Matemáticas - Polinomios

grado de un polinomio es el grado máximo de los exponentes de las variables de los monomios que lo componen. Grado tiene básicamente el mismo significado cuando se refiere a un polinomio o a una ecuación algebraica.

Grado de un polinomio

Dado un polinomio ${\displaystyle P}$ en una cierta variable ${\displaystyle x}$, su grado es el máximo de los exponentes de ${\displaystyle x}$ en los distintos monomios del polinomio. Se suele denotar como ${\displaystyle \mathrm {gr} [P(x)]}$, y se puede omitir la variable si no hay posibilidad de confusión. Ejemplo:

${\displaystyle P(x)=x^{5}+4x^{3}-x^{7}+x+6x^{2}-5\quad \Rightarrow \quad \mathrm {gr} (P)=7\quad [=\mathrm {gr} (-x^{7})]}$

"La misma definición se aplica en este caso pero solo cumpliendo las siguientes condiciones: el grado de un polinomio es el máximo de los grados de sus monomios.

Ejemplo: ${\displaystyle Q(x,y,z)=2x^{2}yz+4x^{3}y^{2}-z+7x+6y^{2}z^{4}-5\quad \Rightarrow \quad \mathrm {gr} (Q)=6\quad [=\mathrm {gr} (6y^{2}z^{4})]}$

Las definiciones anteriores no se aplican directamente a polinomios en los que no aparecen explícitamente la variable. Si un polinomio es simplemente una constante numérica su grado se define como 0 (o ${\displaystyle \scriptstyle -\infty }$ para el polinomio nulo):

${\displaystyle P(x)=a_{0}\in \mathbb {R} \Rightarrow \qquad {\begin{cases}a_{0}=0&{\mbox{gr}}(P)=-\infty \\a\neq 0&{\mbox{gr}}(P)=0\end{cases}}}$

Esta última definición se hace así para mantener la coherencia en las siguientes propiedades del grado:

${\displaystyle {\mbox{gr}}(P\cdot Q)={\mbox{gr}}(P)+{\mbox{gr}}(Q),\qquad {\mbox{gr}}(P\pm Q)\leq \max({\mbox{gr}}(P),{\mbox{gr}}(Q))}$

Grado absoluto y relativo

El grado absoluto y el grado relativo son operaciones matemáticas realizadas sobre un término de un polinomio. Cuando nos referimos a un término queremos decir que es un monomio.

Ambas devuelven un número natural.

Grado absoluto

Se obtiene con la suma de los exponentes de todas las variables.

Ejemplo, dado el término ${\displaystyle \scriptstyle 23\,a^{2}\,v^{3}\,c^{3}}$:

Grado absoluto es 3+3+2 = 8.

Grado relativo

Grado relativo es el valor del exponente relativo a cada variable.

Ejemplo, dado el término 7a²b⁴c⁷ :

Grado a: 2 ; Grado b: 4 ; Grado c: 7

por ejemplo tenemos estas dos opciones

Ecuaciones con una sola incógnita

Una ecuación algebraica con una incógnita es una igualdad entre dos miembros (los dos lados del signo "=") son polinomios. Por ejemplo: ${\displaystyle 2x^{3}+6x-4=1-x^{2}}$ es una ecuación algebraica de grado tres, que lleva la ${\displaystyle x}$ al Cubo. El grado de una ecuación es el mayor de todos los exponentes a los que está elevada la incógnita.

Ecuaciones con varias incógnitas

Cuando tenemos una ecuación algebraica con varias incógnitas, se estudia el grado de distinta manera. Un monomio es un producto de incógnitas, multiplicadas a su vez por números. Por ejemplo, ${\displaystyle xy}$ es un monomio, porque sería la multiplicación de las incógnitas ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$, y a su vez está multiplicado todo por 1 (que no se pone porque multiplicar por 1 es como no hacer nada). Otro ejemplo de monomio sería ${\displaystyle -{\frac {7}{3}}x^{3}y^{2}z^{6}}$. Aquí las incógnitas son ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$, ${\displaystyle z}$, se multiplican así: la ${\displaystyle x}$ se multiplica tres veces a sí misma (porque ${\displaystyle x^{3}=x\cdot x\cdot x}$), la ${\displaystyle y}$ se multiplica dos veces a sí misma, la ${\displaystyle z}$ se multiplica seis veces a sí misma, y los tres resultados se multiplican entre sí. Finalmente se multiplica todo por el número ${\displaystyle -{\frac {7}{3}}}$.

Para calcular el grado de una ecuación con varias incógnitas, antes hemos de calcular los grados de cada uno de los monomios que aparecen en la ecuación. El grado de un monomio se calcula sumando los exponentes de las incógnitas que aparecen en el monomio. Por ejemplo, el grado del monomio ${\displaystyle xy}$ es 2, porque es la suma del exponente de ${\displaystyle x}$ (que es 1, porque ${\displaystyle x=x^{1}}$) y del exponente de ${\displaystyle y}$ (que también es 1). El grado del monomio ${\displaystyle {\frac {7}{3}}x^{3}y^{2}z^{6}}$ es 11, que es la suma de los exponentes.///de ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$./// Nótese que el grado del monomio ${\displaystyle 5x^{2}}$ sería 2, o sea, sería el exponente de la incógnita, y que siempre podemos considerar que en un monomio aparecen todas las incógnitas que hay en la ecuación, con sólo considerar que están elevadas al exponente 0. Por ejemplo, en la ecuación ${\displaystyle xy-13y^{3}=4}$ los monomios son ${\displaystyle xy}$ (aparecen las dos incógnitas de la ecuación, y su grado es 2), ${\displaystyle -13y^{3}}$ (aparece sólo la incógnita ${\displaystyle y}$, pero podemos considerar que aparece también ${\displaystyle x}$ con exponente 0, puesto que ${\displaystyle x^{0}=1}$) y ${\displaystyle 4}$ (no aparecen ni ${\displaystyle x}$ ni ${\displaystyle y}$, pero podemos considerar que aparecen como ${\displaystyle x^{0}y^{0}}$). Así, podemos ver la ecuación como ${\displaystyle xy-13x^{0}y^{3}=4x^{0}y^{0}}$. Esto no cambia el grado de ninguno de los monomios. El monomio 4 tiene entonces grado 0.

Ahora estamos en condiciones de calcular el grado de una ecuación de varias incógnitas. Este es el mayor de los grados de todos los monomios que aparecen en la ecuación. Por ejemplo, en la ecuación ${\displaystyle xy-13y^{3}=4}$ el grado es 3, que el el grado más grande entre los grados de todos los monomios de la ecuación (que son 2, 3 y 0).

Es fácil ver que el grado de una ecuación con una incógnita no es otra cosa que un caso particular del grado de una ecuación con varias incógnitas.

Por ejemplo, consideremos el polinomio de
2º ⁴ 3ª planta + ⁶ b-4a + 5 
2º ⁴ tiene grado 4
+ 3 ° ⁶ b tiene un grado 7
-4A tiene grado 1
5 0 tiene un grado
polinomio El total tiene Grado 7:
de hecho, tomar el grado de monomios y elegir la más "alta
DEFINICIÓN: el grado de un polinomio y 'igual al grado de su monomio de grado más" alto

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ejemplo: 
¿Qué nivel de un ³ + 3 a ² b ² -4B ² ? 
El grado en general y '4 
de la letra ae' 3 
con respecto a la letra b y '2 
a la carta que' 0 (la letra c existe ')

Grado de un polinomio (una variable)

El grado de un polinomio con una sola variable (como x) es el exponente más grande de la variable.

Ejemplos:

	El grado es 1 (una variable sin exponente tiene de hecho exponente 1)
	El grado es 3 (el mayor exponente de x)
	El grado es 5 (el mayor exponente de x)
	El grado es 2 (el mayor exponente de z)

Grado de un polinomio (más de una variable)

Si hay más de una variable en el polinomio, tienes que mirar cada término (los términos se separan con signos + o -):

• Calcula el grado de cada término haciendo la suma de los exponentes de las variables que tenga,
• El mayor de esos grados es el grado del polinomio.

Ejemplo: cuál es el grado de este polinomio:

• 5xy² tiene grado 3 (x tiene exponente 1, y tiene 2, y 1+2=3)
• 3x tiene grado 1 (x tiene exponente 1)
• 5y³ tiene grado 3 (y tiene exponente 3)
• 3 tiene grado 0 (no hay variables)

El mayor es 3, así que el polinomio tiene grado 3

Nombres de los grados

¡Cuando conoces el grado también puedes darle un nombre!

0	constante
1	lineal
2	cuadrático
3	cúbico
4	cuártico
5	quíntico

Ejemplo: 5xy² - 3 tiene grado 2, así que es cuadrático

Cuando una expresión es una fracción

Puedes calcular el grado de una expresión racional (una que tenga la forma de una fracción) calculando el grado de arriba (numerador) y restando el grado de abajo (denominador).

Aquí tienes tres ejemplos:

Calculando otros tipos de expresiones

Aviso: ¡Ideas avanzadas en adelante!

A veces puedes calcular el grado de una expresión con una división...

• el logaritmo de la función entre
• el logaritmo de la variable

... para valores más y más grandes, para ver hacia donde "va" el grado.

(Más correctamente, deberías evaluar el límite a infinito de log(f(x))/log(x), pero quería mantener las cosas simples).

Aquí tienes un ejemplo:

Ejemplo: ¿Cuál es el grado de  (3 más la raíz cuadrada de x)?

Vamos a tomar valores de x más y más grandes:

x	log()	log(x)	log() /log(x)
2	1.48483	0.69315	2.1422
4	1.60944	1.38629	1.1610
10	1.81845	2.30259	0.7897
100	2.56495	4.60517	0.5570
1,000	3.54451	6.90776	0.5131
10,000	4.63473	9.21034	0.5032
100,000	5.76590	11.51293	0.5008
1,000,000	6.91075	13.81551	0.5002

Mirando la tabla:

• cuando x crece log() / log(x) se acerca más y más a 0.5

Así que el grado es 0.5 (o lo que es lo mismo 1/2)

(Nota: esto coincide bien con x^½ = raíz cuadrada de x, lee exponentes fraccionarios)

Algunos valores del grado

Expresión	Grado
log(x)	0
ex	∞
1/x	-1
	1/2

Polinomio irreducible

En teoría de Anillos, un polinomio ${\displaystyle p}$ no constante (y por lo tanto no nulo) con coeficientes en un dominio íntegro ${\displaystyle R}$ (es decir, ${\displaystyle p\in R[x]}$) es irreducible si no puede factorizarse como producto de polinomios de manera que todos ellos tengan grados menor que ${\displaystyle \deg(p)}$. Es decir, si ${\displaystyle p=r\cdot q}$ entonces ha de ser ${\displaystyle r\in R}$ o ${\displaystyle q\in R}$ (es decir, alguno de ellos ha de ser un polinomio constante).

Esto es un caso particular de elemento irreducible en un dominio íntegro.

El dominio íntegro R puede, entre otros, ser el conjunto ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} }$ de los números reales (que es dominio íntegro por ser cuerpo), el conjunto ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {C} }$ de los números complejos (también cuerpo), el conjunto ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {Q} }$ de los números racionales (cuerpo también) o el conjunto ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {Z} }$ de los números enteros (que no es cuerpo pero sí dominio íntegro).

Ejemplos

Los cinco polinomios siguientes demuestran algunas características elementales de los polinomios reducibles e irreducibles, dependiendo del dominio de integridad donde estén definidos:

${\displaystyle p_{1}(x)=x^{2}+4x+4\,=(x+2)(x+2)}$,

${\displaystyle p_{2}(x)=x^{2}-4\,=(x-2)(x+2)}$,

${\displaystyle p_{3}(x)=x^{2}-4/9\,=(x-2/3)(x+2/3)}$,

${\displaystyle p_{4}(x)=x^{2}-2\,=(x-{\sqrt {2}})(x+{\sqrt {2}})}$,

${\displaystyle p_{5}(x)=x^{2}+1\,=(x-i)(x+i)}$.

• Sobre el anillo ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {Z} }$ de números enteros, los primeros dos polinomios son reducibles, pero los tres últimos son irreducibles (el tercero no tiene coeficientes del número entero).
• Sobre el cuerpo ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {Q} }$ de números racionales, los primeros tres polinomios son reducibles, pero los otros dos son irreducibles.
• Sobre el cuerpo ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} }$ de números reales, los primeros cuatro polinomios son reducibles, pero el quinto sigue siendo irreducible.
• Sobre el cuerpo ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {C} }$ de números complejos, los cinco polinomios son reducibles. De hecho en ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {C} }$, cada polinomio no-constante se puede descomponer en factores lineales

${\displaystyle p(z)=a_{n}(z-z_{1})(z-z_{2})\cdots (z-z_{n})}$

donde ${\displaystyle a_{n}}$ es el coeficiente principal del polinomio y ${\displaystyle z_{1},\ldots ,z_{n}}$ son los ceros de ${\displaystyle p(x)}$. Por lo tanto, todos los polinomios irreducibles son de grado 1.

En el caso del cuerpo ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} }$, tampoco pueden ser reducibles aquellos polinomios de grado 2 con discriminante negativo, ya que a pesar de ser factorizado por polinomios de menor grado que éste, y mayor o igual a 0, no tienen sus coeficientes dentro del cuerpo de los reales. Éste es el teorema fundamental del álgebra.

Criterios de irreducibilidad

Para demostrar si un polinomio es irreducible se pueden aplicar varios criterios, entre los que se encuentran el criterio de Eisenstein, el criterio de reducción o el Lema de Gauss. Aparte, todos los polinomios primitivos son irreducibles, aunque el recíproco no es cierto. Un polinomio irreducible es polinomio primitivo si y solo si ${\displaystyle x^{{p^{m-1}} \over {ri}}\not \equiv 1{\pmod {f(x)}}}$ cuando p es primo y x es un elemento de orden ${\displaystyle p^{m}\in \mathbb {Z} _{p}[x]/f(x)}$.

Polinomios irreducibles de Z[x]

• Un polinomio ${\displaystyle \scriptstyle P(x)}$ es irreducible sobre ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {Z} [X]}$, si y sólo si ${\displaystyle \scriptstyle Q(x)=P(x+1)}$ también es irreducible.
• Trivialmente un polinomio de segundo grado, que no tenga a 1 o -1 como raíz, sólo puede ser reducible si su término independiente no es un número primo: ${\displaystyle \scriptstyle P(x)=(ax+b)(cx+d)=ax^{2}+(ad+bc)x+bd}$, si ${\displaystyle \scriptstyle \{b,d\}\cap \{{+1,-1}\}=\varnothing }$, entonces la reducibilidad implica que el término independiente tiene dos divisores no triviales y por tanto no puede ser primo.

Polinomios irreducibles de Q[x]

Lema de Gauss: Si un polinomio ${\displaystyle \scriptstyle P(x)}$ es irreducible sobre ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {Z} [X]}$, entonces también es irreducible considerado sobre ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {Q} [X]}$.¹

Polinomios irreducibles de R[x]

Los polinomios irreducibles sobre ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} [X]}$ son los monomios y los polinomios ${\displaystyle \scriptstyle x^{2}+bx+c}$ de grado 2, tales que su discriminante sea negativo, es decir:

${\displaystyle \Delta <0 elta="b^{2}-4c}</annotation" qquad="">$