Epónimos relacionados con las matemáticas

desigualdad de Boole estipula que para toda familia finita o numerable de sucesos, la probabilidad de que al menos uno de esos sucesos ocurra es menor o igual a la suma de las probabilidades de los sucesos individuales. De manera más formal,

Teorema: Para una familia finita o numerable de sucesos A1, A2, A3, ..., se cumple: ${\displaystyle \mathbb {P} \left(\bigcup _{n}A_{n}\right)\leq \sum _{n}\mathbb {P} \left(A_{n}\right).}$ Demostración Familia finita Primero se trata, por inducción, el caso de una familia finita ${\displaystyle (A_{1},\dots ,A_{m})}$ de sucesos. Se trata de probar que ${\displaystyle \mathbb {P} \left(A_{1}\cup \cdots \cup A_{m}\right)\leq \mathbb {P} (A_{1})+\cdots +\mathbb {P} (A_{m})}$. La desigualdad es cierta para ${\displaystyle m=1}$. Supuesta cierta para un ${\displaystyle m}$ dado, se considera una familia ${\displaystyle (A_{1},\dots ,A_{m+1})}$ de ${\displaystyle m+1}$ sucesos. Sea ${\displaystyle E=A_{1}\cup \cdots \cup A_{m}}$ : ${\displaystyle \mathbb {P} (E)\leq \mathbb {P} (A_{1})+\cdots +\mathbb {P} (A_{m})}$ (hipótesis de inducción). Entonces: ${\displaystyle \mathbb {P} (A_{1}\cup \cdots \cup A_{m+1})=\mathbb {P} (E\cup A_{m+1})=\mathbb {P} (E)+\mathbb {P} (A_{m+1})-\mathbb {P} (E\cap A_{m+1})}$, de donde: ${\displaystyle \mathbb {P} (A_{1}\cup \cdots \cup A_{m+1})\leq \mathbb {P} (E)+\mathbb {P} (A_{m+1})\leq \mathbb {P} (A_{1})+\cdots +\mathbb {P} (A_{m})+\mathbb {P} (A_{m+1})}$. Familia numerable Ahora se trata el caso de una familia numerable ${\displaystyle (A_{n})_{n\geq 1}}$ de sucesos. Para todo número natural ${\displaystyle n}$ (distinto de cero), sea ${\displaystyle E_{n}=A_{1}\cup \cdots \cup A_{n}}$; entonces ${\displaystyle \mathbb {P} (E_{n})\leq \sum _{k=1}^{n}\mathbb {P} (A_{k})}$. La desigualdad de Boole se comprueba por paso al límite sobre ${\displaystyle n}$; en efecto ${\displaystyle \bigcup _{n\geq 1}E_{n}=\bigcup _{n\geq 1}A_{n}}$ y para todo ${\displaystyle n}$, ${\displaystyle E_{n}\subset E_{n+1}}$, entonces ${\displaystyle \lim \mathbb {P} (E_{n})=\mathbb {P} \left(\bigcup _{n\geq 1}A_{n}\right)}$. Otro método Otro método que trata a la vez el caso finito y el caso numerable: sea ${\displaystyle \ A'_{1}=A_{1}}$ y para todo ${\displaystyle n\geq 2}$, ${\displaystyle A'_{n}=A_{n}\setminus (A_{1}\cup \cdots \cup A_{n-1})}$. Entonces ${\displaystyle \bigcup _{n}A_{n}=\bigcup _{n}A'_{n}}$, y los sucesos ${\displaystyle A'_{1},A'_{2},\dots }$ son incompatibles dos a dos; por otra parte, para todo ${\displaystyle n,A'_{n}\subset A_{n}}$, entonces ${\displaystyle \mathbb {P} (A'_{n})\leq \mathbb {P} (A_{n})}$ (${\displaystyle \mathbb {P} }$ es creciente). De todo esto, se deduce que ${\displaystyle \mathbb {P} \left(\bigcup _{n}A_{n}\right)=\mathbb {P} \left(\bigcup _{n}A'_{n}\right)=\sum _{n}\mathbb {P} (A'_{n})\leq \sum _{n}\mathbb {P} (A_{n})}$. Teoría de la medida En lenguaje de la teoría de la medida, la desigualdad de Boole se deriva del hecho de que una medida de probabilidad es σ-subaditiva, como es el caso de toda medida. Desigualdades de Bonferroni Las llamadas desigualdades de Bonferroni generalizan la desigualdad de Boole y proporcionan mayorantes y minorantes de la probabilidad de uniones finitas de sucesos. Sean: ${\displaystyle S_{1}:=\sum _{i=1}^{n}\mathbb {P} (A_{i}),}$ ${\displaystyle S_{2}:=\sum _{i$ y para 2 < k ≤ n, ${\displaystyle S_{k}:=\sum \mathbb {P} (A_{i_{1}}\cap \cdots \cap A_{i_{k}}),}$ donde la suma de realiza sobre todas las k-uplas estrictamente crecientes de enteros positivos comprendidos entre 1 y n. Entonces para todo entero positivo impar k tal que 1 ≤ k ≤ n ${\displaystyle \mathbb {P} \left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right)\leq \sum _{j=1}^{k}(-1)^{j+1}S_{j},}$ y para todo entero positivo par k tal que 2 ≤ k ≤ n ${\displaystyle \mathbb {P} \left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right)\geq \sum _{j=1}^{k}(-1)^{j+1}S_{j}.}$ La desigualdad de Boole se da para k = 1.  desigualdad de Chebyshov (también escrito como Chebychev) es un resultado que ofrece una cota inferior a la probabilidad de que el valor de una variable aleatoria con varianza finita esté a una cierta distancia de su esperanza matemática. La desigualdad recibe su nombre del matemático ruso Pafnuti Chebyshov. En la literatura, a este tipo de desigualdades, cuya característica es la comparación de la probabilidad de la cola de la distribución y su valor esperado, se le conoce como desigualdades tipo Chebyshov. Estas desigualdades son la herramienta básica para demostrar resultados como la ley de los grandes números, entre otros. Además de que tienen aplicaciones en estadística, así como en otras áreas de las matemáticas. Historia El teorema se llama así por el matemático ruso Pafnuty Chebyshev, a pesar de que fue formulada por primera vez por su amigo y colega Irénée-Jules Bienaymé.1 :98 El teorema fue enunciado primero sin pruebas por Bienaymé en 18532 y posteriormente probado por Chebyshev en 1867.3 Su estudiante Andrey Markov proporcionó otra prueba más en 1884 en su tesis doctoral.4 Formulación Sea ${\displaystyle X}$ una variable aleatoria no negativa y una función ${\displaystyle f:\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} _{+}}$ creciente tal que ${\displaystyle \mathbb {E} \left[f\left(X\right)\right]<+\infty }$. Entonces ${\displaystyle \forall a\in \mathbb {R} }$ se da la desigualdad siguiente: ${\displaystyle f\left(a\right)\cdot \mathbb {P} \left(X\geq a\right)\leq \mathbb {E} \left[f\left(X\right)\right]}$ Casos particulares de la desigualdad Algunas formulaciones menos generales que se desprenden de la primera son las siguientes: Sea ${\displaystyle X}$ variable aleatoria con momento de orden ${\displaystyle k}$ finito, entonces ${\displaystyle \mathbb {P} \left(X\geq a\right)\leq {\frac {\mathbb {E} \left[\left|X\right|^{k}\right]}{a^{k}}}}$ siendo ${\displaystyle a>0}$ y ${\displaystyle f\left(X\right)=\left|X\right|^{k}}$ . Sea ${\displaystyle X}$ con momento centrado de orden ${\displaystyle 2}$ finito, entonces ${\displaystyle \mathbb {P} \left(\left|X-\mathbb {E} \left(X\right)\right|\geq a\right)\leq {\frac {\mathrm {var} \left(X\right)}{a^{2}}}}$ siendo ${\displaystyle Y=\left|X-\mathbb {E} \left(X\right)\right|}$, ${\displaystyle f\left(Y\right)=Y^{2}}$, y ${\displaystyle \mathbb {E} \left(Y^{2}\right)=E\left(\left|X-\mathbb {E} \left(X\right)\right|^{2}\right)=\mathrm {var} (X)}$ . Sea ${\displaystyle X}$ variable aleatoria de media ${\displaystyle \mu }$ y varianza finita ${\displaystyle \sigma ^{2}}$, entonces, para todo número real ${\displaystyle a>0}$, ${\displaystyle \mathbb {P} (\left|X-\mu \right|>a\sigma )\leq {\frac {1}{a^{2}}}.}$ Sólo en caso de que ${\displaystyle a>1}$ la desigualdad proporcionan una cota no trivial. Ejemplos Para ilustrar este resultado, supongamos que los artículos de Wikipedia tienen una extensión media de 1000 caracteres y una desviación típica de 200 caracteres. De la desigualdad de Chebyshov, usando k = 2, se deduce que al menos el 75% de los artículos tendrán una extensión comprendida entre 600 y 1400 caracteres. Otra consecuencia del teorema es que para cada distribución de media μ y desviación típica finita σ, al menos la mitad de sus valores se concentrarán en el intervalo (μ-√2 σ, μ+√2 σ). Demostración En primer lugar considérense una desigualdad y una igualdad: ${\displaystyle f\left(a\right)\cdot 1_{\left\lbrace X\geq a\right\rbrace }\leq f\left(X\right)}$ ${\displaystyle f\left(a\right)\cdot 1_{\left\lbrace X\geq a\right\rbrace }=\left\lbrace {\begin{array}{cl}f\left(a\right)&{\text{si}}\,\,X\geq a\\0&{\text{si}}\,\,X$ Nótese que ${\displaystyle \mathbb {E} \left(f\left(a\right)\cdot 1_{\left\lbrace X\geq a\right\rbrace }\right)=f\left(a\right)\cdot \mathbb {P} \left(X\geq a\right)}$ Si ahora se aplica la función esperanza a los dos lados de la primera desigualdad que se han establecido se habrá demostrado el resultado. Demostración del tercer caso particular Para demostrar la desigualdad se parte de la variable aleatoria auxiliar ${\displaystyle Y}$ definida así: ${\displaystyle Y=\left\{{\begin{array}{ll}0&\mathrm {si\ } |X-\mu |\leq a\sigma \\1&\mathrm {si\ } |X-\mu |>a\sigma \\\end{array}}\right.}$ Entonces, trivialmente, ${\displaystyle a\sigma Y\leq \left|X-\mu \right|}$ y por lo tanto, ${\displaystyle a^{2}\sigma ^{2}Y^{2}\leq \left(X-\mu \right)^{2}.}$ Tomando esperanzas en ambos miembros se obtiene ${\displaystyle a^{2}\sigma ^{2}\mathbb {E} \left[Y^{2}\right]\leq \mathbb {E} [\left(X-\mu \right)^{2}]=\sigma ^{2},}$ por lo que ${\displaystyle \mathbb {E} \left[Y^{2}\right]\leq {\frac {1}{a^{2}}}.}$ Pero, a su vez, dado que ${\displaystyle Y}$ sólo puede ser 0 ó 1, ${\displaystyle \mathbb {E} \left[Y^{2}\right]=\mathbb {P} (Y=1)=\mathbb {P} (\left|X-\mu \right|>a\sigma ),}$ lo que prueba el resultado.