Epónimos relacionados con las matemáticas

conjetura de Beal es una conjetura en teoría de números propuesta por Andrew Beal alrededor de 1993; una conjetura similar fue sugerida independientemente en esas fechas por Andrew Granville.

Mientras investigaba generalizaciones del último teorema de Fermat, Beal formuló la siguiente conjetura:

Si

${\displaystyle A^{x}+B^{y}=C^{z},}$

donde A, B, C, x, y, z son enteros positivos con x, y, z > 2 entonces A, B, y C deben tener un factor común primo.

Beal ofreció un premio de un millón de dólares por una demostración de esta conjetura o por un contraejemplo.

Ejemplos

Para ilustrar la solución, 3³ + 6³ = 3⁵ tiene sus bases con un factor común 3, y la solución 7⁶ + 7⁷ = 98³ tiene las bases con un factor común 7. De hecho, la ecuación tiene infinitas soluciones, incluyendo, por ejemplo

${\displaystyle \left[a\left(a^{n}+b^{n}\right)\right]^{n}+\left[b\left(a^{n}+b^{n}\right)\right]^{n}=\left(a^{n}+b^{n}\right)^{n+1}}$

para cualquier entero ${\displaystyle a\geq 1}$, ${\displaystyle b\geq 1}$, ${\displaystyle n\geq 3}$. Pero tal solución de la ecuación no es un contraejemplo de la conjetura, puesto que todas las bases tienen el factor ${\displaystyle a^{n}+b^{n}}$ en común.

Otros ejemplos de reglas de formación son los siguientes:

${\displaystyle 3^{3n}+[2(3^{n})]^{3}=3^{3n+2},\quad \quad n\geq 1;}$

${\displaystyle (a^{n}-1)^{kn}+(a^{n}-1)^{kn+1}=[a(a^{n}-1)^{k}]^{n},\quad \quad a\geq 2,\quad k\geq 1,\quad n\geq 3;}$

${\displaystyle [a(a^{kn}+b^{n})]^{kn}+[b(a^{kn}+b^{n})^{k}]^{n}=(a^{kn}+b^{n})^{kn+1},\quad \quad a\geq 1,\quad b\geq 1,\quad k\geq 1,\quad n\geq 3.}$

La condición de que los exponentes sean mayores que 2 se debe a que si uno de los exponentes es igual a 2 la conjetura es falsa. El contraejemplo 7³ + 13² = 2⁹ da muestra de ello.

Verificación numérica

Mediante búsqueda por ordenador, muy acelerada, mediante la ayuda de aritmética modular, esta conjetura ha sido verificada para todo valor de las seis variables hasta 1000.² Así, en un contraejemplo, al menos una de las variables debe de ser mayor que 1000.

La conjetura de Beal es una generalización del último teorema de Fermat, que corresponde al caso ${\displaystyle x=y=z}$. Si ${\displaystyle a^{x}+b^{x}=c^{x}}$ con ${\displaystyle x\geq 3}$; entonces, o las bases son coprimas o comparten un factor común. Si estas comparten un factor común, se puede sacar de cada una de ellas para obtener una ecuación más pequeña, con bases coprimas.

Dado que el último teorema de Fermat afirma que no existen soluciones enteras no nulas ${\displaystyle a^{x}+b^{y}=c^{z}}$ para ${\displaystyle x=y=z}$ donde x>2, entonces tampoco existirán soluciones en los enteros positivos, pudiendo afirmar que la conjetura de Beal es cierta en este caso particular.

La conjetura no es válida sobre un dominio más grande de enteros gaussianos. Después de que se ofreciera un precio de 50$ por un contraejemplo, Fred W. Helenius proporcionó el siguiente: (−2 + i)³ + (−2 − i)³ = (1 + i)⁴.

Es bien conocido el resultado, la frase del “margen demasiado estrecho” que Fermat dejó escrita en el Arithmetica de Diofanto y la historia de los intentos de resolución, hasta que en 1995 Andrew Wiles (con la ayuda de Richard Taylor) consiguió tan ansiada demostración.

Lo que quizás no es tan conocida es la historia de algunas conjeturas relacionadas con el UTF. Hoy vamos a hablar de una de ellas, denominada conjetura de Beal.

Imaginemos que en la expresión del UTF eliminamos la restricción de la igualdad del exponente en los tres términos. Es decir, dejamos libertad para los exponentes, pudiendo ser iguales o distintos, y en principio mayores que 1. Tendríamos una expresión así:

, con 

¿Habría soluciones? Evidentemente sí, de hecho habría infinitas. Por ejemplo, cualquier terna pitagórica, por ejemplo (3,4,5) para n=2. Pero bueno, esas eran esperables. ¿Hay más? Pues sí, por ejemplo

 y 

o

 y 

Las dos primeras tienen la característica de que las bases de las tres potencias tienen algún factor común, mientras que las otras dos no cumplen esa propiedad. Eliminemos las que tienen bases con factor común y quedémonos con las demás. Aparte de las dos que aparecen aquí, ¿hay alguna más? Pues sí, se conocen algunas más, pero parece que no muchas.

Todas estas soluciones del segundo tipo que se conocen tienen una característica común: alguno de los exponentes es 2. No se conocen soluciones en las que todos los exponentes sean enteros mayores que 2. Y de aquí sale la conjetura, de la creencia de que no hay soluciones sin ningún 2 en algún exponente. Más concretamente, éste es el enunciado de la misma:

Conjetura de Beal

Dados  enteros positivos con , si la expresión

es cierta, entonces  tienen algún factor primo común.

Esto es, la ecuación anterior no tiene soluciones enteras si las bases no tienen factores comunes y los exponentes son todos mayores que 2.

Este enunciado recibe el nombre de conjetura de Beal porque fue Andrew Beal quien la formuló en 1997. Andrew Beal es un banquero de Dallas de unos 60 años al que le gustaban las matemáticas, y que era un apasionado del trabajo de Fermat, en particular del UTF. El caso es que parece ser que el bueno de Andrew se entretenía pensando en este problema (de hecho cree que Fermat tenía esa solución maravillosa, además de un método de resolución de la ecuación de Pell que sigue siendo desconocido en la actualidad), y en generalizaciones del mismo, hecho que hizo que esta conjetura apareciera por su cabeza.

El primer lugar donde esta conjetura apareció publicada fue en Notices of the American Mathematical Society en diciembre de 1997. Tan interesado estaba el señor Beal por saber si esta conjetura era cierta o falsa que ofreció una recompensa económica a quien pudiera demostrar este enunciado o a quien encontrara un contraejemplo del mismo. Dicha recompensa es actualmente de 100000$, y todavía está esperando a alguien merecedor de la misma. Para cobrar el premio, se debe enviar la posible demostración o el supuesto contraejemplo al comité de la conjetura, formado por Charles Fefferman, Ron Graham y R. Daniel Mauldin. Además, la posible demostración debe haber aparecido en alguna publicación matemática de prestigio y debe ser aceptada por la comunidad matemática, y el posible contraejemplo debe hacer sido verificado.

La ley de Benford, también conocida como la ley del primer dígito, asegura que, en los números que existen en la vida real, la primera cifra es 1 con mucha más frecuencia que el resto de los números. Además, según crece este primer dígito, más improbable es que se encuentre en la primera posición. Esta ley se puede aplicar a hechos relacionados con el mundo natural o con elementos sociales:

• facturas
• artículos en revistas
• direcciones de calles
• precios de acciones
• número de habitantes
• tasas de mortalidad
• longitud de los ríos
• Física
• constantes matemáticas
• números primos¹

Historia

En 1881 el astrónomo y matemático Simon Newcomb observó que las primeras páginas de las tablas de logaritmos estaban manifiestamente más usadas que las finales, de lo que dedujo que aparentemente los dígitos iniciales de los números (al menos los utilizados en su trabajo por quienes habían consultado las tablas) no son equiprobables sino que el 1 aparece como dígito inicial más frecuente, seguido del 2, etc. hasta el 9 que es el menos frecuente. En lo sucesivo se considerará el primer dígito no nulo o significativo; p.e. el dígito inicial de 24,8 es 2 y el de 0,034 es 3. Mediante un breve e ingenioso razonamiento, aunque sin presentar realmente un argumento formal ni fórmula matemática, Newcomb enunció verbalmente una relación o ley logarítmica: “la ley de probabilidad de la ocurrencia de números es tal que las mantisas de sus logaritmos son equiprobables” de la que derivó probabilidades para el valor del primer dígito más significativo:

Dígito d	P(d)
1	0,301
2	0,176
3	0,125
4	0,097
5	0,079
6	0,067
7	0,058
8	0,051
9	0,046

Obsérvese que como primer dígito no se toma nunca el 0. El resultado más llamativo es el predominio del dígito 1 con una probabilidad del 30% mientras que la del 9 no alcanza el 5%, valores muy distintos al valor equiprobable de (100/9) % que cabría esperar. Es mucho más probable que el primer dígito sea impar (61%) que par (39%).

En 1938 y de manera independiente el físico Frank Benford observó el mismo fenómeno en las tablas de logaritmos y realizó una comprobación empírica sobre un total de 20.229 números agrupados en 20 muestras de gran diversidad: áreas fluviales, constantes y magnitudes físicas y químicas, funciones matemáticas e incluso números de direcciones de personas y tomados de portadas de revistas. A partir de los resultados empíricos Benford postuló una “ley de los números anómalos” para la probabilidad de que el primer dígito sea d. Esta ley logarítmica se conoce como “ley de Benford”

Formulación matemática

Más precisamente la ley de Benford establece que la primera cifra no nula n (n = 1,..., 9) ocurre con una probabilidad igual a ( log₁₀(n + 1) − log₁₀(n) ), o

Primera cifra	Probabilidad
1	30.1 %
2	17.6 %
3	12.5 %
4	9.7 %
5	7.9 %
6	6.7 %
7	5.8 %
8	5.1 %
9	4.6 %

Podemos formular una ley para las dos primeras cifras: la probabilidad de que las dos primeras cifras no nulas sean igual a n (n = 10,..., 99) es igual a ( log₁₀(n+1) − log₁₀(n) ).

De un modo similar se puede enunciar una ley para las tres primeras cifras, para las cuatro primeras cifras, etc.

Así mismo, existe una fórmula general que permite conocer la probabilidad de que un determinado número empiece, por ejemplo, con '325' ó '7234': P(325)=log(1+1/325), P(7234)=log(1+1/7234).-

Curiosamente, la anomalía de Newcomb-Benford también se cumple para un mínimo de 200 términos cualesquiera de la Serie de Fibonacci, sea la original (1,2,3,5,8...) o la obtenida a partir de dos enteros semilla elegidos al azar (3,7,10,17,27,44...).

Explicación

El hecho de que la primera cifra sea la cifra 1 con mayor frecuencia que las demás, puede ser entendido si tenemos en cuenta que comenzamos a contar desde 1 (1, 2, 3,...) hasta llegar al 9, momento en que cada cifra tiene la misma probabilidad. Pero de 10 a 19 sólo tenemos como primera cifra el 1, y sólo cuando llegamos al 99 todos las cifras tendrán la misma probabilidad de nuevo.

Los tipos de muestras que lo cumplen pueden venir de muy diferentes lugares. En general para datos ordinales que en algún momento se acaban (números de casas), la distribución ya es exponencial. Para el número de la última casa de la calle, la distribución también es exponencial así como para los valores de bolsa, y esto es sabido desde el concepto de exponencial. El asunto del primer número es tomar la distribución de la primera década (1-9), que será exponencial, y montar encima el de la primera década pero de un orden superior (10-90), y así consecutivamente. Total que siempre resultarán exponenciales.

Por supuesto, existen listas que no cumplen la dicha ley, pero parece ser que si se toman términos al azar de varias listas no-Benford en número suficiente para formar otra lista heterogénea, esta si tiende a cumplirla, dada una longitud suficiente.