LISTAS RELACIONADAS CON LAS MATEMÁTICAS - ÁLGEBRA ABSTRACTA

semiprimos ideales y semiprimos anillos son generalizaciones de ideales primos y los anillos principales . En el álgebra conmutativa , los ideales semiprime también se llaman ideales radicales .

Por ejemplo, en el anillo de enteros , los ideales semiprime son el ideal cero, junto con los ideales de la forma$${\ displaystyle n \ mathbb {Z}}donde n es un entero sin cuadrados . Asi que,$${\ displaystyle 30 \ mathbb {Z}} es un ideal semiprime de los enteros (porque 30 = 2 × 3 × 5, sin factores primos repetidos), pero $${\ displaystyle 12 \ mathbb {Z} \,}no lo es (porque 12 = 2 ² × 3, con un factor primo repetido).

La clase de anillos semiprime incluye anillos semiprimitivos , anillos primos y anillos reducidos .

La mayoría de las definiciones y afirmaciones de este artículo aparecen en ( Lam 1999 ) y ( Lam 2001 ).

Definiciones [ editar ]

Para un anillo conmutativo R , un ideal apropiado A es un ideal semiprimo si A cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes:

• Si x ^k se encuentra en A para algún entero positivo k y el elemento x de R , entonces x está en A .
• Si y está en R pero no en A , todas las potencias enteras positivas de y no están en A .

La última condición de que el complemento está "cerrado bajo potencias" es análogo al hecho de que los complementos de los ideales primarios se cierran mediante la multiplicación.

Al igual que con los ideales principales, esto se extiende a los anillos no conmutativos "idealmente sabios". Las siguientes condiciones son definiciones equivalentes para un ideal semiprime A en un anillo R :

• Para cualquier ideales J de R , si J ^k ⊆ A para un número natural positivo k , entonces J ⊆ A .
• Para cualquier derecho ideales J de R , si J ^k ⊆ A para un número natural positivo k , entonces J ⊆ A .
• Para cualquier izquierda ideales J de R , si J ^k ⊆ A para un número natural positivo k , entonces J ⊆ A .
• Para cualquier x en R , si xRx ⊆ A , entonces x está en A .

Aquí nuevamente, hay un análogo no conmutativo de ideales primarios como complementos de m-systems . Un subconjunto no vacío S de un anillo R se llama un sistema de n Si por alguna s en S , existe un r en R tal que srs se encuentra en S . Con esta noción, se puede agregar un punto equivalente adicional a la lista anterior:

• R \ A es un n-sistema.

El anillo R se llama un anillo semiprime si el ideal cero es un ideal semiprime. En el caso conmutativo, esto es equivalente a que R sea ​​un anillo reducido , ya que R no tiene elementos nulos potentes. En el caso no conmutativo, el anillo simplemente no tiene ideales correctos distintos de cero. Entonces, si bien un anillo reducido siempre es semiprime, lo contrario no es cierto. ^[1]

Propiedades generales de ideales semiprime [ editar ]

Para empezar, está claro que los ideales primarios son semiprime, y que para los anillos conmutativos, un ideal primario semiprime es primo.

Si bien la intersección de ideales primordiales no suele ser primordial, es un ideal semiprime. En breve se mostrará que lo contrario también es cierto, que cada ideal de semiprime es la intersección de una familia de ideales primos.

Para cualquier B ideal en un anillo R , podemos formar los siguientes conjuntos:

$${\ displaystyle {\ sqrt {B}}: = \ bigcap \ {P \ subseteq R \ mid B \ subseteq P, P {\ mbox {a prime prime}} \} \ subseteq \ {x \ in R \ mid x ^ {n} \ en B {\ mbox {para algunos}} n \ in \ mathbb {N} ^ {+} \} \,}

El conjunto $${\ displaystyle {\ sqrt {B}}}es la definición de la radical de B y es claramente un ideales semiprimo que contiene B , y de hecho es el más pequeño semiprimo ideales que contiene B . La inclusión anterior a veces es apropiada en el caso general, pero para los anillos conmutativos se convierte en una igualdad.

Con esta definición, una A ideal es semiprime si y solo si$${\ displaystyle {\ sqrt {A}} = A}. En este punto, también es evidente que cada ideal de semiprime es de hecho la intersección de una familia de ideales primos. Además, esto muestra que la intersección de cualquiera de los dos ideales de semiprime es nuevamente semiprime.

Por definición, R es semiprime si y solo si$${\ displaystyle {\ sqrt {\ {0 \}}} = \ {0 \}}, es decir, la intersección de todos los ideales primarios es cero. Este ideal$${\ displaystyle {\ sqrt {\ {0 \}}}} también se denota por $${\ displaystyle Nil _ {*} (R) \,}y también llamado Baer de menor nilradical o la Baer-McCoy radical o el primer radical de R .

Anillos semiprime Goldie [ editar ]

Artículo principal: Teorema de Goldie.

Un anillo Goldie derecho es un anillo que tiene una dimensión uniforme finita (también llamada rango finito ) como un módulo correcto sobre sí mismo, y satisface la condición de cadena ascendente en los aniquiladoresderechos de sus subconjuntos. El teorema de Goldie establece que los semiprimos anillos derecho Goldie son precisamente los que tienen un Semisimple artiniano derecho anillo clásico de cocientes . El teorema de Artin-Wedderburn determina completamente la estructura de este anillo de cocientes.

 radical de un ideal I es un ideales de tal manera que un elemento x está en el radical si y sólo si alguna potencia de x está en I . (Tomar el radical se llama radicalización ). Un ideal radical (o ideal semiprime ) es un ideal que es igual a su propio radical. El radical de un ideal primario es un ideal primordial.

Este concepto se generaliza a los anillos no conmutativos en el artículo del anillo Semiprime .

Definición [ editar ]

El radical de un ideal I en un anillo conmutativo R , denotado por Rad ( I ) o$${\ displaystyle {\ sqrt {I}}}, Se define como

$${\ displaystyle {\ sqrt {I}} = \ {r \ in R \ mid r ^ {n} \ in I \ {\ hbox {para algún entero positivo}} \ n \}.}

(Tenga en cuenta que $${\ displaystyle I \ subset {\ sqrt {I}}}.) Intuitivamente, $${\ displaystyle {\ sqrt {I}}}se obtiene tomando todas las raíces de elementos de Identro del anillo R . Equivalentemente,$${\ displaystyle {\ sqrt {I}}}Es la imagen previa del ideal de los elementos nilpotentes (el nilradical) en el anillo del cociente. $${\ displaystyle R / I}. Este último muestra$${\ displaystyle {\ sqrt {I}}}Es en sí un ideal. ^{[Nota 1]}

Si el radical de I se genera finamente, entonces algún poder de$${\ displaystyle {\ sqrt {I}}}está contenido en I . ^[1] En particular, si I y Json ideales de un anillo noetheriano , a continuación, I y J tienen el mismo radical si y sólo si I contiene algo de poder de J y J contiene alguna potencia de I .

Si un ideal que coincide con su propio radical, a continuación, que se llama un ideales radicales o semiprimo ideales .

Ejemplos [ editar ]

• Considera el anillo Z de los enteros .

1. El radical del ideal 4 Z de múltiplos enteros de 4 es 2 Z .
2. El radical de 5 Z es 5 Z .
3. El radical de 12 Z es 6 Z .
4. En general, el radical de m Z es r Z , donde r es el producto de todos los factores primos distintos de m , el factor cuadrado más grande de m (ver radical de un número entero ). De hecho, esto se generaliza a un ideal arbitrario (consulte la sección Propiedades).

• Considera el ideal $${\ displaystyle I = (y ^ {4}) \ subconjunto \ mathbb {C} [x, y]. Es trivial mostrar $${\ displaystyle {\ sqrt {I}} = (y)} (utilizando la propiedad básica $${\ displaystyle {\ sqrt {I ^ {n}}} = {\ sqrt {I}}}), pero damos algunos métodos alternativos. ^{[ aclaración necesaria ]} El radical$${\ displaystyle {\ sqrt {I}}}corresponde al nilradical $${\ displaystyle {\ sqrt {0}}} del anillo del cociente $${\ displaystyle R = \ mathbb {C} [x, y] / (y ^ {4}),}que es la intersección de todos los ideales primarios del anillo del cociente. Esto está contenido en el radical de Jacobson , que es la intersección de todos los ideales máximos, que son los núcleos de los homomorfismos en los campos. Cualquier morfismo de anillo$${\ displaystyle R \ to \ mathbb {C}} debe tener $${\ displaystyle y} en el kernel para tener un morfismo bien definido (si dijéramos, por ejemplo, que el kernel debería estar $${\ displaystyle (x, y-1)} La composición de $${\ displaystyle \ mathbb {C} [x, y] \ to R \ to \ mathbb {C}} sería $${\ displaystyle (x, y ^ {4}, y-1)} que es lo mismo que tratar de forzar $${\ displaystyle 1 = 0}). Ya que$${\ displaystyle \ mathbb {C}} Es algebraicamente cerrado, todo morfismo. $${\ displaystyle R \ to \ mathbb {F}} debe tener en cuenta $${\ displaystyle \ mathbb {C},} por lo que sólo tenemos el cálculo de la intersección de $${\ displaystyle \ {\ ker (\ Phi): \ Phi \ en {\ text {Hom}} (R, \ mathbb {C}) \}} para calcular el radical de $${\ displaystyle (0).} Entonces encontramos que $${\ displaystyle {\ sqrt {0}} = (y) \ subconjunto R.}

Propiedades [ editar ]

Esta sección continuará la convención de que I es un ideal de un anillo conmutativo R :

• Siempre es cierto que $${\ displaystyle {\ sqrt {\ sqrt {I}}} = {\ sqrt {I}}}; Es decir, la radicalización es una operación idempotente . Además,$${\ displaystyle {\ sqrt {I}}}es el ideal radical más pequeño que contiene I .
• $${\ displaystyle {\ sqrt {I}}}es la intersección de todos los ideales primos de R que contienen I . Prueba: por un lado, todo ideal primordial es radical, y por lo tanto esta intersección contiene$${\ displaystyle {\ sqrt {I}}}. Supongamos que r es un elemento de Rque no está en$${\ displaystyle {\ sqrt {I}}}, y sea S el conjunto$${\ displaystyle \ {r ^ {n} \ mid n {\ text {es un entero no negativo}} \}}. Por la definición de$${\ displaystyle {\ sqrt {I}}}, S debe ser disjunta de I . S también está multiplicativamente cerrado . Por lo tanto, por una variante del teorema de Krull , existe un ideal primo P que contiene I y todavía es disjunta de S . (ver ideal primo .) Puesto que Pcontiene I , pero no r , esto demuestra que r no está en la intersección de ideales primos que contienen I . Esto termina la prueba. La afirmación puede fortalecerse un poco: el radical de I es la intersección de todos los ideales principales de Rque son mínimas entre los que contienen I .
• Como especialista el último punto, la nilradical (el conjunto de todos los elementos nilpotentes) es igual a la intersección de todos los ideales primos de R .
• Un I ideal en un anillo R es radical si y solo si el cociente R / I del anillo se reduce .
• El radical de un ideal homogéneo es homogéneo.
• El radical de una intersección de ideales es igual a la intersección de sus radicales: $${\ displaystyle {\ sqrt {I \ cap J}} = {\ sqrt {I}} \ cap {\ sqrt {J}}}.
• El radical de un ideal primario es primo. Si el radical de un ideal I es máximo, entonces I es primario. ^[2]
• Si yo es un ideal,$${\ displaystyle {\ sqrt {I ^ {n}}} = {\ sqrt {I}}}. Un ideal primordial es un ideal radical. Asi que$${\ displaystyle {\ sqrt {P ^ {n}}} = P}para cualquier ideal primo p .
• Let I , J ser ideales de un anillo R . Si$${\ displaystyle {\ sqrt {I}}, {\ sqrt {J}}}son comaximales , entonces$${\ displaystyle I, J}son comaximales. ^{[Nota 2]}
• Deje que M sea un módulo finitamente generado sobre un anillo noetheriano R . Entonces

$${\ displaystyle {\ sqrt {\ operatorname {ann} _ {R} (M)}} = \ bigcap _ {{\ mathfrak {p}} \ in \ operatorname {supp} M} {\ mathfrak {p}} = \ bigcap _ {{\ mathfrak {p}} \ in \ operatorname {ass} M} {\ mathfrak {p}}} ^[3]

dónde $${\ displaystyle \ operatorname {supp} M}es el soporte de M y$${\ displaystyle \ operatorname {culo} M}es el conjunto de primos asociados de m .

Aplicaciones [ editar ]

La motivación principal para estudiar radicales es la Nullstellensatz de Hilbert en álgebra conmutativa . Una versión de este célebre teorema establece que para cualquier J ideal en el anillo polinomial $${\ displaystyle k [x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n}]}sobre un campo algebraicamente cerrado k , uno tiene

$${\ displaystyle \ operatorname {I} (\ operatorname {V} (J)) = {\ sqrt {J}}}

dónde

$${\ displaystyle \ operatorname {V} (J) = \ {x \ in k ^ {n} \ | \ f (x) = 0 {\ mbox {para todos}} f \ in J \}}

y

$${\ displaystyle \ operatorname {I} (S) = \ {f \ in k [x_ {1}, x_ {2}, \ ldots x_ {n}] \ | \ f (x) = 0 {\ mbox {for todos}} x \ en S \}.}

Geométricamente, esto dice que si una variedad S es cortada por las ecuaciones polinomiales$${\ displaystyle f_ {1} = 0, \ ldots, f_ {r} = 0}, entonces los únicos otros polinomios que desaparecen en S son aquellos en el radical del ideal$${\ displaystyle (f_ {1}, \ ldots, f_ {r})}.

Otra forma de expresarlo: la composición. $${\ displaystyle \ operatorname {I} (\ operatorname {V} (-)) = {\ sqrt {-}},}Es un operador de cierre en el conjunto de ideales de un anillo.

radical Jacobson de un anillo R es el ideales que consiste en aquellos elementos de R que aniquilan todos simples derecha R - módulos . Sucede que sustituir "izquierda" en lugar de "derecha" en la definición produce el mismo ideal, por lo que la noción es simétrica izquierda-derecha. El radical de Jacobson de un anillo se denota con frecuencia por J ( R ) o rad ( R ); La notación anterior será preferida en este artículo, porque evita la confusión con otros radicales de un anillo.. El radical de Jacobson lleva el nombre de Nathan Jacobson , quien fue el primero en estudiarlo en busca de anillos arbitrarios ( Jacobson 1945 ).

El radical de Jacobson de un anillo tiene numerosas caracterizaciones internas, incluidas algunas definiciones que extienden con éxito la noción de anillos sin unidad . El radical de un módulo extiende la definición del radical de Jacobson para incluir módulos. El radical de Jacobson desempeña un papel prominente en muchos resultados de la teoría de anillos y módulos, como el lema de Nakayama .

Discusión intuitiva [ editar ]

Al igual que con otros radicales de anillos , el radical de Jacobson se puede considerar como una colección de elementos "malos". En este caso, la propiedad "mala" es que estos elementos aniquilan todos los módulos simples del lado izquierdo y derecho del anillo. Para fines de comparación, considere la no lineal de un anillo conmutativo , que consiste en todos los elementos que son nilpotentes . De hecho, para cualquier anillo, los elementos nilpotentes en el centro del anillo también están en el radical de Jacobson. ^[1] Entonces, para los anillos conmutativos, el nilradical está contenido en el radical de Jacobson.

El radical de Jacobson es muy similar al nilradical en un sentido intuitivo. Una noción más débil de ser malo, más débil que ser un divisor cero , es ser una no-unidad (no invertible en la multiplicación). El radical de Jacobson de un anillo consiste en elementos que satisfacen una propiedad más fuerte que ser simplemente una no unidad. En cierto sentido, un miembro del radical de Jacobson no debe "actuar como una unidad" en ningún módulo "interno al anillo". Más precisamente, un miembro del radical de Jacobson debe proyectarse bajo el homomorfismo canónico al cero de cada "anillo de división derecha" (cada elemento no cero tiene un derecho inverso).) interno al anillo en cuestión. De manera concisa, debe pertenecer a todo ideal de derecho máximo del anillo. Estas nociones son, por supuesto, imprecisas, pero al menos explican por qué el nilradical de un anillo conmutativo está contenido en el radical de Jacobson del anillo.

De una manera aún más simple, podemos pensar en el radical de Jacobson de un anillo como método para "modificar los elementos malos" del anillo, es decir, los miembros del radical de Jacobson actúan como 0 en el anillo del cociente , R / J ( R ). Si N es el nilradical del anillo conmutativo R , entonces el cociente R / N del anillo no tiene elementos nilpotentes. De manera similar para cualquier anillo R , el anillo cociente tiene J ( R / J ( R )) = {0} y, por lo tanto, todos los elementos "malos" en el radical de Jacobson se eliminaron modificando J ( R ). Los elementos del radical de Jacobson y nilradical pueden, por lo tanto, ser vistos como generalizaciones de 0.

Caracterizaciones equivalentes [ editar ]

El radical de Jacobson de un anillo tiene varias caracterizaciones internas y externas. Las siguientes equivalencias aparecen en muchos textos de álgebra no conmutativa, tales como ( Anderson 1992 , §15), ( Isaacs 1993 , §13B) y ( Lam 2001 , Capítulo 2).

Las siguientes son caracterizaciones equivalentes del radical de Jacobson en anillos con unidad (las caracterizaciones para anillos sin unidad se dan inmediatamente después):

• J ( R ) es igual a la intersección de todos los ideales de derechos máximos del anillo. La equivalencia proviene del hecho de que para todos los ideales de derechos máximos M, R / M es un simple módulo R correcto, y que, de hecho, todos los módulos R derecho correcto son isomorfos a uno de este tipo a través del mapa R-> S: r-> xr para cualquier x, un generador de S. También es cierto que J ( R ) es igual a la intersección de todos los ideales máximos de izquierda dentro del anillo. ^[2] Estas caracterizaciones son internas al anillo, ya que solo se necesita encontrar los ideales correctos máximos del anillo. Por ejemplo, si un anillo es local y tiene un ideal de máxima derecha único , entonces este ideal de máxima derecha único es exactamente J ( R). Los ideales máximos son, en cierto sentido, más fáciles de buscar que los aniquiladores de módulos. Sin embargo, esta caracterización es deficiente porque no resulta útil cuando se trabaja computacionalmente con J ( R ). La simetría izquierda-derecha de estas dos definiciones es notable y tiene varias consecuencias interesantes. ^[3] [2] Esta simetría contrasta con la falta de simetría en los números de R , ya que puede suceder que soc ( R _R ) no sea igual a soc ( _R R ). Si R es un anillo no conmutativo, J ( R ) no es necesariamente igual a la intersección de todos los ideales máximos de dos lados deR . Por ejemplo, si Ves una suma directa contable de copias de un campo k y R  = Fin ( V ) (el anillo de endomorfismos de V como un módulo k ), entonces J ( R ) = 0 porque se sabe que R es Von Neumann regular , pero hay exactamente un ideal de doble cara máximo en R que consiste en endomorfismos con imagen de dimensión finita. ( Lam 2001 , p. 46, ej. 3.15)
• J ( R ) es igual a la suma de todos los ideales superfluos correctas (o simétricamente, la suma de todos los ideales superfluos izquierda) del R . Comparando esto con la definición anterior, la suma de ideales de derechos superfluos es igual a la intersección de ideales de derechos máximos. Este fenómeno se refleja dualmente para que el derecho de R : soc ( R _R ) sea la suma de ideales de derecho mínimo y la intersección de ideales de derecho esencial . De hecho, estas dos relaciones son válidas para los radicales y los zócalos de los módulos en general.
• Tal como se define en la introducción, J ( R ) es igual a la intersección de todos aniquiladores de simplesderecha R -modules, sin embargo, también es cierto que es la intersección de aniquiladores de módulos simples izquierda. Un ideal que es el aniquilador de un módulo simple se conoce como un ideal primitivo , por lo que una reformulación de esto establece que el radical de Jacobson es la intersección de todos los ideales primitivos. Esta caracterización es útil cuando se estudian módulos sobre anillos. Por ejemplo, si U es un módulo R derecho , y V es un submódulo máximo de U , U · J ( R) está contenido en V , donde U · J ( R ) denota todos los productos de los elementos de J ( R ) (los "escalares") con elementos en U , a la derecha. Esto se deduce del hecho de que el módulo de cociente , U / V es simple y, por lo tanto, aniquilado por J ( R ).
• J ( R ) es el ideal de derecho único de R máximo con la propiedad de que cada elemento es casi cuadrangular . ^[4] [1] Alternativamente, uno podría reemplazar "derecha" con "izquierda" en la oración anterior. ^[2] Esta caracterización del radical de Jacobson es útil tanto computacionalmente como para ayudar a la intuición. Además, esta caracterización es útil para estudiar módulos sobre un anillo. El lema de Nakayamaes quizás el ejemplo más conocido de esto. Aunque todos los elementos de J ( R ) son necesariamente cuasirregulares , no todos los elementos de cuasiregulares son necesariamente miembros de J ( R ). ^[1]
• Aunque no todos los elemento quasiregular está en J ( R ), se puede demostrar que y está en J ( R ) si y sólo si xy se deja quasiregular para todas las x en R . ( Lam 2001 , p. 50)
• $${\ displaystyle \ operatorname {J} (R)} Es el conjunto de todos esos elementos. $${\ displaystyle x \ en R} que cada elemento de $${\ displaystyle 1 + RxR} es una unidad: $${\ displaystyle \ operatorname {J} (R) = \ {\, x \ en R \, \ mid \, 1 + RxR \ subset R ^ {\ times} \, \}}.

Para anillos sin unidad es posible para R  = J ( R ); sin embargo, la ecuación J ( R / J ( R )) = {0} todavía se mantiene. Las siguientes son caracterizaciones equivalentes de J ( R ) para anillos sin unidad ( Lam 2001 , p. 63):

• La noción de cuasirregularidad izquierda puede generalizarse de la siguiente manera. Llame a un elemento de una en R izquierda generalizarse quasiregular si existe c en R tal que c + un - ca  = 0. Entonces J ( R ) consiste en cada elemento de una para la que RA se deja quasiregular generalizada para todo r en R . Se puede verificar que esta definición coincida con la definición cuasiregular anterior para anillos con unidad.
• Para un anillo sin unidad, la definición de un módulo M izquierdo simple se modifica agregando la condición de que R • M  ≠ 0. Con este entendimiento, J ( R ) puede definirse como la intersección de todos los aniquiladores de los módulos R izquierdos simples . o simplemente R si no hay módulos R izquierdos simples . Los anillos sin unidad sin módulos simples existen, en cuyo caso R  = J ( R ), y el anillo se llama un anillo radical . Al utilizar la caracterización cuasirregular generalizada del radical, está claro que si se encuentra un anillo con J ( R ) distinto de cero, entonces J ( R) es un anillo radical cuando se considera como un anillo sin unidad.

Ejemplos [ editar ]

• Los anillos para los que J ( R ) es {0} se denominan anillos semiprimitivos , o en ocasiones "anillos semisímiles de Jacobson". El radical de Jacobson de cualquier campo , cualquier anillo regular de von Neumann y cualquier anillo primitivo izquierdo o derecho es {0}. El radical de Jacobson de los enteros es {0}.
• El Jacobson radical del anillo Z / 12 Z (véase la aritmética modular ) es 6 Z / 12 Z , que es la intersección de los ideales maximales 2 Z / 12 Z y 3 Z / 12 Z .
• Si K es un campo y R es el anillo de todas las matrices triangulares superiores n- by- n con entradas en K , entonces J ( R ) consiste en todas las matrices triangulares superiores con ceros en la diagonal principal.
• Si K es un campo y R = K [[ X ₁ , ...,  X _n ]] es un anillo de series formales de potencia , entonces J ( R ) consiste en aquellas series de potencias cuyo término constante es cero. Más generalmente: el radical de Jacobson de cada anillo local es el ideal máximo único del anillo.
• Comience con un temblor finito y acíclico fin y un campo K y considere el álgebra K Γ (como se describe en el artículo del temblor ). El radical de Jacobson de este anillo es generado por todas las rutas en Γ de longitud ≥ 1.
• El radical de Jacobson de una álgebra C * es {0}. Esto se deduce del teorema de Gelfand-Naimark y el hecho de que una álgebra C *, una representación topológicamente irreductible * en un espacio de Hilbert es irreducible algebraicamente, por lo que su núcleo es un ideal primitivo en el sentido puramente algebraico (ver espectro de C * -algebra ).

Propiedades [ editar ]

• Si R es unital y no es el anillo trivial {0}, el radical de Jacobson siempre es distinto de R, ya que los anillos con unidad siempre tienen ideales de derecho máximo . Sin embargo, algunos teoremas y conjeturas importantes en la teoría del anillo consideran el caso cuando J ( R ) = R - "Si R es un anillo nulo (es decir, cada uno de sus elementos es nilpotente), el anillo polinomial R [ x ] es igual a es radical de Jacobson? " Es equivalente a la conjetura abierta de Köthe . ( Smoktunowicz 2006 , p. 260, §5)
• El radical de Jacobson del anillo R / J ( R ) es cero. Los anillos con cero radical de Jacobson se llaman anillos semiprimitivos .
• Un anillo es semisimple si y solo si es Artinian y su radical de Jacobson es cero.
• Si f  : R → S es un homomorfismo de anillo suprayectivo , entonces f (J ( R )) ⊆ J ( S ).
• Si M es un finitamente generado izquierda R - módulo con J ( R ) M = M , entonces M = 0 ( de Nakayama lema ).
• J ( R ) contiene todos los elementos centrales nilpotentes, pero no contiene elementos idempotentes aexcepción de 0.
• J ( R ) contiene todos los ideales nil de R . Si R es Artinian izquierdo o derecho , entonces J ( R ) es un ideal nilpotente . Esto se puede hacer más fuerte: si$${\ displaystyle \ left \ {0 \ right \} = T_ {0} \ subseteq T_ {1} \ subseteq \ dotsb \ subseteq T_ {k} = R}es una serie de composición para el derecho R -module R (una serie tal es seguro que existir si R es artiniano derecha, y hay una serie de composición similares izquierda si R se deja artiniano), entonces$${\ displaystyle \ left (J \ left (R \ right) \ right) ^ {k} = 0}. (Prueba: ya que los factores$${\ displaystyle T_ {u} / T_ {u-1}}son simples módulos R correctos, la multiplicación correcta por cualquier elemento de J ( R ) aniquila estos factores. En otras palabras,$${\ displaystyle \ left (T_ {u} / T_ {u-1} \ right) \ cdot J \ left (R \ right) = 0}de donde $${\ displaystyle T_ {u} \ cdot J \ left (R \ right) \ subseteq T_ {u-1}}. En consecuencia, la inducción sobre i muestra que todos los enteros no negativos i y u (para los que lo siguiente tiene sentido) satisfacen$${\ displaystyle T_ {u} \ cdot \ left (\ operatorname {J} \ left (R \ right) \ right) ^ {i} \ subseteq T_ {ui}}. Al aplicar esto a u = i = k se obtiene el resultado.) Sin embargo, tenga en cuenta que, en general, el radical de Jacobson no tiene que consistir únicamente en los elementos nilpotentes del anillo.
• Si R es conmutativo y finitamente generado como un álgebra sobre ya sea un campo o Z , entonces J ( R ) es igual a la nilradical de R .
• El radical de Jacobson de un anillo (unital) es su ideal superfluo derecho más grande (equivalente, izquierdo).