LISTAS RELACIONADAS CON LAS MATEMÁTICAS - ÁLGEBRA ABSTRACTA

álgebra libre es el análogo no conmutativo de un anillo polinomial, ya que sus elementos pueden describirse como "polinomios" con variables que no conmutan. Del mismo modo, el anillo polinomial puede considerarse como un álgebra conmutativa libre .

Definición [ editar ]

Para R un anillo conmutativo , el (libre asociativo , unital ) álgebra en n indeterminadas { X ₁ , ..., X _n } es el libre R -módulo con una base formada por todas las palabras sobre el alfabeto { X ₁ , .. ., X _n } (incluida la palabra vacía, que es la unidad del álgebra libre). Este módulo R se convierte en un álgebra R al definir una multiplicación de la siguiente manera: el producto de dos elementos básicos es elconcatenación de las palabras correspondientes:

$${\ displaystyle \ left (X_ {i_ {1}} X_ {i_ {2}} \ cdots X_ {i_ {l}} \ right) \ cdot \ left (X_ {j_ {1}} X_ {j_ {2} } \ cdots X_ {j_ {m}} \ right) = X_ {i_ {1}} X_ {i_ {2}} \ cdots X_ {i_ {l}} X_ {j_ {1}} X_ {j_ {2} } \ cdots X_ {j_ {m}},}

y el producto de dos elementos del módulo R arbitrario se determina únicamente (debido a que la multiplicación en una álgebra R debe ser R -bilineal). Esto R -algebra se denota R ⟨ X ₁ , ..., X _n ⟩. Esta construcción puede generalizarse fácilmente a un conjunto arbitrario X de indeterminados.

En definitiva, para un conjunto arbitrario. $${\ displaystyle X = \ {X_ {i} \,; \; i \ in I \}}, La libre ( asociativa , unital ) R - álgebra sobre Xes

$${\ displaystyle R \ langle X \ rangle: = \ bigoplus _ {w \ en X ^ {\ ast}} Rw}

con la multiplicación R -bilineal que es concatenación en palabras, donde X * denota el monoide libre en X (es decir, palabras en las letras X _i ),$${\ displaystyle \ oplus}denota la suma directa externa , y Rw denota el módulo R libre en 1 elemento, la palabra w .

Por ejemplo, en R ⟨ X ₁ , X ₂ , X ₃ , X ₄ ⟩, por escalares α, β, γ, delta ∈ R , un ejemplo concreto de un producto de dos elementos es

$${\ displaystyle (\ alpha X_ {1} X_ {2} ^ {2} + \ beta X_ {2} X_ {3}) \ cdot (\ gamma X_ {2} X_ {1} + \ delta X_ {1} ^ {4} X_ {4}) = \ alpha \ gamma X_ {1} X_ {2} ^ {3} X_ {1} + \ alpha \ delta X_ {1} X_ {2} ^ {2} X_ {1 } ^ {4} X_ {4} + \ beta \ gamma X_ {2} X_ {3} X_ {2} X_ {1} + \ beta \ delta X_ {2} X_ {3} X_ {1} ^ {4 } X_ {4}}.

El anillo polinomial no conmutativo puede identificarse con el anillo monoide sobre R del monoide libre de todas las palabras finitas en la X _i .

Contraste con polinomios [ editar ]

Desde las palabras sobre el alfabeto { X ₁ , ..., X _n } forman una base de R ⟨ X ₁ , ..., X _n ⟩, está claro que cualquier elemento de R ⟨ X ₁ , ..., X _n ⟩ se puede escribir únicamente en la forma:

$${\ displaystyle \ sum \ limits _ {k = 0} ^ {\ infty} \, \, \, \ sum \ limits _ {i_ {1}, i_ {2}, \ cdots, i_ {k} \ in \ izquierda \ lbrace 1,2, \ cdots, n \ right \ rbrace} a_ {i_ {1}, i_ {2}, \ cdots, i_ {k}} X_ {i_ {1}} X_ {i_ {2}} \ cdots X_ {i_ {k}},}

dónde $${\ displaystyle a_ {i_ {1}, i_ {2}, ..., i_ {k}}}son elementos de R y todos, pero finamente, muchos de estos elementos son cero. Esto explica por qué los elementos de R ⟨ X ₁ , ..., X _n ⟩ a menudo se designan como "polinomios no conmutativos" en las "variables" (o "indeterminados") X ₁ , ..., X _n ; los elementos$${\ displaystyle a_ {i_ {1}, i_ {2}, ..., i_ {k}}}se dice que son "coeficientes" de estos polinomios, y el R -algebra R ⟨ X ₁ , ..., X _n ⟩ se llama el "álgebra polinomio no conmutativo sobre R en nindeterminadas". Tenga en cuenta que a diferencia de un anillo polinomial real , las variables no conmutan . Por ejemplo, X ₁ X ₂ no es igual a X ₂ X ₁ .

De manera más general, se puede construir el álgebra libre R ⟨ E ⟩ en cualquier conjunto E de los generadores . Desde anillos pueden ser considerados como Z -álgebras, un anillo de conexión en E se puede definir como el álgebra libre Z ⟨ E ⟩.

Sobre un campo , el álgebra libre en n indeterminados se puede construir como el álgebra tensorial en un espacio vectorial n- dimensional . Para un anillo de coeficiente más general, la misma construcción funciona si tomamos el módulo libre en n generadores .

La construcción del álgebra libre en E es funtorial en la naturaleza y satisface una adecuada propiedad universal. El funtor de álgebra libre se deja adjunto al funtor olvidadizo de la categoría de R -algebras a la categoría de conjuntos .

Las álgebras libres sobre anillos de división son anillos ideales libres .

En álgebra abstracta , una terminación es cualquiera de los varios funtores relacionados en anillos y módulosque resultan en anillos y módulos topológicos completos . La finalización es similar a la localización y, juntas, se encuentran entre las herramientas más básicas para analizar los anillos conmutativos . Los anillos conmutativos completos tienen una estructura más simple que los generales, y el lema de Hensel se aplica a ellos. En geometría algebraica , una terminación de un anillo de funciones R en un espacio X se concentra en una vecindad formal de un punto deX : heurísticamente, este es un vecindario tan pequeño que todas las series de Taylor centradas en el punto son convergentes. Una terminación algebraica se construye de manera análoga a la terminación de un espacio métrico con secuencias de Cauchy , y concuerda con ello en caso de que R tenga una métrica dada por un valor absoluto no arquimediano .

Construcción general [ editar ]

Supongamos que E es un grupo abeliano con una filtración descendente

$${\ displaystyle E = F ^ {0} E \ supset F ^ {1} E \ supset F ^ {2} E \ supset \ cdots \,}

de subgrupos. Luego se define la finalización (con respecto a la filtración) como el límite inverso :

$${\ displaystyle {\ widehat {E}} = \ varprojlim (E / F ^ {n} E). \,}

Esto es de nuevo un grupo abeliano. Generalmente E es un grupo abeliano aditivo . Si E tiene una estructura algebraica adicional compatible con la filtración, por ejemplo, E es un anillo filtrado , un módulo filtrado o un espacio vectorial filtrado , entonces su terminación es nuevamente un objeto con la misma estructura que se completa en la topología determinada por la filtración . Esta construcción puede aplicarse tanto a los anillos conmutativos como a los no conmutativos . Como puede esperarse, cuando la intersección de la$${\ displaystyle F ^ {i} E}es igual a cero, esto produce un anillo topológico completo .

Topología de Krull [ editar ]

En álgebra conmutativa , la filtración sobre un anillo conmutativo R por los poderes de una adecuada ideales Idetermina la topología de Krull (después de Wolfgang Krull ) o I topología -adic en R . El caso de un ideal máximo. $${\ displaystyle I = {\ mathfrak {m}}}Es especialmente importante, por ejemplo, el ideal máximo distinguido de un anillo de valoración. La base de los barrios abiertos de 0 en R está dada por las potencias I ⁿ , que están anidadas y forman una filtración descendente en R :

$${\ displaystyle F ^ {0} R = R \ supset I \ supset I ^ {2} \ supset \ cdots, \ quad F ^ {n} R = I ^ {n}.

(Las vecindades abiertas de cualquier r ∈ R están dadas por los cosets r + I ⁿ .) La terminación es el límite inverso de los anillos de factores ,

$${\ displaystyle {\ widehat {R}} _ {I} = \ varprojlim (R / I ^ {n})}

pronunciado "sombrero RI". El núcleo del mapa canónica π del anillo para su terminación es la intersección de las potencias de I . Por lo tanto, π es inyectivo si y solo si esta intersección se reduce al elemento cero del anillo; según el teorema de intersección de Krull , este es el caso de cualquier anillo noetheriano conmutativo que sea un dominio integral o un anillo local .

Hay una topología relacionada en R -modules, también llamados Krull o I - topología adic . Una base de vecindarios abiertos de un módulo M está dada por los conjuntos del formulario

$${\ displaystyle x + I ^ {n} M \ quad {\ text {for}} x \ en M.}

La finalización de un módulo R M es el límite inverso de los cocientes

$${\ displaystyle {\ widehat {M}} _ {I} = \ varprojlim (M / I ^ {n} M).

Este procedimiento convierte cualquier módulo sobre R en un módulo topológico completo sobre$${\ displaystyle {\ widehat {R}} _ {I}}.

Ejemplos [ editar ]

• El anillo de los enteros p -adic. $${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {p}} Se obtiene completando el anillo. $${\ displaystyle \ mathbb {Z}}de enteros en el ideal ( p ).

• Sea R = K [ x ₁ , ..., x _n ] el anillo polinomial en n variables sobre un campo K y$${\ displaystyle {\ mathfrak {m}} = (x_ {1}, \ ldots, x_ {n})}Ser el ideal máximo generado por las variables. Luego la finalización$${\ displaystyle {\ widehat {R}} _ {\ mathfrak {m}}}es el anillo K [[ x ₁ , ..., x _n ]] de series formalesen n variables de más de K .

• Dado un anillo noetheriano $${\ displaystyle R} y un ideal $${\ displaystyle I = (f_ {1}, \ ldots, f_ {n}),} la $${\ displaystyle I}-la terminación errada de $${\ displaystyle R}es una imagen de un anillo de serie de poder formal, específicamente, la imagen de la supresión ^[1]

$${\ displaystyle {\ begin {cases} R [[x_ {1}, \ ldots, x_ {n}]] \ to {\ widehat {R}} _ {I} \\ x_ {i} \ mapsto f_ {i } \ end {cases}}}

El kernel es el ideal. $${\ displaystyle (x_ {1} -f_ {1}, \ ldots, x_ {n} -f_ {n}).}

Las terminaciones también se pueden utilizar para analizar la estructura local de las singularidades de un esquema . Por ejemplo, los esquemas afines asociados a$${\ displaystyle \ mathbb {C} [x, y] / (xy)}y la curva del plano cúbico nodal $${\ displaystyle \ mathbb {C} [x, y] / (y ^ {2} -x ^ {2} (1 + x))}tienen singularidades de aspecto similar en el origen al ver sus gráficas (ambas parecen un signo más). Observe que en el segundo caso, cualquier vecindario de Zariski del origen sigue siendo una curva irreductible. Si usamos terminaciones, entonces estamos viendo un vecindario "suficientemente pequeño" donde el nodo tiene dos componentes. Tomando las localizaciones de estos anillos a lo largo del ideal.$${\ displaystyle (x, y)} y completando da $${\ displaystyle \ mathbb {C} [[x, y]] / (xy)} y $${\ displaystyle \ mathbb {C} [[x, y]] / ((y + u) (yu))} respectivamente, donde $${\ displaystyle u} es la raíz cuadrada formal de $${\ displaystyle x ^ {2} (1 + x)} en $${\ displaystyle \ mathbb {C} [[x, y]].} Más explícitamente, la serie de potencias:

$${\ displaystyle u = x {\ sqrt {1 + x}} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n} (2n)!} {(1- 2n) (n!) ^ {2} (4 ^ {n})}} x ^ {n + 1}.}

Dado que ambos anillos están dados por la intersección de dos ideales generados por un polinomio homogéneo de grado 1, podemos ver algebraicamente que las singularidades "parecen" iguales. Esto se debe a que dicho esquema es la unión de dos subespacios lineales no iguales del plano afín.

Propiedades [ editar ]

1. La finalización es una operación funcional: un mapa continuo f :  R  →  S de anillos topológicos da lugar a un mapa de sus terminaciones,

$${\ displaystyle {\ widehat {f}}: {\ widehat {R}} \ a {\ widehat {S}}.}

Además, si M y N son dos módulos sobre el mismo anillo topológico R y f :  M  →  N es un mapa de módulo continuo, entonces f se extiende únicamente al mapa de las terminaciones:

$${\ displaystyle {\ widehat {f}}: {\ widehat {M}} \ a {\ widehat {N}},}

dónde $${\ displaystyle {\ widehat {M}}, {\ widehat {N}}} son módulos sobre $${\ displaystyle {\ widehat {R}}.}

2. La realización de un anillo noetheriano R es un módulo plano sobre R .

3. La finalización de un módulo M finamente generado sobre un anillo R noetheriano se puede obtener por extensión de los escalares :

$${\ displaystyle {\ widehat {M}} = M \ otimes _ {R} {\ widehat {R}}.}

Junto con la propiedad anterior, esto implica que el functor de finalización en los módulos R generados finamente es exacto : conserva secuencias exactas cortas . En particular, tomar cocientes de anillos se completa con la terminación, lo que significa que para cualquier cociente R -algebra$${\ displaystyle R / I}, hay un isomorfismo

$${\ displaystyle {\ widehat {R / I}} \ cong {\ widehat {R}} / {\ widehat {I}}.}

4. Teorema de la estructura de Cohen (caso equicharacterístico). Sea R un completo anillo conmutativo noetheriano local con ideal máximo$${\ displaystyle {\ mathfrak {m}}}y campo residuo K . Si R contiene un campo, entonces

$${\ displaystyle R \ simeq K [[x_ {1}, \ ldots, x_ {n}]] / I}

para algunas n y algunas ideal I (Eisenbud, Teorema 7.7).