

Los polinomios de Hurwitz son importantes en la teoría de los sistemas de control, porque representan las ecuaciones características de sistemas lineares estables. Si un polinomio es de Hurwitz puede ser determinado resolviendo la ecuación para hallar las raíces, o desde los coeficientes sin resolver la ecuación, por el criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz.

Ejemplos

Un simple ejemplo de un polinomio de Hurwitz es el siguiente:

${\displaystyle x^{2}+2x+1.}$

La única solución real es ${\displaystyle -1,}$ ya que se factoriza a

${\displaystyle (x+1)^{2}.}$

En general, todos los polinomios de segundo grado con coeficientes positivos son de Hurwitz. Esto se deduce directamente desde la fórmula cuadrática:

${\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}},}$

donde, si el determinante es ${\displaystyle b^{2}-4ac}$ es menos de cero, entontes el polinomio tendrá que conjugar la parte real ${\displaystyle -b/a}$, la cual es negativa para ${\displaystyle a}$ y ${\displaystyle b}$ positivos. Si es igual a cero, entonces habrán soluciones reales coincidentes en ${\displaystyle -b/a}$. Finalmente, si el determinantes es mayor a cero, entonces habrán dos soluciones reales negativas, porque ${\displaystyle {\sqrt {b^{2}-4ac}}$ para ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ y ${\displaystyle c}$ positivos.

Propiedades

Para que un polinomio sea de Hurwitz, es necesario, pero no suficiente, que todos sus coeficientes sean positivos (excepto los polinomios de segundo grado, los cuales tampoco implican suficiencia). Una condición necesaria y suficiente para que un polinomio sea de Hurwitz es que pase el criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz. Un polinomio dado puede ser eficientemente probado para ser de Hurwitz o no utilizando la técnica de la expansión de la fracción de Routh.

Las propiedades de los polinomios de Hurwitz son:

1. Todos los polos y ceros están en el semiplano izquierdo o, en su límite, en el eje imaginario.
2. Todos los polos y ceros en el eje imaginario son simples (su multiplicidad es uno).
3. Todos los polos en el eje imaginario tienen restos reales estrictamente positivos y, similarmente, en cada cero en el eje imaginario, la función tiene una derivada real estrictamente positiva.
4. Sobre el semiplano derecho, el valor mínimo de la parte real de una función PR (positivo-real) ocurre en el eje imaginario (porque la parte real de una función analítica constituye una función armónica sobre el plano, y por lo tanto satisface el principio del máximo).
5. El polinomio no puede tener potencias faltantes de ${\displaystyle s}$.

Polinomio de Hurwitz

Publicado el abril 14, 2014 por Fernando Revilla

Enunciado
Sea p(z)∈C[z].$p(z)\in \mathbb{C}[z].$ Se dice que p(z)$p(z)$ es un polinomio de Hurwitz si todos sus ceros tienen parte real negativa. Demostrar que si p(z)$p(z)$ es un polinomio de Hurwitz, también lo es p′(z).$p^{\prime }(z).$

Solución
Sea p(z)=anzn+…+a1z+a0(an≠0)$p(z)=a_n{z}^n+\dots +a_{1}z+a_0(a_n\ne 0)$ un polinomio de Hurwitz, podemos escribir p(z)=an(z−z1)…(z−zn)$p(z)=a_n(z-z_1)\dots (z-z_n)$ con Rezj<0$\text{Re}{z}_j<0$ para todo j=1,…,n.$j=1,\dots ,n.$ Hallemos el cociente p′(z)/p(z):$p^{\prime }(z)/p(z):$

p′(z)p(z)=an[(z−z2)…(z−zn)+…+(z−z1)…(z−zn−1)]an(z−z1)(z−z2)…(z−zn)$${\displaystyle \frac{p^{\prime }(z)}{p(z)}={\displaystyle \frac{a_n[(z-z_2)\dots (z-z_n)+\dots +(z-z_1)\dots (z-z_{n-1})]}{a_n(z-z_1)(z-z_2)\dots (z-z_n)}}}$$

=1z−z1+1z−z2+…1z−zn.$$={\displaystyle \frac{1}{z-z_1}}+{\displaystyle \frac{1}{z-z_2}}+\dots {\displaystyle \frac{1}{z-z_n}}.$$

Sea z∈C$z\in \mathbb{C}$ tal que z≠zj$z\ne z_j$ y supongamos que Rez≥0.$\text{Re}z\ge 0.$ En este caso, Re(z−zj)>0$\text{Re}(z-z_j)>0$ y por consiguiente Re(1/(z−zj))>0.$\text{Re}(1/(z-z_j))>0.$ Esto se deduce del hecho de que si w∈C$w\in \mathbb{C}$ con w≠0$w\ne 0$ entonces 1/w=w¯/|w|2,$1/w=\overline{w}/|w{|}^2,$ es decir Re(1/w)$\text{Re}(1/w)$ y Rew$\text{Re}w$ tienen el mismo signo. Entonces

Rep′(z)p(z)=Re1z−z1+…+Re1z−zn>0.$\text{Re}{\displaystyle \frac{p^{\prime }(z)}{p(z)}=\text{Re}{\displaystyle \frac{1}{z-z_1}+\dots +\text{Re}{\displaystyle \frac{1}{z-z_n}>0.}}}$

Es decir, si Rez≥0$\text{Re}z\ge 0$ con z≠zj$z\ne z_j$ entonces Re(p′(z)/p(z))$\text{Re}(p^{\prime }(z)/p(z))$ es distinta de cero y en consecuencia p′(z)≠0$p^{\prime }(z)\ne 0$ (z$z$ no es raíz de p′(z)$p^{\prime }(z)$). Las raíces de p′(z)$p^{\prime }(z)$ tienen por tanto parte real negativa.

Obsérvese que si algún zj$z_j$ fuera raíz de p′(z)$p^{\prime }(z)$, ya tiene parte real negativa por hipótesis.

polinomio de Jones es un polinomio de nudo descubierto por Vaughan Jones en 1984.¹Específicamente, es una invariante de nudo orientado o de enlace, que asigna a cada uno de ellos, un polinomio de Laurent en la variable ${\displaystyle t^{1/2}}$ con coeficientes enteros.

Definición por corchete

Movimiento de Reidemeister tipo I.

Supongamos que tenemos un enlace orientado ${\displaystyle L}$, dado como un diagrama de nudo. Vamos a definir el polinomio de Jones, ${\displaystyle V(L)}$, usando el polinomio de corchete de Kauffman, que denotamos por ${\displaystyle \langle ~\rangle }$. Tenga en cuenta, que aquí el polinomio de corchete, es un polinomio de Laurent en la variable ${\displaystyle A}$ con coeficientes enteros.

En primer lugar, definimos el polinomio auxiliar (también conocido como el corchete polinomial normalizado)

${\displaystyle X(L)=(-A^{3})^{-w(L)}\langle L\rangle }$,

donde ${\displaystyle w(L)}$ denota la torcedura de ${\displaystyle L}$ en su esquema determinado. La torcedura de un diagrama, es el número de cruces positivos (${\displaystyle L_{+}}$ en la siguiente figura) menos el número de cruces negativos (${\displaystyle L_{-}}$). La torcedura no es una invariante de nudo.

${\displaystyle X(L)}$ es un nudo invariante ya que es invariante bajo cambios del diagrama de ${\displaystyle L}$ por los tres Movimientos de Reidemeister. La invariancia bajo movimientos de Reidemeister tipo II y III, se sigue de la invarianza del corchete bajo esos movimientos. El polinomio de corchete, se sabe que cambia por multiplicación por ${\displaystyle -A^{\pm 3}}$ en movimiento de Reidemeister tipo I. La definición del polinomio ${\displaystyle X}$ anterior, está diseñado para anular este cambio, pues la torcedura cambia adecuadamente por +1 o -1 ante movimientos tipo I.

Ahora haga la sustitución ${\displaystyle A=t^{-1/4}}$ en ${\displaystyle X(L)}$ para obtener el polinomio de Jones ${\displaystyle V(L)}$. Esto resulta en un polinomio de Laurent con coeficientes enteros en la variable ${\displaystyle t^{1/2}}$.

Definición por representación de trenza

La formulación original del polinomio de Jones, viene del estudio de álgebras de operador. En el enfoque de Jones, resultó de una especie de "seguimiento", de una representación particular de la trenza en un álgebra que originalmente surgió mientras estudiaba ciertos modelos, por ejemplo, el modelo de Potts, en mecánica estadística.

Sea dado un enlace L. Un teorema de Alexander afirma que es el cierre de traza de una trenza, digamos con n líneas. Ahora defina una representación ${\displaystyle \rho }$ del grupo de trenza en n filamentos, B_n, en el álgebra de Temperley–Lieb TL_n con coeficientes en ${\displaystyle \mathbb {Z} [A,A^{-1}]}$ y ${\displaystyle \delta =-A^{2}-A^{-2}}$. El generador estándar de trenza ${\displaystyle \sigma _{i}}$, es enviado a ${\displaystyle A\cdot e_{i}+A^{-1}\cdot 1}$, donde ${\displaystyle 1,e_{1},\dots ,e_{n-1}}$ son los generadores estándar del álgebra Temperley–Lieb. Se puede verificar fácilmente que define una representación.

Tome la trenza ${\displaystyle \sigma }$ obtenida anteriormente de L y calcule ${\displaystyle \delta ^{n-1}tr\rho (\sigma )}$, donde tr es la traza de Markov. Esto da ${\displaystyle \langle L\rangle }$, donde ${\displaystyle \langle }$ ${\displaystyle \rangle }$ es el polinomio de corchete. Esto puede verse considerando, como Kauffman, el álgebra de Temperley–Lieb como un álgebra de diagrama particular.

Una ventaja de este enfoque, es que uno puede escoger representaciones similares en otras álgebras, tales como las representaciones de matriz R, llevando a "invariantes de Jones generalizados".

Propiedades

El polinomio de Jones se caracteriza por el hecho de que toma el valor 1 en cualquier diagrama trivial y satisface la siguiente relación de madeja:

${\displaystyle (t^{1/2}-t^{-1/2})V(L_{0})=t^{-1}V(L_{+})-tV(L_{-})\,}$

donde ${\displaystyle L_{+}}$, ${\displaystyle L_{-}}$, y ${\displaystyle L_{0}}$ son tres diagramas de enlace orientado, que son idénticos, excepto en una pequeña región donde se diferencian por los cambios de cruce o suavizado, que se muestran en la figura siguiente:

La definición del polinomio de Jones por corchete, hace que sea sencillo demostrar que para un nudo ${\displaystyle K}$, el polinomio de Jones de su imagen especular, está dado por la sustitución de ${\displaystyle t^{-1}}$ para ${\displaystyle t}$ en ${\displaystyle V(K)}$. Así, un nudo aquiral —un nudo equivalente a su imagen especular—, tiene entradas palíndromas en su polinomio de Jones. Ver el artículo sobre la relación de madeja, para obtener un ejemplo de cálculo con estas relaciones.

Enlace con la teoría de Chern-Simons

Como fue mostrado por primera vez por Edward Witten, el polinomio de Jones de un nudo dado γ, puede obtenerse considerando la teoría de Chern-Simons en la esfera de tres, con indicador de grupo SU(2), y calcular el valor esperado del vacío de un lazo de Wilson W_F(γ), asociado a γ y a la representación fundamental F de SU(2).

Problemas abiertos

¿Existe algún nudo no trivial con polinomio de Jones igual para aquel no-nudo? Se sabe que existen enlaces no triviales con igual polinomio de Jones, respecto a los de no-enlace correspondiente, por el trabajo de Morwen Thistlethwaite.