LISTAS RELACIONADAS CON LAS MATEMÁTICAS - ÁLGEBRA ABSTRACTAS

homomorfismo de anillo es una función entre dos anillosque respeta la estructura.

Más explícitamente, si R y S son anillos, entonces un homomorfismo de anillo es una función f  : R → S tal que f es ^{[1] [2] [3] [4] [5] [6]}

además de preservar

$${\ displaystyle f (a + b) = f (a) + f (b)} para todos una y b en R

multiplicación preservando

$${\ displaystyle f (ab) = f (a) f (b)} para todos una y b en R

unidad (identidad multiplicativa) preservando

$${\ displaystyle f (1_ {R}) = 1_ {S}}.

(Los inversos aditivos y la identidad aditiva también forman parte de la estructura, pero no es necesario exigir explícitamente que también se respeten, ya que estas condiciones son consecuencia de las tres condiciones anteriores. Por otro lado, descuidar incluir la condición f (1 _R ) = 1 _S causaría que varias de las propiedades a continuación falle.)

Si R y S son rngs (también conocidos como pseudo-anillos , o anillos no unitales ), entonces la noción natural ^[7]es la de un homomorfismo rng , definido como anteriormente, excepto sin la tercera condición f (1 _R ) = 1 _S . Es posible tener un homomorfismo entre anillos (unital) que no sea un homomorfismo de anillo.

La composición de dos homomorfismos de anillo es un homomorfismo de anillo. Se deduce que la clase de todos los anillos forma una categoría con homomorfismos de anillo como los morfismos (véase la categoría de anillos ). En particular, se obtienen las nociones de endomorfismo de anillo, isomorfismo de anillo y automorfismo de anillo.

Propiedades [ editar ]

Sea f  : R → S un homomorfismo de anillo. Entonces, directamente de estas definiciones, se puede deducir:

• f (0 _R ) = 0 _S .
• f (- un ) = - f ( a ) para todo un en R .
• Para cualquier elemento unitario a en R , f ( a ) es un elemento unitario tal que f ( a ⁻¹ ) = f ( a ) ⁻¹ . En particular, f induce un homomorfismo de grupo del grupo (multiplicativo) de unidades de R al grupo (multiplicativo) de unidades de S (o de im ( f )).
• La imagen de f , denotada im ( f ), es un subanillo de S .
• El kernel de f , definida como ker ( f ) = { a en R  : f ( un ) = 0 _S } , es un ideales en R . Cada ideal en un anillo R surge de un homomorfismo de anillo de esta manera.
• El homomorfismo f es inyectivo si y solo si ker ( f ) = {0 _R } .
• Si f es biyectivo , entonces su inverso f ⁻¹ es también un homomorfismo de anillo. En este caso, f se llama isomorfismo , y los anillos R y S se llaman isomorfos . Desde el punto de vista de la teoría de los anillos, los anillos isomorfos no se pueden distinguir.
• Si existe un anillo homomorfismo f  : R → S entonces la característica de S divide la característica de R . Esto puede usarse a veces para mostrar que entre ciertos anillos R y S , no puede haber homomorfismos de anillo R → S.
• Si R _p es el subring más pequeño contenido en R y S _p es el subring más pequeño contenido en S , entonces cada homomorfismo de anillo f  : R → S induce un homomorfismo de anillo f _p  : R _p → S _p .
• Si R es un campo (o más generalmente un campo de sesgo ) y S no es el anillo cero , entonces f es inyectivo.
• Si tanto R y S son campos , a continuación, im ( f ) es un subcampo de S , por lo que S puede ser visto como una extensión de campo de R .
• Si R y S son conmutativas y P es un ideal primo de S entonces f ^-1 ( P ) es un ideal primo de R .
• Si R y S son conmutativas y S es un dominio de integridad , entonces ker ( f ) es un ideal primo de R .
• Si R y S son conmutativas, S es un campo, y f es sobreyectiva, entonces ker ( f ) es un ideal maximal de R .
• Si f es sobreyectiva, P es primo (máxima) ideales en R y ker ( f ) ⊆ P , entonces f ( P ) es primo (máxima) ideal en el S .

Además,

• La composición de los homomorfismos en anillo es un homomorfismo en anillo.
• El mapa de identidad es un homomorfismo de anillo (pero no el mapa de cero).
• Por lo tanto, la clase de todos los anillos junto con los homomorfismos de anillo forma una categoría, la categoría de anillos .
• Por cada anillo R , hay un único anillo homomorfismo Z → R . Esto dice que el anillo de enteros es un objeto inicial en la categoría de anillos.
• Para cada anillo R , hay un anillo único homomorfismo R → 0 , donde 0 denota el anillo cero (el anillo cuyo único elemento es cero). Esto dice que el anillo cero es un objeto terminal en la categoría de anillos.

Ejemplos [ editar ]

• La función f  : Z → Z _n , definida por f ( un ) = [ a ] _n = un mod n es un sobreyectiva homomorfismo de anillos con kernel n Z (véase la aritmética modular ).
• La función f  : Z ₆ → Z ₆ definida por f ([ a ] ₆ ) = [ 4a ] ₆ es un homomorfismo rng (y un endomorfismo rng), con el núcleo 3 Z ₆ y la imagen 2 Z ₆ (que es isomorfo a Z ₃ ).
• No hay anillo homomorfismo Z _n → Z para n ≥ 1 .
• La compleja conjugación C → C es un homomorfismo de anillo (de hecho, un ejemplo de un automorfismo de anillo).
• Si R y S son anillos, la función cero de R a S es un homomorfismo de anillo si y solo si S es el anillo cero . (De lo contrario, falla al asignar 1 _R a 1 _S ). Por otro lado, la función cero siempre es un homomorfismo rng.
• Si R [ X ] denota el anillo de todos los polinomios en la variable X con coeficientes en los números reales R , y C denota los números complejos , entonces la función f  : R [ X ] → C definida por f ( p ) = p ( i ) (sustituye la unidad imaginaria i por la variable X en el polinomio p ) es un homomorfismo de anillo suprayectivo. El núcleo de fconsiste en todos los polinomios en R [ X ] que son divisibles por X ² + 1 .
• Si f  : R → S es un homomorfismo de anillo entre los anillos R y S , entonces f induce un homomorfismo de anillo entre los anillos de matriz M _n ( R ) → M _n ( S ) .
• Un homomorfismo de álgebra unital entre álgebras asociativas unitales sobre un anillo conmutativo R es un homomorfismo de anillo que también es R- lineal .

La categoría de anillos [ editar ]

Artículo principal: Categoría de anillos.

Endomorfismos, isomorfismos y automorfismos [ editar ]

• Un endomorfismo de anillo es un homomorfismo de anillo de un anillo a sí mismo.
• Un isomorfismo de anillo es un homomorfismo de anillo que tiene un inverso de 2 lados que también es un homomorfismo de anillo. Uno puede probar que un homomorfismo de anillo es un isomorfismo si y solo si es biyectivo como una función en los conjuntos subyacentes. Si existe un isomorfismo de anillo entre dos anillos R y S , entonces R y S se denominan isomorfos . Los anillos isomorfos se diferencian solo por un reetiquetado de elementos. Ejemplo: Hasta el isomorfismo, hay cuatro anillos de orden 4. (Esto significa que hay cuatro anillos no isomorfos por pares de orden 4, de manera que cada otro anillo de orden 4 es isomorfo para uno de ellos). Por otro lado, Hasta el isomorfismo, hay once reglas de orden 4.
• Un automorfismo de anillo es un isomorfismo de anillo de un anillo a sí mismo.

Monomorfismos y epimorfismos [ editar ]

Homomorfismos de anillo inyectivos son idénticos a monomorfismos en la categoría de los anillos: Si f  : R → Ses un monomorphism que no se inyectiva, a continuación, envía algunos r ₁ y r ₂ al mismo elemento de S . Considere los dos mapas g ₁ y g ₂ de Z [ x ] a R que mapean x a r ₁ y r ₂ , respectivamente; f ∘ g ₁ y f∘ g ₂ son idénticos, pero dado que f es un monomorfismo, esto es imposible.

Sin embargo, los homomorfismos de anillo suryectivo son muy diferentes de los epimorfismos en la categoría de anillos. Por ejemplo, la inclusión Z ⊆ Q es un epimorfismo de anillo, pero no una proyección. Sin embargo, son exactamente iguales a los fuertes epimorfismos .

 teorema de Skolem-Noether caracteriza los automorfismos de los anillos simples . Es un resultado fundamental en la teoría de álgebras simples centrales .

El teorema fue publicado por primera vez por Thoralf Skolem en 1927 en su artículo Zur Theorie der assoziativen Zahlensysteme ( alemán : Sobre la teoría de los sistemas de números asociativos ) y luego redescubierto por Emmy Noether .

Declaración [ editar ]

En una formulación general, dejar que A y B ser anillos unitarios simples, y dejar que k sea el centro de B . Tenga en cuenta que k es un campo dado que dado que x es distinto de cero en k , la simplicidad de B implica que el ideal de dos lados no cero BxB = (x) es la totalidad de B y, por lo tanto, que x es una unidad . Si la dimensión de B sobre k es finita, es decir, si B es un álgebra simple central de dimensión finita, yA también es un k- álgebra, luego se le da k -algebra homomorfismos

f , g  : A → B ,

existe una unidad b en B tal que para a en A ^[1] [2]

g ( a ) = b · f ( a ) · b ⁻¹ .

En particular, cada automorfismo de un simple c -algebra k central es un automorfismo interno . ^[3] [4]

Prueba [ editar ]

Primer supuesto $${\ displaystyle B = \ operatorname {M} _ {n} (k) = \ operatorname {End} _ {k} (k ^ {n})}. Entonces f y g definen las acciones de A en$${\ displaystyle k ^ {n}}; dejar$${\ displaystyle V_ {f}, V_ {g}}denotar los módulos A así obtenidos. Cualquiera de los dos módulos A simples son isomorfos y$${\ displaystyle V_ {f}, V_ {g}}son sumas directas finitas de módulos A simples. Como tienen la misma dimensión, se deduce que hay un isomorfismo de los módulos A$${\ displaystyle b: V_ {g} \ a V_ {f}}. Pero tal b debe ser un elemento de$${\ displaystyle \ operatorname {M} _ {n} (k) = B}. Para el caso general, tenga en cuenta que$${\ displaystyle B \ otimes _ {k} B ^ {\ text {op}}} es un álgebra matricial y eso $${\ displaystyle A \ otimes _ {k} B ^ {\ text {op}}}es simple. Por la primera parte aplicada a los mapas.$${\ displaystyle f \ otimes 1, g \ otimes 1: A \ otimes _ {k} B ^ {\ text {op}} \ a B \ otimes _ {k} B ^ {\ text {op}}}, existe $${\ displaystyle b \ in B \ otimes _ {k} B ^ {\ text {op}}} tal que

$${\ displaystyle (f \ otimes 1) (a \ otimes z) = b (g \ otimes 1) (a \ otimes z) b ^ {- 1}}

para todos $${\ displaystyle a \ in A} y $${\ displaystyle z \ en B ^ {\ text {op}}}. Tomando$${\ displaystyle a = 1}, encontramos

$${\ displaystyle 1 \ otimes z = b (1 \ otimes z) b ^ {- 1}}

para todos los z . Es decir, b está en$${\ displaystyle Z_ {B \ otimes B ^ {\ text {op}}} (k \ otimes B ^ {\ text {op}}) = B \ otimes k} y así podemos escribir $${\ displaystyle b = b '\ otimes 1}. Tomando$${\ displaystyle z = 1} esta vez encontramos

$${\ displaystyle f (a) = b'g (a) {b '^ {- 1}}},

que es lo que se buscaba.

anillo graduado es un anillo que es una suma directa de grupos abelianos $${\ displaystyle R_ {i}} tal que $${\ displaystyle R_ {i} R_ {j} \ subseteq R_ {i + j}}. El conjunto de índices suele ser el conjunto de enteros no negativos o el conjunto de enteros, pero puede ser cualquier monoide . La descomposición de suma directa se suele denominar gradación o calificación .

Un módulo calificado se define de manera similar (ver más abajo para la definición precisa). Generaliza espacios vectoriales graduados . Un módulo graduado que también es un anillo graduado se llama álgebra calificada . Un anillo graduado también podría verse como una Ágebra Z graduada .

La asociatividad no es importante (de hecho, no se usa en absoluto) en la definición de un anillo graduado; por lo tanto, la noción se aplica también a un álgebra no asociativa ; por ejemplo, uno puede considerar un álgebra de Lie calificada .

Primeras propiedades [ editar ]

Dejar

$${\ displaystyle R = \ bigoplus _ {n \ in \ mathbb {N} _ {0}} R_ {n} = R_ {0} \ oplus R_ {1} \ oplus R_ {2} \ oplus \ cdots}

Sé un anillo graduado. Elementos de cualquier factor.$${\ displaystyle R_ {n}}De la descomposición se denominan elementos homogéneos de grado n . Cada elemento de una de R puede ser escrita de forma única como una suma un  =  un ₁  +  un ₂  + ... +  a _n con todos unos _i elementos homogéneos de distinta R _i . Estas a _i se llaman los componentes homogéneos de  a .

Algunas propiedades básicas son:

• $${\ displaystyle R_ {0}}es un subring de R ; en particular, la identidad aditiva 0 y la identidad multiplicativa 1 son elementos homogéneos de grado cero.
• Un conmutativo $${\ displaystyle \ mathbb {N} _ {0}}anillo de grado $${\ displaystyle R = \ bigoplus _ {i = 0} ^ {\ infty} R_ {i}}es un anillo noetheriano si y solo si$${\ displaystyle R_ {0}}es noetheriano y R se genera finamente como un álgebra sobre$${\ displaystyle R_ {0}}. ^[1]

Un ideal $${\ displaystyle I \ subseteq R}Es homogéneo si, para cada elemento.$${\ displaystyle a \ in I}, sus componentes homogéneos pertenecen también a $${\ displaystyle I.}(De manera equivalente, se clasifican en submódulos de R ; consulte § Módulo calificado .) Las intersecciones de un ideal homogéneo.$${\ displaystyle I} con el $${\ displaystyle R_ {i}}Se llaman las partes homogéneas de$${\ displaystyle I}. Un ideal homogéneo es la suma directa de sus partes homogéneas.

Si I es un ideal homogéneo en R , entonces$${\ displaystyle R / I} También es un anillo graduado, y tiene descomposición.

$${\ displaystyle R / I = \ bigoplus _ {n \ in \ mathbb {N}} (R_ {n} + I) / I.}

Ejemplos básicos [ editar ]

• Cualquier anillo R (no calificado) puede recibir una gradación al permitir$${\ displaystyle R_ {0} = R}y $${\ displaystyle R_ {i} = 0}para i ≠ 0. Esto se llama la gradación trivial en  R .
• El anillo polinomial $${\ displaystyle R = k [t_ {1}, \ ldots, t_ {n}]} se califica por grado: es una suma directa de $${\ displaystyle R_ {i}}Consta de polinomios homogéneos de grado i .
• Vamos S ser el conjunto de todos los elementos homogéneos no nulos en un dominio integral graduada R . Entonces, la localización de R con respecto a S es un anillo con calificación Z.
• Si I es un ideal en un anillo conmutativo R , entonces$${\ displaystyle \ oplus _ {0} ^ {\ infty} I ^ {n} / I ^ {n + 1}}es un anillo graduado llamado el anillo graduado asociado de R a lo largo de I ; geométricamente, es el anillo de coordenadas del cono normales a lo largo de la subvariedad definido por I .

Módulo calificado [ editar ]

La idea correspondiente en la teoría de módulos es la de un módulo graduado , es decir, un módulo izquierdo Msobre un anillo graduado R tal que también

$${\ displaystyle M = \ bigoplus _ {i \ in \ mathbb {N} _ {0}} M_ {i},}

y

$${\ displaystyle R_ {i} M_ {j} \ subseteq M_ {i + j}.}

Ejemplo : un espacio vectorial graduado es un ejemplo de un módulo graduado sobre un campo (con el campo que tiene una calificación trivial).

Ejemplo : un anillo graduado es un módulo graduado sobre sí mismo. Un ideal en un anillo graduado es homogéneo si y solo si es un submódulo graduado. El aniquilador de un módulo graduado es un ideal homogéneo.

Ejemplo : Dado un I ideal en un anillo conmutativo R y un módulo R M ,$${\ displaystyle \ bigoplus _ {n = 0} ^ {\ infty} I ^ {n} M / I ^ {n + 1} M} es un módulo graduado sobre el anillo graduado asociado $${\ displaystyle \ oplus _ {0} ^ {\ infty} I ^ {n} / I ^ {n + 1}}.

Un morfismo $${\ displaystyle f: N \ to M}entre los módulos graduados, llamado morfismo graduado , hay un morfismo de los módulos subyacentes que respetan la clasificación; es decir,$${\ displaystyle f (N_ {i}) \ subseteq M_ {i}}. Un submódulo calificado es un submódulo que es un módulo calificado en sí mismo y tal que la inclusión de la teoría de conjuntos es un morfismo de los módulos graduados. Explícitamente, un módulo graduado N es un submódulo graduado de M si y solo si es un submódulo de M y satisface$${\ displaystyle N_ {i} = N \ cap M_ {i}}. El núcleo y la imagen de un morfismo de módulos graduados son submódulos graduados.

Observación: dar un morfismo gradual de un anillo graduado a un anillo graduado con la imagen en el centro es lo mismo que dar la estructura de un álgebra graduada al anillo más reciente.

Dado un módulo graduado M , el ℓ -twist de$${\ displaystyle M (\ ell)} es un módulo graduado definido por $${\ displaystyle M (\ ell) _ {n} = M_ {n + \ ell}}. (cf. la gavilla retorcida de Serre en geometría algebraica).

Deje que M y N sean módulos graduados. Si$${\ displaystyle f: M \ to N}es un morfismo de módulos, entonces se dice que ftiene un grado d si$${\ displaystyle f (M_ {n}) \ subseteq N_ {n + d}}. Una derivada exterior de formas diferenciales en geometría diferencial es un ejemplo de tal morfismo con grado 1.

Invariantes de módulos graduados [ editar ]

Dado un módulo graduado M sobre un anillo graduado conmutativo R , uno puede asociar la serie de poder formal$${\ displaystyle P (M, t) \ in \ mathbb {Z} [\! [t] \!]}:

$${\ displaystyle P (M, t) = \ sum \ ell (M_ {n}) t ^ {n}}

(asumiendo $${\ displaystyle \ ell (M_ {n})}son finitos.) Se llama la serie Hilbert-Poincaré de M .

Se dice que un módulo calificado se genera de manera finita si el módulo subyacente se genera de manera finita. Los generadores pueden tomarse como homogéneos (reemplazando los generadores por sus partes homogéneas).

Supongamos que R es un anillo polinomial$${\ displaystyle k [x_ {0}, \ dots, x_ {n}]}, k un campo, y M un módulo calificado finamente generado sobre él. Entonces la funcion$${\ displaystyle n \ mapsto \ dim _ {k} M_ {n}}se llama la función de Hilbert de M . La función coincide con el polinomio de valor entero para grandes n llama el polinomio de Hilbert de M .

Álgebra graduada [ editar ]

Un álgebra A sobre un anillo R es un álgebra graduada si se califica como un anillo.

En el caso habitual en el que el anillo R no está calificado (en particular si R es un campo), se le otorga la calificación trivial (cada elemento de R es de grado 0). Por lo tanto, R ⊆ A ₀ y la A _i son módulos R.

En el caso de que el anillo R también sea un anillo graduado, entonces uno requiere que

$${\ displaystyle A_ {i} R_ {j} \ subseteq A_ {i + j}}

y

$${\ displaystyle R_ {i} A_ {j} \ subseteq A_ {i + j}.}

En otras palabras, se requiere una para ser un módulo graduada izquierda y derecha sobre R .

Ejemplos de álgebras graduadas son comunes en matemáticas:

• Anillos polinomiales . Los elementos homogéneos de grado n son exactamente los polinomios homogéneos de grado n .
• El álgebra tensorial T ^• V de un espacio vectorial V . Los elementos homogéneos de grado n son los tensoresde orden n , T ⁿ V .
• El álgebra exterior Λ ^• V y el álgebra simétrica S ^• V también son álgebras graduadas.
• El anillo de cohomología H ^• en cualquier teoría de cohomología también se clasifica, siendo la suma directa de la H ⁿ .

Las álgebras graduadas se usan mucho en álgebra conmutativa y geometría algebraica , álgebra homológica y topología algebraica . Un ejemplo es la estrecha relación entre polinomios homogéneos y variedades proyectivas. (cf. anillo de coordenadas homogéneas .)

Anillos y álgebras de grado G [ editar ]

Las definiciones anteriores se han generalizado al anillo de graduaciones utilizando cualquier monoide G como conjunto de índices. Un anillo de nivel G R es un anillo con una descomposición de suma directa

$${\ displaystyle R = \ bigoplus _ {i \ en G} R_ {i}}

tal que

$${\ displaystyle R_ {i} R_ {j} \ subseteq R_ {i \ cdot j}.}

Elementos de R que se encuentran dentro.$${\ displaystyle R_ {i}} para algunos $${\ displaystyle i \ en G}Se dice que son homogéneas de grado i .

La noción previamente definida de "anillo graduado" ahora se convierte en lo mismo que un anillo N- graduado, donde N es el monoide de los enteros no negativos bajo adición. Las definiciones para los módulos graduadas y álgebras también se pueden ampliar de esta manera la sustitución del conjunto de indexación N con cualquier monoid G .

Observaciones:

• Si no requerimos que el anillo tenga un elemento de identidad, los semigrupos pueden reemplazar los monoides .

Ejemplos:

• Un grupo naturalmente califica el anillo de grupo correspondiente ; de manera similar, los anillos monoides se clasifican según el monoide correspondiente.
• Una superalgebra (asociativa) es otro término para un álgebra con calificación Z ₂ . Los ejemplos incluyen álgebras de Clifford . Aquí los elementos homogéneos son de grado 0 (par) o 1 (impar).

Anticomutatividad [ editar ]

Algunos anillos graduados (o álgebras) están dotados de una estructura anticomutativa . Esta noción requiere un homomorfismo del monoide de la gradación en el monoide aditivo de Z / 2 Z , el campo con dos elementos. Específicamente, un monoide con signo consiste en un par (Γ, ε ) donde Γ es un monoid y ε  : Γ → Z / 2 Z es un homomorfismo de monoides aditivos. Un anillo anticomutativo graduado de es un anillo A graduado con respecto a Γ tal que:

$${\ displaystyle xy = (- 1) ^ {\ varepsilon (\ deg x) \ varepsilon (\ deg y)} yx,}

Para todos los elementos homogéneos x e y .

Ejemplos [ editar ]

• Un álgebra exterior es un ejemplo de un álgebra anticomutativa, graduada con respecto a la estructura ( Z , ε ) donde ε  : Z → Z / 2 Z es el mapa del cociente.
• Un álgebra supercommutative (a veces llamado un anillo asociativo skew-conmutativa ) es el mismo que un anticonmutativo ( Z / 2 Z , ε ) -graded álgebra, donde ε es la identidad endomorphism de la estructura de aditivo de Z / 2 Z .

Monoide gradual [ editar ]

Intuitivamente, un monoide graduado es el subconjunto de un anillo graduado,$${\ displaystyle \ bigoplus _ {n \ in \ mathbb {N} _ {0}} R_ {n}}, generado por el $${\ displaystyle R_ {n}}, sin utilizar la parte aditiva. Es decir, el conjunto de elementos de los anillos graduados es$${\ displaystyle \ bigcup _ {n \ in \ mathbb {N} _ {0}} R_ {n}}.

Formalmente, un monoide graduado ^[2] es un monoide$${\ displaystyle (M, \ cdot)}, con una función de gradación $${\ displaystyle \ phi: M \ to \ mathbb {N} _ {0}} tal que $${\ displaystyle \ phi (m \ cdot m ') = \ phi (m) + \ phi (m')}. Tenga en cuenta que la gradación de$${\ displaystyle 1_ {M}} es necesariamente 0. Algunos autores solicitan además que $${\ displaystyle \ phi (m) \ neq 0} cuando m no es la identidad

Suponiendo que las gradaciones de los elementos que no son de identidad no son cero, el número de elementos de la gradación n es como máximo$${\ displaystyle {\ frac {g ^ {n + 1} -1} {g-1}}}donde g es la cardinalidad de un generador G del monoide. De hecho, cada uno de estos elementos es el producto de como máximo n elementos de G , y solo$${\ displaystyle {\ frac {g ^ {n + 1} -1} {g-1}}}tal producto existe De manera similar, el elemento de identidad no se puede escribir como el producto de dos elementos que no son de identidad. Es decir, no hay una unidad divisora ​​en un monoide de este tipo.

Serie de potencias indexada por un monoide graduado [ editar ]

Esta noción permite extender la noción de serie de potencia del anillo . En lugar de tener la familia indexadora siendo$${\ displaystyle \ mathbb {N}}, la familia de indexación podría ser cualquier monoide graduado, asumiendo que el número de elementos de grado n es finito, para cada entero n .

Más formalmente, vamos $${\ displaystyle (K, + _ {K}, \ times _ {K})}ser un semiringuito arbitrario y$${\ displaystyle (R, \ cdot, \ phi)}Un monoide graduado. Entonces$${\ displaystyle K \ langle \ langle R \ rangle \ rangle}denotar la serie de potencias con coeficiente en K indexado por R . Sus elementos son funciones de R a la K . La suma de dos elementos.$${\ displaystyle s, s '\ in K \ langle \ langle R \ rangle \ rangle} Se define de manera puntual, es la función de envío. $${\ displaystyle m \ en R}a $${\ displaystyle s (m) + _ {K} s '(m)}. Y el producto es la función de envío definida como la suma infinita.$${\ displaystyle \ sum _ {p, q \ en R, p \ cdot q = m} s (p) \ veces _ {K} s '(q)}. Esta suma se define correctamente, ya que, para cada m , sólo un número finito de tales p y q puede existe. Por lo tanto, esta suma es de hecho finita.

Ejemplo [ editar ]

En la teoría del lenguaje formal , dado un alfabeto A , el monoide libre de las palabras sobre A se puede considerar como un monoide graduado, donde la gradación de una palabra es su longitud.

Dado un monoide $${\ displaystyle (M, \ cdot)}, no se supone que esté calificado, el monoide de subconjuntos finitos de M , con producto$${\ displaystyle S \ times S '= \ {s \ cdot s' \ mid s \ en S, s '\ en S' \}} es un monoide graduado, donde la función graduada es la cardinalidad del conjunto.