LISTAS RELACIONADAS CON LAS MATEMÁTICAS - ÁLGEBRA ABSTRACTA

centro o centro se usa en varios contextos en álgebra abstracta para denotar el conjunto de todos aquellos elementos que conmutan con todos los demás elementos.

• El centro de un grupo G consiste en todos aquellos elementos x en G tal que xg = gx para todos g en G . Este es un subgrupo normal de G .
• La noción de nombre similar para un semigrupo se define de la misma manera y es un subgrupo. ^[1] [2]
• El centro de un anillo (o un asociativo álgebra ) R es el subconjunto de R que consiste en todos los elementos x de R tal que xr = rx para todo r en R . ^[3] El centro es una conmutativa subanillo de R .
• El centro de un álgebra de Lie L consta de todos los elementos x en L tal que [ x , un ] = 0 para todos una en L . Se trata de una ideales del álgebra de Lie L .

álgebra abstracta , un ideal es un subconjunto especial de un anillo . Los ideales generalizan ciertos subconjuntos de los enteros , como los números pares o los múltiplos de 3. La suma y resta de los números pares preserva la uniformidad, y la multiplicación de un número par por cualquier otro número entero da como resultado otro número par; estas propiedades de cierre y absorción son las propiedades definitorias de un ideal. Se puede usar un ideal para construir un anillo cociente de manera similar a la forma en que, en teoría de grupos , se puede usar un subgrupo normal para construir un anillo cociente.grupo cociente .

Entre los enteros, los ideales se corresponden uno a uno con los enteros no negativos : en este anillo, cada ideal es un ideal principal que consiste en los múltiplos de un solo número no negativo. Sin embargo, en otros anillos, los ideales pueden ser distintos de los elementos del anillo, y ciertas propiedades de los enteros, cuando se generalizan a los anillos, se unen más naturalmente a los ideales que a los elementos del anillo. Por ejemplo, los ideales primarios de un anillo son análogos a los números primos , y el teorema del resto chino se puede generalizar a los ideales. Hay una versión de factorización prima única para los ideales de un dominio de Dedekind (un tipo de anillo importante enteoría de números ).

El concepto de orden ideal en la teoría del orden se deriva de la noción de ideal en la teoría de anillos. Un ideal fraccional es una generalización de un ideal, y los ideales habituales a veces se llaman ideales integrales para mayor claridad.

Historia [ editar ]

Los ideales fueron propuestos por primera vez por Richard Dedekind en 1876 en la tercera edición de su libro Vorlesungen über Zahlentheorie (inglés: Lectures on Number Theory ). Eran una generalización del concepto de números ideales desarrollado por Ernst Kummer . ^[1] [2] Más tarde, el concepto fue ampliado por David Hilbert y especialmente Emmy Noether .

Definiciones y motivación [ editar ]

Para un anillo arbitrario. $${\ displaystyle (R, +, \ cdot)}, dejar $${\ displaystyle (R, +)}Ser su grupo aditivo . Un subconjunto$${\ displaystyle I}se llama un ideal de izquierda$${\ displaystyle R} si es un subgrupo aditivo de $${\ displaystyle R} que "absorbe la multiplicación de la izquierda por elementos de $${\ displaystyle R}"; es decir, $${\ displaystyle I}es un ideal de izquierda si satisface las siguientes dos condiciones:

1. $${\ displaystyle (I, +)}es un subgrupo de$${\ displaystyle (R, +),}
2. Para cada $${\ displaystyle r \ en R} y cada $${\ displaystyle x \ en I}, el producto $${\ displaystyle rx} es en $${\ displaystyle I}.

Un ideal de la derecha se define con la condición " rx ∈ I " reemplazado por " xr ∈ I. Un ideal de dos caras es un ideal de la izquierda que también es un ideal de la derecha, y a veces simplemente se llama un ideal. Podemos ver una izquierda ( . resp derecha, dos caras) ideal de R como una izquierda (resp derecha, bi-). R - submódulo de R visto como una R . -module Cuando R es un anillo conmutativo, las definiciones de la izquierda, derecha, y dos El ideal de dos lados coincide, y el término ideal se usa solo.

Para comprender el concepto de ideal, considere cómo surgen los ideales en la construcción de anillos de "elementos módulo". Para concretar, veamos el anillo ℤ _n de enteros módulo a un entero dado n ∈ ℤ (tenga en cuenta que ℤ es un anillo conmutativo). La observación clave aquí es que obtenemos ℤ _n tomando ℤ y envolviéndolo alrededor de sí mismo para que n se identifique con 0 (ya que n es congruente con 0 módulo n ). Sin embargo, al hacerlo debemos asegurarnos de que la estructura resultante sea nuevamente un anillo. Este requisito nos obliga a realizar algunas identificaciones adicionales. La noción de ideal surge cuando hacemos la pregunta:

¿Cuál es el conjunto exacto de enteros que nos vemos obligados a identificar con 0?

La respuesta es el conjunto n ℤ = { n ⋅ m | m ∈ ℤ} de todos los enteros congruentes con 0 módulo n . Es decir, debemos envolver ℤ alrededor de sí mismo infinitas veces para que los enteros ..., n ⋅ -2 , n ⋅ -1 , n ⋅ +1 , n ⋅ +2 , ... se alineen con 0. Si nos fijamos en las propiedades que este conjunto debe satisfacer para garantizar que ℤ _nsea ​​un anillo, luego llegamos a la definición de un ideal. De hecho, uno puede verificar directamente que n ℤ es un ideal de ℤ.

Observación. Las identificaciones con elementos distintos a 0 también deben hacerse. Por ejemplo, los elementos en 1 + n ℤ deben identificarse con 1, los elementos en 2 + n ℤ deben identificarse con 2, y así sucesivamente. Sin embargo, aquellos están determinados únicamente por n ℤ, ya que ℤ es un grupo aditivo.

Podemos hacer una construcción similar en cualquier anillo conmutativo R : comenzar con un x ∈ R arbitrario , y luego identificar con 0 todos los elementos del ideal xR = { xr  : r ∈ R }. Resulta que el xR ideal es el ideal más pequeño que contiene x , llamado ideal generado por x . De manera más general, podemos comenzar con un subconjunto arbitrario S ⊆ R , y luego identificar con 0 todos los elementos en el ideal generado por S : el ideal más pequeño ( S ) tal que S⊆ ( S ). El anillo que obtenemos después de la identificación depende solo del ideal ( S ) y no del conjunto S con el que comenzamos. Es decir, si ( S ) = ( T ), entonces los anillos resultantes serán los mismos.

Por lo tanto, un ideal I de un anillo conmutativo R captura canónicamente la información necesaria para obtener el anillo de elementos de R módulo un subconjunto dado S ⊆ R . Los elementos de I , por definición, son aquellos que son congruentes con cero, es decir, identificados con cero en el anillo resultante. El anillo resultante se llama el cociente de R por I y se denota R / I . Intuitivamente, la definición de un ideal postula dos condiciones naturales necesarias para que I contenga todos los elementos designados como "ceros" por R / I :

1. I es un subgrupo aditivo de R : el cero 0 de R es un "cero" 0 ∈ I , y si x ₁ ∈ I y x ₂ ∈ I son "ceros", entonces x ₁ - x ₂ ∈ I es un "cero " también.
2. Cualquier r ∈ R multiplicado por un "cero" x ∈ I es un "cero" rx ∈ I .

Resulta que las condiciones anteriores son también suficientes para I para contener todos los "ceros" necesarios: no hay otros elementos tienen que ser designado como "cero" con el fin de formar R / I . (De hecho, ningún otro elemento debe designarse como "cero" si queremos hacer la menor cantidad de identificaciones).

Observación. Si R no es necesariamente conmutativa, la construcción anterior todavía funciona utilizando ideales de dos caras.

Ejemplos y propiedades [ editar ]

Para ser concisos, algunos resultados se presentan solo para los ideales de la izquierda, pero por lo general también son ciertos para los ideales de la derecha con los cambios de notación apropiados.

• En un anillo R , el conjunto R en sí mismo forma un ideal a dos caras de R llamado ideal de unidad . A menudo también se denota por$${\ displaystyle (1)} ya que es precisamente el ideal bilateral generado (ver más abajo) por la unidad $${\ displaystyle 1_ {R}}. Además, el conjunto$${\ displaystyle \ {0_ {R} \}}que consiste solo en la identidad aditiva 0 _R forma un ideal de dos lados llamado cero ideal y se denota por$${\ displaystyle (0)}. ^{[nota 1]} Cada ideal (izquierdo, derecho o de dos caras) contiene el ideal cero y está contenido en el ideal de la unidad.
• Un ideal (izquierdo, derecho o de dos caras) que no es el ideal de la unidad se denomina ideal adecuado (ya que es un subconjunto adecuado ). ^[3] Nota: un ideal de izquierda$${\ displaystyle {\ mathfrak {a}}} es apropiado si y solo si no contiene un elemento unitario, ya que si $${\ displaystyle u \ in {\ mathfrak {a}}} es un elemento unitario, entonces $${\ displaystyle r = (ru ^ {- 1}) u \ in {\ mathfrak {a}}} para cada $${\ displaystyle r \ en R}. Típicamente hay muchos ideales apropiados. De hecho, si R es un campo de sesgo , entonces$${\ displaystyle (0), (1)}son sus únicos ideales y, a la inversa, es decir, un anillo R distinto de cero es un campo de sesgo si$${\ displaystyle (0), (1)}Son los únicos ideales de izquierda (o derecha). (Prueba: si$${\ displaystyle x} es un elemento distinto de cero, entonces el principal ideal izquierdo $${\ displaystyle Rx} (ver abajo) no es cero y por lo tanto $${\ displaystyle Rx = (1)}; es decir,$${\ displaystyle yx = 1} para algunos que no sean cero $${\ displaystyle y}. Igualmente,$${\ displaystyle zy = 1} para algunos que no sean cero $${\ displaystyle z}. Entonces$${\ displaystyle z = z (yx) = (zy) x = x}.)
• Los enteros pares forman un ideal en el anillo.$${\ displaystyle \ mathbb {Z}}de todos los enteros; por lo general se denota por$${\ displaystyle 2 \ mathbb {Z}}. Esto se debe a que la suma de cualquier entero par es par, y el producto de cualquier entero con un entero par también es par. De manera similar, el conjunto de todos los enteros divisibles por un entero fijo n es un ideal denotado$${\ displaystyle n \ mathbb {Z}}.
• El conjunto de todos los polinomios con coeficientes reales que son divisibles por el polinomio x ² + 1 es un ideal en el anillo de todos los polinomios.
• El conjunto de todas las matrices n- by- n cuya última fila es cero forma un ideal correcto en el anillo de todas las matrices n- by- n . No es un ideal de izquierda. El conjunto de todas las matrices n -by- n cuya última columna es cero forma un ideal de izquierda pero no un ideal de derecha.
• El anillo $${\ displaystyle C (\ mathbb {R})}de todas las funciones continuas f desde$${\ displaystyle \ mathbb {R}} a $${\ displaystyle \ mathbb {R}}bajo punto a punto, la multiplicación contiene el ideal de todas las funciones continuas f tal que f (1) = 0. Otro ideal en$${\ displaystyle C (\ mathbb {R})}viene dado por aquellas funciones que se desvanecen para argumentos suficientemente grandes, es decir, aquellas funciones continuas f para las cuales existe un número L > 0 tal que f ( x ) = 0 siempre que | x | > L .
• Un anillo se llama un anillo simple si no es cero y no tiene ideales bilaterales aparte de$${\ displaystyle (0), (1)}. Por lo tanto, un campo de sesgo es simple y un simple anillo conmutativo es un campo. El anillo de matriz sobre un campo de sesgo es un anillo simple.
• Si $${\ displaystyle f: R \ to S}Es un anillo de homomorfismo , entonces el núcleo.$${\ displaystyle \ ker (f) = f ^ {- 1} (0_ {S})} es un ideal de dos caras de $${\ displaystyle R}. Por convención,$${\ displaystyle f (1_ {R}) = 1_ {S}} y asi si $${\ displaystyle S \ neq 0}, entonces $${\ displaystyle \ ker (f)}es un ideal propio. Más generalmente, para cada ideal izquierdo I de S , la imagen previa$${\ displaystyle f ^ {- 1} (I)}Es un ideal de izquierda. Si I es un ideal de izquierda de R , entonces$${\ displaystyle f (I)} Es un ideal de izquierda del subring. $${\ displaystyle f (R)}de S : a menos que f sea ​​suryectivo,$${\ displaystyle f (I)}No es necesario que sea un ideal de S ; ver también #Extensión y contracción de un ideal acontinuación.
• Correspondencia ideal : dado un homomorfismo de anillo suryectivo.$${\ displaystyle f: R \ to S}, hay una correspondencia bijetiva que preserva el orden entre los ideales de la izquierda (resp. derecha, dos caras) de $${\ displaystyle R} que contiene el núcleo de $${\ displaystyle f} y los ideales de la izquierda (resp. derecha, dos caras) de $${\ displaystyle S}: la correspondencia está dada por $${\ displaystyle I \ mapsto f (I)} y la pre-imagen $${\ displaystyle J \ mapsto f ^ {- 1} (J)}.
• (Para aquellos que saben módulos) Si M es un módulo R izquierdo y$${\ displaystyle S \ subconjunto M}un subconjunto, entonces el aniquilador $${\ displaystyle \ operatorname {Ann} _ {R} (S) = \ {r \ en R \ mid rs = 0, s \ en S \}}de S es un ideal de izquierda. Ideales dados$${\ displaystyle {\ mathfrak {a}}, {\ mathfrak {b}}}de un anillo conmutativo R , el aniquilador R de$${\ displaystyle ({\ mathfrak {b}} + {\ mathfrak {a}}) / {\ mathfrak {a}}}es un ideal de R llamado el cociente ideal de$${\ displaystyle {\ mathfrak {a}}} por $${\ displaystyle {\ mathfrak {b}}} y se denota por $${\ displaystyle ({\ mathfrak {a}}: {\ mathfrak {b}})}; Es una instancia de idealizador en álgebra conmutativa.
• Dejar $${\ displaystyle {\ mathfrak {a}} _ {i}, i \ en S}ser una cadena ascendente de ideales izquierdos en un anillo R ; es decir,$${\ displaystyle S} es un conjunto totalmente ordenado y $${\ displaystyle {\ mathfrak {a}} _ {i} \ subset {\ mathfrak {a}} _ {j}} para cada {\ displaystyle i . Entonces la union$${\ displaystyle \ bigcup _ {i \ en S} {\ mathfrak {a}} _ {i}}es un ideal a izquierda de R . (Nota: este hecho permanece cierto incluso si R no tiene la unidad 1).
• El hecho anterior junto con el lema de Zorn demuestra lo siguiente: si$${\ displaystyle E \ subconjunto R} es un subconjunto posiblemente vacío y $${\ displaystyle {\ mathfrak {a}} _ {0} \ subset R}es un ideal de izquierda que está separado de E , entonces hay un ideal que es máximo entre los ideales que contienen$${\ displaystyle {\ mathfrak {a}} _ {0}}y disjunta de E . (De nuevo, esto sigue siendo válido si el anillo R carece de la unidad 1.) Cuando$${\ displaystyle R \ neq 0}, tomando $${\ displaystyle {\ mathfrak {a}} _ {0} = (0)} y $${\ displaystyle E = \ {1 \}}En particular, existe un ideal de izquierda que es máximo entre los ideales de izquierda apropiados (a menudo simplemente llamado ideal de izquierda máximo); Ver el teorema de Krull para más.
• Una unión arbitraria de ideales no tiene por qué ser un ideal, pero lo siguiente sigue siendo cierto: dado un subconjunto X de R posiblemente vacío , existe el ideal izquierdo más pequeño que se llama X , el ideal izquierdo generado por X y se denota por$${\ displaystyle RX}. Un ideal Tal existe ya que es la intersección de todos los ideales que dejan que contienen X . Equivalentemente,$${\ displaystyle RX}es el conjunto de todas las combinaciones lineales (finitas) de R en la izquierda de los elementos de X sobre R :

  $${\ displaystyle RX = \ {r_ {1} x_ {1} + \ dots + r_ {n} x_ {n} \ mid n \ in \ mathbb {N}, r_ {i} \ en R, x_ {i} \ en X \}.}

(dado que dicho intervalo es el ideal izquierdo más pequeño que contiene X ). ^[4] Un ideal derecho (resp. de dos lados) generado por X se define de la misma manera. Para "dos caras", uno tiene que usar combinaciones lineales de ambos lados; es decir,

$${\ displaystyle RXR = \ {r_ {1} x_ {1} s_ {1} + \ dots + r_ {n} x_ {n} s_ {n} \ mid n \ in \ mathbb {N}, r_ {i} \ en R, s_ {i} \ en R, x_ {i} \ en X \}. \,}

• Un ideal izquierdo (resp. Derecha, dos caras) generado por un solo elemento x se llama el ideal principal izquierdo (resp. Derecha, dos caras) generado por x y se denota por$${\ displaystyle Rx} (resp. $${\ displaystyle xR, RxR}). El ideal principal de dos caras.$${\ displaystyle RxR} a menudo también se denota por $${\ displaystyle (x)}. Si$${\ displaystyle X = \ {x_ {1}, \ dots, x_ {n} \}} es un conjunto finito, entonces $${\ displaystyle RXR} también se escribe como $${\ displaystyle (x_ {1}, \ dots, x_ {n})}.
• En el ring $${\ displaystyle \ mathbb {Z}} de enteros, cada ideal puede ser generado por un solo número $${\ displaystyle \ mathbb {Z}}es un dominio ideal principal ), como consecuencia de la división euclidiana (o de alguna otra manera).
• Existe una correspondencia biyectiva entre los ideales y las relaciones de congruencia (relaciones de equivalencia que respetan la estructura de anillo) en el anillo: Dado un ideal I de un anillo R , dejar que x ~ ysi x - y ∈ I . Entonces ~ es una relación de congruencia en R . A la inversa, dada una relación de congruencia ~ en R , sea I = { x  : x ~ 0}. Entonces I es un ideal de R .

Tipos de ideales [ editar ]

Para simplificar la descripción, se supone que todos los anillos son conmutativos. El caso no conmutativo se discute en detalle en los artículos respectivos.

Los ideales son importantes porque aparecen como núcleos de homomorfismos de anillo y permiten definir anillos de factor . Se estudian diferentes tipos de ideales porque se pueden usar para construir diferentes tipos de anillos de factores.

• Ideal maximal : Un ideales adecuada I se llama una ideal maximal si no existe ningún otro ideal adecuado Jcon I un subconjunto propio de J . El anillo factorial de un ideal máximo es un anillo simple en general y es uncampo para anillos conmutativos. ^[5]
• Ideal mínimo : un ideal distinto de cero se denomina mínimo si no contiene ningún otro ideal distinto de cero.
• Ideal primo : Un ideales adecuado que se llama un ideal primo si por alguna una y b en R , si ab está enque , al menos uno de un y b se encuentra en I . El anillo factorial de un ideal primario es un anillo primario en general y es un dominio integral para anillos conmutativos.
• Radical ideales o ideales semiprimo : Un ideales adecuado que se llama radical o semiprimo si por algunauna en R , si un ⁿ está en que por algún n , a continuación, una se encuentra en I . El anillo factorial de un ideal radical es un anillo semiprime para anillos generales, y es un anillo reducido para anillos conmutativos.
• Ideal primario : un ideal I se llama ideal primario si para todos a y b en R , si ab está en I , entonces al menos uno de a y b ⁿ está en I para algún número natural n . Cada ideal principal es primario, pero no a la inversa. Un ideal primario semiprime es primo.
• Ideal principal : un ideal generado por un elemento.
• Ideal finamente generado : este tipo de ideal se genera finamente como un módulo.
• Ideal primitivo : un ideal primitivo izquierdo es el aniquilador de un módulo izquierdo simple .
• Ideal irreducible : se dice que un ideal es irreducible si no se puede escribir como una intersección de ideales que lo contienen adecuadamente.
• Ideales comaximales : dos ideales$${\ displaystyle {\ mathfrak {i}}, {\ mathfrak {j}}}se dice que son comaximales si$${\ displaystyle x + y = 1} para algunos $${\ displaystyle x \ in {\ mathfrak {i}}} y $${\ displaystyle y \ in {\ mathfrak {j}}}.
• Ideal regular : Este término tiene múltiples usos. Vea el artículo para una lista.
• Ideal nulo : un ideal es un ideal nulo si cada uno de sus elementos es nilpotente.
• Ideal nilpotente : parte de su poder es cero.
• Parámetro ideal : un ideal generado por un sistema de parámetros .

Otros dos términos importantes que usan "ideal" no son siempre ideales de su anillo. Vea sus respectivos artículos para más detalles:

• Ideales fraccional : Esta se define generalmente cuando R es un dominio conmutativa con campo cociente K. A pesar de sus nombres, los ideales fraccionarios sonsubmódulos R de K con una propiedad especial. Si el ideal fraccional está contenida enteramente en R , entonces es verdaderamente un ideal de R .
• Ideales invertible : Por lo general, un ideal invertible A se define como un ideal fraccionado por el que hay otro ideales fraccional B tal que AB = BA = R . Algunos autores también pueden aplicar "ideal invertible" a los ideales de anillo ordinarios A y B con AB = BA = R en anillos distintos de los dominios.

Operaciones ideales [ editar ]

La suma y el producto de los ideales se definen a continuación. por $${\ displaystyle {\ mathfrak {a}}} y $${\ displaystyle {\ mathfrak {b}}}, izquierda (resp. derecha) ideales de un anillo R , su suma es

$${\ displaystyle {\ mathfrak {a}} + {\ mathfrak {b}}: = \ {a + b \ mid a \ in {\ mathfrak {a}} {\ mbox {and}} b \ in {\ mathfrak {segundo}}\}},

que es un ideal de izquierda (resp. derecha), y, si $${\ displaystyle {\ mathfrak {a}}, {\ mathfrak {b}}} son de dos caras,

$${\ displaystyle {\ mathfrak {a}} {\ mathfrak {b}}: = \ {a_ {1} b_ {1} + \ dots + a_ {n} b_ {n} \ mid a_ {i} \ in { \ mathfrak {a}} {\ mbox {y}} b_ {i} \ in {\ mathfrak {b}}, i = 1,2, \ dots, n; {\ mbox {for}} n = 1,2 , \ dots \},}

es decir, el producto es el ideal generado por todos los productos de la forma ab con una en$${\ displaystyle {\ mathfrak {a}}}y b en$${\ displaystyle {\ mathfrak {b}}}.

Nota $${\ displaystyle {\ mathfrak {a}} + {\ mathfrak {b}}} es el ideal más pequeño a la izquierda (resp. derecha) que contiene ambos $${\ displaystyle {\ mathfrak {a}}} y $${\ displaystyle {\ mathfrak {b}}} (o el sindicato $${\ displaystyle {\ mathfrak {a}} \ cup {\ mathfrak {b}}}), mientras que el producto $${\ displaystyle {\ mathfrak {a}} {\ mathfrak {b}}} está contenido en la intersección de $${\ displaystyle {\ mathfrak {a}}} y $${\ displaystyle {\ mathfrak {b}}}.

La ley distributiva se mantiene para los ideales bilaterales. $${\ displaystyle {\ mathfrak {a}}, {\ mathfrak {b}}, {\ mathfrak {c}}},

• $${\ displaystyle {\ mathfrak {a}} ({\ mathfrak {b}} + {\ mathfrak {c}}) = {\ mathfrak {a}} {\ mathfrak {b}} + {\ mathfrak {a}} {\ mathfrak {c}}},
• $${\ displaystyle ({\ mathfrak {a}} + {\ mathfrak {b}}) {\ mathfrak {c}} = {\ mathfrak {a}} {\ mathfrak {c}} + {\ mathfrak {b}} {\ mathfrak {c}}}.

Si un producto es reemplazado por una intersección, una ley de distribución parcial sostiene:

$${\ displaystyle {\ mathfrak {a}} \ cap ({\ mathfrak {b}} + {\ mathfrak {c}}) \ supset {\ mathfrak {a}} \ cap {\ mathfrak {b}} + {\ mathfrak {a}} \ cap {\ mathfrak {c}}}

donde la igualdad se mantiene si $${\ displaystyle {\ mathfrak {a}}} contiene $${\ displaystyle {\ mathfrak {b}}} o $${\ displaystyle {\ mathfrak {c}}}.

Observación : La suma y la intersección de ideales es nuevamente un ideal; con estas dos operaciones como unirse y reunirse, el conjunto de todos los ideales de un anillo dado forma una red modular completa . La red no es, en general, una red distributiva . Las tres operaciones de intersección, suma (o unión) y producto convierten el conjunto de ideales de un anillo conmutativo en una cuantla .

Si $${\ displaystyle {\ mathfrak {a}}, {\ mathfrak {b}}}Son ideales de un anillo conmutativo R , entonces$${\ displaystyle {\ mathfrak {a}} \ cap {\ mathfrak {b}} = {\ mathfrak {a}} {\ mathfrak {b}}} en los dos casos siguientes (al menos)

• $${\ displaystyle {\ mathfrak {a}} + {\ mathfrak {b}} = (1)}
• $${\ displaystyle {\ mathfrak {a}}} Es generado por elementos que forman una secuencia regular módulo. $${\ displaystyle {\ mathfrak {b}}}.

(De manera más general, la diferencia entre un producto y una intersección de ideales se mide mediante el functor Tor :$${\ displaystyle \ operatorname {Tor} _ {1} ^ {R} (R / {\ mathfrak {a}}, R / {\ mathfrak {b}}) = ({\ mathfrak {a}} \ cap {\ mathfrak {b}}) / {\ mathfrak {a}} {\ mathfrak {b}}.}^[6] )

Un dominio integral se llama dominio Dedekind si para cada par de ideales$${\ displaystyle {\ mathfrak {a}} \ subset {\ mathfrak {b}}}, hay un ideal $${\ displaystyle {\ mathfrak {c}}} tal que $${\ displaystyle {\ mathfrak {\ mathfrak {a}}} = {\ mathfrak {b}} {\ mathfrak {c}}}. ^[7] Entonces se puede mostrar que cada ideal distinto de cero de un dominio de Dedekind se puede escribir de forma única como un producto de ideales máximos, una generalización del teorema fundamental de la aritmética.

Ejemplos de operaciones ideales [ editar ]

En $${\ displaystyle \ mathbb {Z}} tenemos

$${\ displaystyle (n) \ cap (m) = \ operatorname {lcm} (n, m) \ mathbb {Z}}

ya que $${\ displaystyle (n) \ cap (m)} es el conjunto de enteros que son divisibles por ambos $${\ displaystyle n} y $${\ displaystyle m}.

Dejar $${\ displaystyle R = \ mathbb {C} [x, y, z, w]} y deja $${\ displaystyle I = (z, w), {\ text {}} J = (x + z, y + w), {\ text {}} K = (x + z, w)}. Entonces,

• $${\ displaystyle I + J = (z, w, x + z, y + w) = (x, y, z, w)} y $${\ displaystyle I + K = (z, w, x + z)}
• $${\ displaystyle IJ = (z (x + z), z (y + w), w (x + z), w (y + w)) = (z ^ {2} + xz, zy + wz, wx + wz, wy + w ^ {2})}
• $${\ displaystyle IK = (xz + z ^ {2}, zw, xw + zw, w ^ {2})}
• $${\ displaystyle I \ cap J = IJ} mientras $${\ displaystyle I \ cap K = (w, xz + z ^ {2}) \ neq IK}

En el primer cálculo, vemos el patrón general para tomar la suma de dos ideales generados finamente, es el ideal generado por la unión de sus generadores. En los últimos tres observamos que los productos y las intersecciones concuerdan cuando los dos ideales se intersecan en el ideal cero. Estos cálculos se pueden verificar utilizando Macaulay2 . ^{[8] [9] [10]}

Radical de un anillo [ editar ]

Artículo principal: Radical de un anillo.

Los ideales aparecen naturalmente en el estudio de los módulos, especialmente en la forma de un radical.

Para simplificar, trabajamos con anillos conmutativos pero, con algunos cambios, los resultados también son ciertos para los anillos no conmutativos.

Sea R un anillo conmutativo. Por definición, un ideal primitivo de R es el aniquilador de un módulo R simple(distinto de cero) . El radical jacobson $${\ displaystyle J = \ operatorname {Jac} (R)}de R es la intersección de todos los ideales primitivos. Equivalentemente,

$${\ displaystyle J = \ bigcap _ {{\ mathfrak {m}} {\ text {ideales máximos}}} {\ mathfrak {m}}.}

De hecho, si $${\ displaystyle M}es un módulo simple y x es un elemento distinto de cero en M , entonces$${\ displaystyle Rx = M} y $${\ displaystyle R / \ operatorname {Ann} (M) = R / \ operatorname {Ann} (x) \ simeq M}, sentido $${\ displaystyle \ operatorname {Ann} (M)}Es un ideal máximo. A la inversa, si$${\ displaystyle {\ mathfrak {m}}} es un ideal maximo, entonces $${\ displaystyle {\ mathfrak {m}}}Es el aniquilador del simple módulo R$${\ displaystyle R / {\ mathfrak {m}}}. También hay otra caracterización (la prueba no es dura):

$${\ displaystyle J = \ {x \ en R \ mid 1-yx \, {\ text {es un elemento de unidad para cada}} y \ en R \}.}

Para un anillo no necesariamente conmutativo, es un hecho general que $${\ displaystyle 1-yx}es un elemento unitario si y solo si$${\ displaystyle 1-xy} es (ver el enlace) y así esta última caracterización muestra que el radical se puede definir tanto en términos de ideales primitivos de izquierda como de derecha.

El siguiente hecho simple pero importante ( el lema de Nakayama ) está integrado en la definición de un radical de Jacobson: si M es un módulo tal que$${\ displaystyle JM = M}, entonces M no admite un submódulo máximo , ya que si hay un submódulo máximo$${\ displaystyle L \ subsetneq M}, $${\ displaystyle J \ cdot (M / L) = 0} y entonces $${\ displaystyle M = JM \ subconjunto L \ subconjunto M}, una contradicción. Dado que un módulo finamente generado distinto de cero admite un submódulo máximo, en particular, uno tiene:

Si $${\ displaystyle JM = M}y M se genera finitamente, entonces$${\ displaystyle M = 0.}

Un ideal máximo es un ideal primordial y por eso uno tiene

$${\ displaystyle \ operatorname {nil} (R) = \ bigcap _ {{\ mathfrak {p}} {\ text {ideales ideales}}} {\ mathfrak {p}} \ subset \ operatorname {Jac} (R)}

en la intersección de la izquierda se llama la nilradical de R . Como resulta,$${\ displaystyle \ operatorname {nil} (R)}es también el conjunto de elementos nilpotentes de R .

Si R es un anillo artiniano , entonces$${\ displaystyle \ operatorname {Jac} (R)} es nilpotente y $${\ displaystyle \ operatorname {nil} (R) = \ operatorname {Jac} (R)}. (Prueba: primera nota que el DCC implica$${\ displaystyle J ^ {n} = J ^ {n + 1}}para algunos n . Si (DCC)$${\ displaystyle {\ mathfrak {a}} \ supsetneq \ operatorname {Ann} (J ^ {n})} Es un ideal adecuadamente mínimo sobre este último, entonces $${\ displaystyle J \ cdot ({\ mathfrak {a}} / \ operatorname {Ann} (J ^ {n})) = 0}. Es decir,$${\ displaystyle J ^ {n} {\ mathfrak {a}} = J ^ {n + 1} {\ mathfrak {a}} = 0}, una contradicción.

Extensión y contracción de un ideal [ editar ]

Sean A y B dos anillos conmutativos , y sea f  : A → B un homomorfismo de anillo . Si$${\ displaystyle {\ mathfrak {a}}}es un ideal en A , entonces$${\ displaystyle f ({\ mathfrak {a}})}no es necesario que sea un ideal en B (por ejemplo, tómese f para ser la inclusión del anillo de enteros Z en el campo de los racionales Q ). La extensión $${\ displaystyle {\ mathfrak {a}} ^ {e}} de $${\ displaystyle {\ mathfrak {a}}}en B se define como el ideal en B generado por$${\ displaystyle f ({\ mathfrak {a}})}. Explícitamente,

$${\ displaystyle {\ mathfrak {a}} ^ {e} = {\ Big \ {} \ sum y_ {i} f (x_ {i}): x_ {i} \ in {\ mathfrak {a}}, y_ {i} \ en B {\ Big \}}}

Si $${\ displaystyle {\ mathfrak {b}}}es un ideal de B , entonces$${\ displaystyle f ^ {- 1} ({\ mathfrak {b}})}Siempre es un ideal de A , llamado la contracción. $${\ displaystyle {\ mathfrak {b}} ^ {c}} de $${\ displaystyle {\ mathfrak {b}}}a un .

Suponiendo que f  : A → B es un homomorfismo de anillo,$${\ displaystyle {\ mathfrak {a}}}es un ideal en A ,$${\ displaystyle {\ mathfrak {b}}}Es un ideal en B , entonces:

• $${\ displaystyle {\ mathfrak {b}}}es primo en B $${\ displaystyle \ Rightarrow} $${\ displaystyle {\ mathfrak {b}} ^ {c}}es primo en una .
• $${\ displaystyle {\ mathfrak {a}} ^ {ec} \ supseteq {\ mathfrak {a}}}
• $${\ displaystyle {\ mathfrak {b}} ^ {ce} \ subseteq {\ mathfrak {b}}}

Es falso, en general, que $${\ displaystyle {\ mathfrak {a}}}ser primo (o máximo) en A implica que$${\ displaystyle {\ mathfrak {a}} ^ {e}}es primo (o máxima) en B . Muchos ejemplos clásicos de esto provienen de la teoría de los números algebraicos. Por ejemplo, incrustar $${\ displaystyle \ mathbb {Z} \ to \ mathbb {Z} \ left \ lbrack i \ right \ rbrack}. En$${\ displaystyle B = \ mathbb {Z} \ left \ lbrack i \ right \ rbrack}, el elemento 2 factores como $${\ displaystyle 2 = (1 + i) (1-i)} donde (uno puede mostrar) ninguno de $${\ displaystyle 1 + i, 1-i}son unidades en b . Asi que$${\ displaystyle (2) ^ {e}}no es primo en B (y por lo tanto tampoco es máximo). En efecto,$${\ displaystyle (1 \ pm i) ^ {2} = \ pm 2i} muestra que $${\ displaystyle (1 + i) = ((1-i) - (1-i) ^ {2})}, $${\ displaystyle (1-i) = ((1 + i) - (1 + i) ^ {2})}, y por lo tanto $${\ displaystyle (2) ^ {e} = (1 + i) ^ {2}}.

Por otro lado, si f es superyectivo. y$${\ displaystyle {\ mathfrak {a}} \ supseteq \ ker f} entonces:

• $${\ displaystyle {\ mathfrak {a}} ^ {ec} = {\ mathfrak {a}}} y $${\ displaystyle {\ mathfrak {b}} ^ {ce} = {\ mathfrak {b}}}.
• $${\ displaystyle {\ mathfrak {a}}}es un ideal ideal en A $${\ displaystyle \ Leftrightarrow} $${\ displaystyle {\ mathfrak {a}} ^ {e}}es un ideal primo de B .
• $${\ displaystyle {\ mathfrak {a}}}es un ideal maximo en A $${\ displaystyle \ Leftrightarrow} $${\ displaystyle {\ mathfrak {a}} ^ {e}} es un ideal maximo en B .

Observación : Sea K una extensión de campo de L , y sea B y A los anillos de enteros de K y L , respectivamente. Entonces B es una extensión integral de A , y dejamos que f sea el mapa inclusión de A a B . El comportamiento de un ideal primo. $${\ displaystyle {\ mathfrak {a}} = {\ mathfrak {p}}} de A extensión bajo es uno de los problemas centrales de la teoría de números algebraica .

Lo siguiente es a veces útil: ^[11] un ideal primordial$${\ displaystyle {\ mathfrak {p}}} es una contracción de un ideal ideal si y solo si $${\ displaystyle {\ mathfrak {p}} = {\ mathfrak {p}} ^ {ec}}. (Prueba: asumiendo lo segundo, nota$${\ displaystyle {\ mathfrak {p}} ^ {e} B _ {\ mathfrak {p}} = B _ {\ mathfrak {p}} \ Rightarrow {\ mathfrak {p}} ^ {e}} intersecta $${\ displaystyle A - {\ mathfrak {p}}}, una contradicción. Ahora, los ideales primordiales de$${\ displaystyle B _ {\ mathfrak {p}}}corresponden a aquellos en B que están separados de$${\ displaystyle A - {\ mathfrak {p}}}. Por lo tanto, hay un ideal principal$${\ displaystyle {\ mathfrak {q}}}de B , disjoint de$${\ displaystyle A - {\ mathfrak {p}}}, tal que $${\ displaystyle {\ mathfrak {q}} B _ {\ mathfrak {p}}} es un ideal máximo que contiene $${\ displaystyle {\ mathfrak {p}} ^ {e} B _ {\ mathfrak {p}}}. Uno entonces comprueba que$${\ displaystyle {\ mathfrak {q}}} mentiras sobre $${\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}. Lo contrario es obvio.