Epónimos relacionados con las matemáticas

 constante de Copeland-Erdős es una constante formada por la concatenación de "0," y la sucesión ordenada de los números primos en base 10. Su valor es aproximadamente

0,235711131719232931374143… (sucesión A33308 en OEIS).

Esta constante es irracional. Por el Teorema de Dirichlet sobre primos en progresiones aritméticas, para cada m existen números primos de la forma

${\displaystyle k10^{m+1}+1.}$

De esto se deduce que existen números primos cuya expresión decimal contiene al menos m ceros seguidos de un uno. Por tanto, la expresión decimal de la constante de Copeland-Erdős contiene secuencias arbitrariamente largas de ceros seguidos de un uno, y por tanto no puede terminar nunca y tampoco puede ser periódica. La conclusión es que la constante es irracional (Hardy y Wright, pág. 113).

Por un argumento similar, cualquier constante creada por la concatenación de "0," y todos los primos de una progresión aritmética ${\displaystyle d\cdot n+a}$, donde a es coprimo con d y 10, es irracional. Por ejemplo, la concatenación de los números primos de la forma ${\displaystyle 4n+1}$ o ${\displaystyle 8n-1}$. Por el teorema de Dirichlet, la progresión aritmética ${\displaystyle d\cdot n\cdot 10^{m}+a}$ contiene primos para todo m, y esos primos también están en ${\displaystyle d\cdot n+a}$, así que la concatenación de primos contiene secuencias arbitrariamente largas de ceros.

En base 10 la constante es un número normal, un hecho demostrado por Arthur Herbert Copeland y Paul Erdős en 1946 (de ahí el nombre de la constante).

La constante viene dada por esta fórmula:

${\displaystyle \displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }p(n)10^{-\left(n+\sum _{k=1}^{n}\lfloor \log _{10}{p(k)}\rfloor \right)}}$

donde p(n) es el n-ésimo número primo.

Su expresión en fracción continua es [0; 4, 4, 8, 16, 18, 5, 1, …] (A30168).

Constante Erdős–Borwein es la suma del recíproco de los números de Mersenne. Se le llamó así en referencia a Paul Erdős y Peter Borwein.

Se define como:

${\displaystyle E=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}-1}}\approx 1,606695152415291763\dots }$

Se puede demostrar que las siguientes formas son equivalentes a la anterior:

${\displaystyle E=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n^{2}}}}{\frac {2^{n}+1}{2^{n}-1}}}$

${\displaystyle E=\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{mn}}}}$

${\displaystyle E=1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}(2^{n}-1)}}}$

${\displaystyle E=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma _{0}(n)}{2^{n}}}}$

Donde σ₀(n) = d(n) es la función divisor, una función multiplicativa que equivale al número de divisores positivos del número n. Para probar la equivalencia de estas sumas, note que todas toman la forma de la Serie de Lambert y puede ser resumida como tal.

Erdős probó en 1948 que la constante E es un número irracional.

constante de Euler-Mascheroni (también conocida como constante de Euler) es una constante matemática que aparece principalmente en teoría de números, y se denota con la letra griega minúscula γ (Gamma).

Se define como el límite de la diferencia entre la serie armónica y el logaritmo natural:

${\displaystyle \gamma =\lim _{n\rightarrow \infty }\left[\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}-\ln(n)\right]=\int _{1}^{\infty }\left({1 \over \lfloor x\rfloor }-{1 \over x}\right)\,dx}$

Su valor aproximado es:

${\displaystyle \gamma \approx 0,577\;215\;664\;901\;532\;860\;606\;\ldots }$

No debe confundirse con el número e, también llamado número de Euler.

Historia

La constante apareció por primera vez en 1734, en un artículo escrito por el matemático suizo Leonhard Euler, llamado De Progressionibus harmonicis observationes, calculando los 6 primeros dígitos para la constante y llamándola C. En 1781 calcularía otros 10 decimales más. En 1790, Lorenzo Mascheroni calcularía los primeros 19 decimales y la denotaría como A. Ya más tarde se denotaría de la forma moderna como γ, debido a su conexión con la función gamma.¹

Propiedades

El número γ no se ha probado que sea algebraico o transcendente, de hecho, ni siquiera se conoce si γ es irracional o no.² El análisis de fracciones continuas revela, que de ser racional, su denominador debe ser muy elevado (actualmente del orden de 10²⁴²⁰⁸⁰).³ Debido a que está presente en un gran número de ecuaciones y relaciones, la racionalidad o irracionalidad de γ está entre los problemas abiertos más importantes de matemáticas.

A continuación se exponen las más importantes relaciones de γ con funciones, series e integrales.

Representación original (Euler)

Descubierta en 1734 por Euler, representándola como una serie infinita de la siguiente forma:

${\displaystyle \gamma =\sum _{k=1}^{\infty }\left[{\frac {1}{k}}-\ln \left(1+{\frac {1}{k}}\right)\right]}$

Relación con la función Gamma

Si tomamos la función gamma, la derivamos y evaluamos en 1, obtenemos -γ. Lo mismo pasa si evaluamos la función digamma en 1, o sea:

${\displaystyle -\gamma ={\Gamma }'(1)=\Psi (1)\,\!}$

también como el límite:

${\displaystyle \gamma =\lim _{n\to \infty }\left[n-\Gamma \left({\frac {1}{n}}\right)\right]}$

El límite relacionado con la función beta (expresada en términos de función gamma) es:

${\displaystyle -\gamma =\lim _{n\to \infty }\left[{\frac {\Gamma ({\frac {1}{n}})\Gamma (n+1)\,n^{1+{1 \over n}}}{\Gamma (2+n+{\frac {1}{n}})}}-{\frac {n^{2}}{n+1}}\right]}$

y como función beta:

${\displaystyle -\gamma =\lim _{n\to \infty }\left[n^{2+{1 \over n}}\,\mathrm {B} \left(1+{\frac {1}{n}},\,n+1\right)-{\frac {n^{2}}{n+1}}\right]}$

Relación con la función Zeta de Riemann

γ se puede expresar como suma infinita, cuyos términos invocan la función zeta de Riemann para números positivos de la siguiente forma:

${\displaystyle \gamma =\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}\zeta (k)}{k}}=\log \left({\frac {4}{\pi }}\right)+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}\zeta (k+1)}{2^{k}(k+1)}}}$

Otras series relacionadas con la función zeta son:

${\displaystyle \gamma ={\frac {3}{2}}-\log 2-\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}\,{\frac {k-1}{k}}[\zeta (k)-1]=\lim _{n\to \infty }\left[{\frac {2\,n-1}{2\,n}}-\log \,n+\sum _{k=2}^{n}\left({\frac {1}{k}}-{\frac {\zeta (1-k)}{n^{k}}}\right)\right]=\lim _{n\to \infty }\left[{\frac {2^{n}}{e^{2^{n}}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {2^{k\,n}}{(k+1)!}}\sum _{t=0}^{k}{\frac {1}{t+1}}-n\,\log 2+{\mathcal {O}}\left({\frac {1}{2^{n}\,e^{2^{n}}}}\right)\right]}$

El término error de la última serie decrece exponencialmente en función de n. Como resultado, la fórmula resulta muy eficiente para calcular grandes cantidades de dígitos de la constante con gran precisión.

Otro interesante límite relacionado con la constante de Euler-Mascheroni y la función zeta es el límite antisimétrico (Sondow, 1998)

${\displaystyle \gamma =\lim _{s\to 1^{+}}\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n^{s}}}-{\frac {1}{s^{n}}}\right)=\lim _{s\to 1}\left(\zeta (s)-{\frac {1}{s-1}}\right)}$

Representación con integrales

γ es igual al valor de un número determinado de integrales definidas:

${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=-\int _{0}^{\infty }{e^{-x}\log x}\,dx\\{}&=-\int _{0}^{1}{\log \log \left({\frac {1}{x}}\right)}\,dx\\{}&=\int _{0}^{\infty }{\left({\frac {1}{1-e^{-x}}}-{\frac {1}{x}}\right)e^{-x}}\,dx\\{}&=\int _{0}^{\infty }{{\frac {1}{x}}\left({\frac {1}{1+x}}-e^{-x}\right)}\,dx\\\end{aligned}}}$

Entre las integrales definidas en las cuales aparece γ se incluyen:

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{e^{-x^{2}}\log x}\,dx=-{\tfrac {1}{4}}(\gamma +2\log 2){\sqrt {\pi }}}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{e^{-x}\log ^{2}x}\,dx=\gamma ^{2}+{\frac {\pi ^{2}}{6}}}$

Una expresión en la cual se expresa γ como una integral doble (Sondow 2003, 2005), con su serie equivalente es:

${\displaystyle \gamma =\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {x-1}{(1-x\,y)\log(x\,y)}}\,dx\,dy=\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n}}-\log {\frac {n+1}{n}}\right)}$

Representación con series

Aparte de la serie original de Euler (mostrada arriba), se conocen otras series entre las que se incluyen:

${\displaystyle \gamma =1-\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\lfloor \log _{2}k\rfloor }{k+1}}}$

encontrada por Nielsen en 1897. En 1912 Vacca encontró la siguiente serie relacionada con γ.

${\displaystyle \gamma =\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\left\lfloor \log _{2}k\right\rfloor }{k}}={\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {1}{3}}+2\left({\tfrac {1}{4}}-{\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {1}{6}}-{\tfrac {1}{7}}\right)+3\left({\tfrac {1}{8}}-\dots -{\tfrac {1}{15}}\right)+\dots }$

donde log₂ es el logaritmo en base 2 y ${\displaystyle \left\lfloor \,\right\rfloor }$ la función parte entera.

En 1926, Vacca encontró otra serie similar a la anterior:

${\displaystyle \gamma +\zeta (2)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k\lfloor {\sqrt {k}}\rfloor ^{2}}}=1+{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{4}}\left({\tfrac {1}{4}}+\dots +{\tfrac {1}{8}}\right)+{\tfrac {1}{9}}\left({\tfrac {1}{9}}+\dots +{\tfrac {1}{15}}\right)+\dots }$

o escrito como

${\displaystyle \gamma =\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {k-\lfloor {\sqrt {k}}\rfloor ^{2}}{k^{2}\lfloor {\sqrt {k}}\rfloor ^{2}}}={\tfrac {1}{2^{2}}}+{\tfrac {2}{3^{2}}}+{\tfrac {1}{2^{2}}}\left({\tfrac {1}{5^{2}}}+{\tfrac {2}{6^{2}}}+{\tfrac {3}{7^{2}}}+{\tfrac {4}{8^{2}}}\right)+{\tfrac {1}{3^{2}}}\left({\tfrac {1}{10^{2}}}+\dots +{\tfrac {6}{15^{2}}}\right)+\dots }$ (Krämer, 2005)

Estas dos últimas series pueden ser obtenidas mediante la manipulación de la Integral de Catalán (ver Sondow y Zudilin)

${\displaystyle \gamma =\int _{0}^{1}{\frac {1}{1+x}}\sum _{n=1}^{\infty }x^{2^{n}-1}\,dx}$

Representación en forma de fracción continua

La representación en forma de fracción continua es:

${\displaystyle \gamma =0+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{\ \ddots \ {}}}}}}}}}}}}$

más concretamente

${\displaystyle \gamma =[0;1,1,2,1,2,1,4,3,13,5,1,1,8,1,2,4,1,1,40,...]\,}$ (sucesión A002852 en OEIS).

Desarrollos asintóticos

${\displaystyle \gamma }$ es igual a las siguientes fórmulas asintóticas (donde H_n es el n-ésimo número armónico)

${\displaystyle \gamma \sim H_{n}-\log \left(n\right)-{\frac {1}{2n}}+{\frac {1}{12n^{2}}}-{\frac {1}{120n^{4}}}+...}$

(Euler)

${\displaystyle \gamma \sim H_{n}-\log \left({n+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{24n}}-{\frac {1}{48n^{3}}}+...}\right)}$

(Negoi)

${\displaystyle \gamma \sim H_{n}-{\frac {\log \left(n\right)+\log \left({n+1}\right)}{2}}-{\frac {1}{6n\left({n+1}\right)}}+{\frac {1}{30n^{2}\left({n+1}\right)^{2}}}-...}$

(Cesàro)

La última fórmula también es llamada Expansión de Ramanujan.

e^γ

La constante e^γ es importante en teoría de números. Algunos autores la denotan simplemente como γ'. e^γ es igual al siguiente límite, donde p_n es el n-ésimo número primo:

${\displaystyle e^{\gamma }=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{\log p_{n}}}\prod _{i=1}^{n}{\frac {p_{i}}{p_{i}-1}}}$

También se puede expresar como un producto infinito, usando funciones hipergeométricas como sigue:

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{\gamma }&=\prod _{n=1}^{\infty }\left(\prod _{k=0}^{n}(k+1)^{(-1)^{k+1}{n \choose k}}\right)^{1 \over {n+1}}\\{}&=\left({\frac {2}{1}}\right)^{1/2}\left({\frac {2^{2}}{1\cdot 3}}\right)^{1/3}\left({\frac {2^{3}\cdot 4}{1\cdot 3^{3}}}\right)^{1/4}\left({\frac {2^{4}\cdot 4^{4}}{1\cdot 3^{6}\cdot 5}}\right)^{1/5}\cdots \end{aligned}}}$

Su valor numérico aproximado es

${\displaystyle e^{\gamma }=1.781\ 072\ 417\ 990\ 197\ 985\ 236\ldots }$ (sucesión A073004 en OEIS)

Generalizaciones

Las constantes generalizadas de Euler están dadas por

${\displaystyle \gamma _{\alpha }=\lim _{n\to \infty }\left[\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{\alpha }}}-\int _{1}^{n}{\frac {1}{x^{\alpha }}}\,dx\right]}$

para 0 < α < 1, con γ como caso especial cuando α = 1.⁴ Esto puede ser más generalizado por

${\displaystyle c_{f}=\lim _{n\to \infty }\left[\sum _{k=1}^{n}f(k)-\int _{1}^{n}f(x)\,dx\right]}$

para una determinada función f decreciente, por ejemplo

${\displaystyle f_{n}(x)={\frac {\log ^{n}x}{x}}}$

dando lugar a las constantes de Stieltjes, y

${\displaystyle f_{a}(x)=x^{-a}\,\!}$

dadas por

${\displaystyle \gamma _{f_{a}}={\frac {(a-1)\zeta (a)-1}{a-1}}}$

donde de nuevo el límite

${\displaystyle \gamma =\lim _{a\to 1}\left[\zeta (a)-{\frac {1}{a-1}}\right]}$

aparece.