LISTAS RELACIONADAS CON LAS MATEMÁTICAS - ÁLGEBRA ABSTRACTA

grupo Brauer de un campo K es un grupo abeliano cuyos elementos son clases de equivalencia Morita de álgebras simples centrales sobre K , con la adición del tensor producto de álgebras. Fue definido por el algebraista Richard Brauer .

El grupo Brauer surgió de los intentos de clasificar las álgebras de división en un campo. También se puede definir en términos de cohomología de Galois . De manera más general, el grupo Brauer de un esquema se define en términos de álgebras de Azumaya , o de manera equivalente utilizando paquetes proyectivos .

Construcción [ editar ]

Un álgebra simple central (CSA) sobre un campo K es una dimensión finita asociativo K -algebra A tal que A es un anillo sencillo y el centro de A es igual a K . Tenga en cuenta que los CSA en general no son álgebra de división, aunque los CSA se pueden usar para clasificar los álgebras de división.

Por ejemplo, los números complejos C forman una CSA sobre sí mismos, pero no sobre R (el centro es C en sí mismo, por lo tanto, es demasiado grande para ser CSA sobre R ). Los álgebras de división finita-dimensional con centro R (que significa que la dimensión sobre R es finita) son los números reales y los cuaterniones mediante un teorema de Frobenius , mientras que cualquier matriz suena sobre los reales o cuaterniones: M ( n , R ) o M ( n , H ) - es un CSA sobre los reales, pero no un álgebra de división (si n > 1).

Se obtiene una relación de equivalencia en CSA más de K por el teorema de Artin-Wedderburn ( Wedderburnparte 's, de hecho), para expresar cualquier CSA como M ( n , D ) por alguna división álgebra D . Si nos fijamos solo en D , es decir, si imponemos una relación de equivalencia que identifique M ( m , D ) con M ( n , D ) para todos los enteros positivos m y n , obtendremos la relación de equivalencia de Brauer en CSA sobre K. Los elementos del grupo Brauer son las clases de equivalencia Brauer de CSA más de K .

Teniendo en cuenta las álgebras simples centrales A y B , uno puede ver su producto tensorial A ⊗ B como una K -algebra (vea el producto tensorial de R-álgebras ). Resulta que esto siempre es central simple. Una manera slick para ver esto es utilizar una caracterización: un álgebra simple central A sobre K es un K -algebra que se convierte en un anillo de la matriz cuando extendemos el campo de escalares a una clausura algebraica de K . Este resultado también muestra que la dimensión de un álgebra simple central A como K-el espacio del vector es siempre un cuadrado. El grado de A se define como la raíz cuadrada de su dimensión.

Como resultado, las clases de isomorfismo de CSA más de K forman un monoide bajo producto tensorial, compatible con Brauer equivalencia, y las clases Brauer son todos invertible : la inversa de un álgebra A está dado por su álgebra opuesta A ^op (el anillo opuesto con la misma acción de K ya que la imagen de K → A está en el centro de A ). Explícitamente, para un CSA A tenemos A ⊗ A ^op = M ( n ² , K ), donde nes el grado de A sobre K .

El grupo Brauer de cualquier campo es un grupo de torsión . En más detalle, definir el período de un álgebra simple central A sobre K para ser su fin como un elemento del grupo de Brauer. Definir el índice de A a ser el grado de la álgebra de división que es Brauer equivalente a A . Luego, el período de A divide el índice de A (y por lo tanto es finito). ^[1]

Ejemplos [ editar ]

• En los siguientes casos, cada álgebra de división central de dimensión finita sobre un campo K es K , de modo que el grupo Brauer Br ( K ) es trivial :
  • K es un campo algebraicamente cerrado .
  • K es un campo finito ( teorema de Wedderburn ). ^[2] Equivalentemente, cada anillo de división finita es conmutativo.
  • K es el campo de función de una curva algebraica sobre un campo algebraicamente cerrado ( teorema de Tsen ). ^[3] Más generalmente, el grupo Brauer se desvanece para cualquier campo C ₁ .
  • K es una extensión algebraica de Q que contiene todas las raíces de la unidad . ^[2]
• El grupo Brauer Br ( R ) del campo R de números reales es el grupo cíclico de orden dos. Hay sólo dos álgebras no isomorfos división de bienes con centro R : R sí mismo y el cuaternión álgebra H . ^[4] Dado que H⊗ H M (4, R ), la clase de H tiene orden dos en el grupo Brauer.
• Sea K un campo local no arquimediano , lo que significa que K está completo en una valoración discreta con un campo de residuos finitos. Entonces Br ( K ) es isomorfo a Q / Z . ^[5]

Variedades Severi-Brauer [ editar ]

Otra interpretación importante del grupo de Brauer de un campo K es que clasifica las variedades proyectivasmás K que se convierten en isomorfo al espacio proyectivo más de una clausura algebraica de K . Tal variedad se llama una variedad Severi-Brauer , y hay una correspondencia de uno a uno entre las clases de isomorfismo de variedades Severi-Brauer de dimensión n -1 más de K y los álgebra simple central de grado n sobre K . ^[6]

Por ejemplo, las variedades Severi-Brauer de dimensión 1 son exactamente las lisas cónicas en el plano proyectivo sobre K . Para un campo K de característica no 2, cada cónica sobre K es isomorfo a una de la forma ax ² + por ² = z ² para algunos elementos no nulos de un y b de K . El álgebra simple central correspondiente es el álgebra de cuaternión ^[7]

$${\ displaystyle (a, b) = K \ langle i, j \ rangle / (i ^ {2} = a, j ^ {2} = b, ij = -ji).}

La cónica es isomorfa a la línea proyectiva P ¹ sobre K si y solo si el álgebra de cuaternión correspondiente es isomorphic al álgebra matricial M (2, K ).

Álgebras cíclicas [ editar ]

Para un número entero positivo n , deja que K sea un campo en el que n es invertible tal que K contiene una primitiva n º raíz de ζ unidad. Para los elementos distintos de cero a y b de K , el álgebra cíclica asociada es el álgebra simple central de grado n sobre K definida por

$${\ displaystyle (a, b) _ {\ zeta} = K \ langle u, v \ rangle / (u ^ {n} = a, v ^ {n} = b, uv = \ zeta vu).}

Las álgebras cíclicas son las álgebras simples centrales mejor entendidas. (Cuando n no es invertible en K o Kno tiene una raíz n de unidad primitiva , una construcción similar proporciona el álgebra cíclica (χ, a ) asociada a una extensión Z / n cíclica de K y un elemento distinto de cero a de K . ^[8] )

El teorema de Merkurjev-Suslin en la teoría K algebraica tiene una fuerte consecuencia sobre el grupo Brauer. Es decir, para un número entero positivo n , deja que K sea un campo en el que n es invertible tal que K contiene una primitiva n º raíz de la unidad. Luego, el subgrupo del grupo Brauer de K matado por n es generado por las álgebras cíclicas de grado n . ^{[9] De manera} equivalente, cualquier álgebra de división del período que divide n es Brauer equivalente a un producto tensorial de las álgebras cíclicas de grado n . Incluso para un número primo p, hay ejemplos que muestran que un álgebra de división del período p no necesita ser en realidad isomorfo a un producto tensorial de las álgebras cíclicas de grado p . ^[10]

Es un gran problema abierto (planteado por Albert ) si cada álgebra de división de primer grado en un campo es cíclica. Esto es cierto si el grado es 2 o 3, pero el problema está muy abierto para los números primos al menos 5. Los resultados conocidos son solo para clases especiales de campos. Por ejemplo, si K es un campo global o local , entonces un álgebra de división de cualquier grado sobre K es cíclico, por Albert - Brauer - Hasse - Noether . ^[11] Saltman probó un resultado "de dimensión superior" en la misma dirección: si K es un campo de grado de trascendencia 1 sobre el campo local Q_p , entonces cada álgebra de división de primer grado l ≠ psobre K es cíclica. ^[12]

El problema del índice de periodos [ editar ]

Para cualquier álgebra simple central A sobre un campo K , el período de A divide el índice de A , y los dos números tienen los mismos factores primos. ^[13] El problema del índice de período es vincular el índice en términos del período, para los campos K de interés. Por ejemplo, si A es un álgebra simple central sobre un campo local o de campo global, entonces Albert-Brauer-Hasse-Noether mostró que el índice de A es igual al período de A . ^[11]

Para un álgebra simple central A sobre un campo K de grado de trascendencia n sobre un campo algebraicamente cerrado, se conjetura que ind ( A ) se divide por ( A ) ^n −1 . Esto es cierto para n ≤ 2, siendo el caso n = 2 un avance importante de de Jong , afinado en la característica positiva de de Jong – Starr y Lieblich. ^[14]

La teoría de campos de clase [ editar ]

El grupo Brauer juega un papel importante en la formulación moderna de la teoría de campo de clase . Si K _v es un campo local de no de Arquímedes, la teoría de campos clase local da una canónica isomorfismo inv _v : Br ( K _v) → Q / Z , la Hasse invariante . ^[5]

El caso de un campo global K (como un campo numérico ) se aborda mediante la teoría del campo de clase global . Si D es un álgebra simple central sobre K y v es un lugar de K , entonces D ⊗ K _v es un álgebra simple central sobre K _v , la finalización de K en v . Esto define un homomorfismo del grupo Brauer de K al grupo Brauer de K _v . Un determinado álgebra D central simple se divide para todos, pero finamente muchosv , de modo que la imagen de D en casi todos los homomorfismos es 0. El grupo Brauer Br ( K ) encaja en una secuencia exactaconstruida por Hasse: ^[15] [16]

$${\ displaystyle 0 \ rightarrow {\ textrm {Br}} (K) \ rightarrow \ bigoplus _ {v \ in S} {\ textrm {Br}} (K_ {v}) \ rightarrow \ mathbf {Q} / \ mathbf {Z} \ rightarrow 0,}

donde S es el conjunto de todos los lugares de K y la flecha derecha es la suma de los invariantes locales; el grupo de Brauer de los números reales se identifica con (1/2) Z / Z . La inyectividad de la flecha izquierda es el contenido del teorema de Albert – Brauer – Hasse – Noether .

El hecho de que la suma de todos los invariantes locales de un álgebra simple central sobre K sea ​​cero es una ley de reciprocidad típica . Por ejemplo, aplicando esto a un álgebra de cuaternión ( a , b ) sobre Q se obtiene la ley de reciprocidad cuadrática .

Galois cohomology [ editar ]

Para un campo arbitrario K , el grupo Brauer se puede expresar en términos de cohomología de Galois de lasiguiente manera: ^[17]

$${\ displaystyle {\ textrm {Br}} (K) \ cong H ^ {2} (K, G_ {m}),}

donde G _m denota el grupo multiplicativo , visto como un grupo algebraico sobre K . Más concretamente, el grupo cohomology indicó significa H ² (Gal ( K _s / K ), K _s ^* ), donde K _s denota un cierre separable de K .

El isomorfismo del grupo Brauer con un grupo de cohomología de Galois se puede describir a continuación. El grupo de automorfismo del álgebra de n × n matrices es el grupo lineal proyectivo PGL ( n ). Dado que todas las álgebras simples centrales sobre K se vuelven isomorfas al álgebra matricial sobre un cierre separable de K , el conjunto de clases de isomorfismo de álgebras centrales simples de grado n sobre K puede identificarse con el conjunto de cohomología Galois H ¹ ( K , PGL ( n )). La clase de un álgebra simple central en H ² ( K, G _m ) es la imagen de su clase en H ¹ bajo el límite de homomorfismo

$${\ displaystyle H ^ {1} (K, PGL (n)) \ rightarrow H ^ {2} (K, G_ {m})}

asociado a la secuencia exacta corta 1 → G _m → GL (n) → PGL (n) → 1.

El grupo Brauer de un esquema [ editar ]

El grupo de Brauer fue generalizado de los campos a los anillos conmutativos por Auslander y Goldman . Grothendieck fue más lejos al definir el grupo Brauer de cualquier esquema .

Hay dos maneras de definir el grupo de Brauer de un esquema X , utilizando álgebra Azumaya más de X o haces de proyectivas más de X . La segunda definición involucra paquetes proyectivos que son localmente triviales en la topología histórica , no necesariamente en la topología de Zariski . En particular, un paquete proyectivo se define como cero en el grupo Brauer si y solo si es la proyectivización de algún paquete vectorial.

El grupo de Brauer cohomológico de un esquema X casi compacto se define como el subgrupo de torsión del grupo de cohomología de historia H ² ( X , G _m ). (Todo el grupo H ² ( X , G _m ) no tiene que ser de torsión, aunque es de torsión para esquemas regulares X . ^[18] ) El grupo Brauer es siempre un subgrupo del grupo Brauer cohomológico. Gabber demostró que el grupo de Brauer es igual al grupo de Brauer cohomológico para cualquier esquema con un amplio paquete de líneas (por ejemplo, cualquier cuasi-proyectiva esquema sobre un anillo conmutativo). ^[19]

El grupo completo H ² ( X , G _m ) se puede ver como clasificar los gerbes sobre X con el grupo de estructura G _m.

Para variedades proyectivas suaves en un campo, el grupo Brauer es un invariante birracional . Ha sido fructífera. Por ejemplo, cuando X también está conectada racionalmente sobre los números complejos, el grupo Brauer de X es isomorfo al subgrupo de torsión del grupo de cohomología singular H ³ ( X , Z ), que es por lo tanto un invariante biracional. Artin y Mumford utilizaron esta descripción del grupo Brauer para dar el primer ejemplo de una variedad uniracional X sobre C que no es estable racionalmente (es decir, no es un producto deXcon un espacio proyectivo es racional). ^[20]

Relación con la conjetura de Tate [ editar ]

Artin conjeturó que cada esquema apropiado sobre los enteros tiene un grupo Brauer finito. ^[21] Esto está lejos de ser conocido incluso en el caso especial de una variedad proyectiva suave X sobre un campo finito. De hecho, la finitud del grupo Brauer para las superficies en ese caso es equivalente a la conjetura de Tate para los divisoresen X , uno de los principales problemas en la teoría de los ciclos algebraicos . ^[22]

Para un esquema integral regular de dimensión 2 que es plano y apropiado sobre el anillo de enteros de un campo numérico, y que tiene una sección , la finitud del grupo Brauer es equivalente a la finitud del grupo Tate-Shafarevich Ш para el jacobiano Variedad de la fibra general (una curva sobre un campo numérico). ^[23] La finitud de Ш es un problema central en la aritmética de las curvas elípticas y, en general, de las variedades abelianas .

La obstrucción Brauer-Manin [ editar ]

Deje que X sea una variedad proyectiva suave sobre un campo de número K . El principio de Hasse predeciría que si X tiene un punto racional sobre todas las completaciones K _v de K , entonces X tiene un punto K deracionalidad. El principio de Hasse es válido para algunas clases especiales de variedades, pero no en general. Manin usó el grupo Brauer de X para definir la obstrucción Brauer-Manin , que puede aplicarse en muchos casos para mostrar que X no tiene puntos K, incluso cuando Xtiene puntos por encima de todas las terminaciones de K.

 anillo de producto grande . Esto se hace al proporcionar el producto cartesiano de una colección de anillos posiblemente infinita por suma y multiplicación por coordenadas.

El anillo resultante se llama producto directo de los anillos originales.

Ejemplos [ editar ]

Un ejemplo importante es el anillo Z / n Z de enteros módulo n . Si n se escribe como un producto de potencias primarias (véase el teorema fundamental de la aritmética ),

$${\ displaystyle n = p_ {1} ^ {n_ {1}} \ p_ {2} ^ {n_ {2}} \ \ cdots \ p_ {k} ^ {n_ {k}},}

donde los p _i son primos distintos, entonces Z / n Z es naturalmente isomorfo al anillo del producto

$${\ displaystyle \ mathbf {Z} / p_ {1} ^ {n_ {1}} \ mathbf {Z} \ \ times \ \ mathbf {Z} / p_ {2} ^ {n_ {2}} \ mathbf {Z } \ \ times \ \ cdots \ \ times \ \ mathbf {Z} / p_ {k} ^ {n_ {k}} \ mathbf {Z}.}

Esto se deduce del teorema del resto chino .

Propiedades [ editar ]

Si R = Π _i ∈ I R _i es un producto de anillos, a continuación, para cada i en que tenemos una sobreyectiva homomorfismo de anillos p _i : R → R _i que proyecta el producto en el i ° de coordenadas. El producto R , junto con las proyecciones p _i , tiene la siguiente propiedad universal :

si S es cualquier anillo y f _i : S → R _i es un homomorfismo de anillos para cada i en I , entonces existe exactamente un anillo homomorfismo f : S → R tal que p _i ∘ f = f _i para cada i en I .

Esto demuestra que el producto de los anillos es un ejemplo de productos en el sentido de la teoría de categorías.

Cuando I es finito, el grupo aditivo subyacente de Π _i ∈ I R _i coincide con la suma directa de los grupos aditivos de R _i . En este caso, algunos autores llaman a R la "suma directa de los anillos R _i " y escriben ⊕ _i ∈ I R _i , pero esto es incorrecto desde el punto de vista de la teoría de categorías, ya que generalmente no es un coproducto en la categoría. de anillos: por ejemplo, cuando dos o más de R _i son distintos de cero, el mapa de inclusión R _i→ R no puede asignar 1 a 1 y, por lo tanto, no es un homomorfismo de anillo.

(Un coproducto finito en la categoría de álgebra conmutativa (asociativa) sobre un anillo conmutativo es un producto tensorial de álgebras . Un coproducto en la categoría de álgebras es un producto gratuito de álgebras .)

Si A _i en R _i es un ideales para cada i en I , entonces A = Π _i ∈ I A _i es un ideal de R . Si I es finito, entonces lo contrario es cierto, es decir, cada ideal de R es de esta forma. Sin embargo, si I es infinito y los anillos R _i no son cero, entonces lo contrario es falso: el conjunto de elementos con casi todas las coordenadas distintas de cero forman un ideal que no es un producto directo de los ideales de la R _i . El ideal Unes un ideal primordial en R si todos menos uno de los A _i son iguales a R _i y el resto de A _i es un ideal primo en R _i . Sin embargo, lo contrario no es cierto cuando yo es infinito. Por ejemplo, la suma directa de la R _i forma un ideal no contenido en ninguna A , pero el axioma de elección indica que está contenido en algún ideal máximo que es un primo fortiori .

Un elemento x en R es una unidad si y sólo si todos sus componentes son unidades, es decir, si y sólo si p _i ( x )es una unidad en R _i para cada i en I . El grupo de unidades de R es el producto de los grupos de unidades de R _i.

Un producto de dos o más anillos que no sean cero siempre tiene divisores cero distintos a cero : si x es un elemento del producto, todas cuyas coordenadas son cero excepto p _i ( x ) , e y es un elemento del producto con todas las coordenadas cero excepto p _j ( y ) (con i ≠ j ), luego xy = 0 en el anillo del producto.