LISTAS RELACIONADAS CON LAS MATEMÁTICAS - ÁLGEBRA ABSTRACTA

álgebra grupal es una de varias construcciones para asignar a un grupo localmente compacto un álgebra de operadores (o más generalmente un álgebra de Banach ), de modo que las representaciones del álgebra estén relacionadas con las representaciones del grupo.

Como tales, son similares al anillo de grupo asociado a un grupo discreto. En particular, todos utilizan la convolución para extender el grupo de álgebra de Hopf del conjunto de funciones con soporte finito a clases de funciones más útiles.

Álgebras grupales de grupos topológicos: C _c ( G ) [ editar ]

A los efectos de análisis funcional , y en particular de análisis armónico , se desea llevar sobre la construcción anillo de grupo a grupos topológicos G . En el caso de que G sea ​​un grupo de Hausdorff localmente compacto , G lleva una medida de Borel aditiva con invariable a la izquierda esencialmente única, denominada μ medida Haar . Usando la medida de Haar, se puede definir una operación de convolución en el espacio C _c ( G ) de funciones continuas de valor complejo en G con soporte compacto ; do_c ( G ) se le puede dar cualquiera de varias normas y la finalización será un álgebra grupal.

Para definir la operación de convolución, sea f y g sean dos funciones en C _c ( G ). Para t en G , defina

$${\ displaystyle [f * g] (t) = \ int _ {G} f (s) g \ left (s ^ {- 1} t \ right) \, d \ mu (s).}

El hecho de que f * g sea ​​continuo es inmediato a partir del teorema de convergencia dominado . también

$${\ displaystyle \ operatorname {Support} (f * g) \ subseteq \ operatorname {Support} (f) \ cdot \ operatorname {Support} (g)}

donde el punto representa el producto en G . C _c ( G ) también tiene una involución natural definida por:

$${\ displaystyle f ^ {*} (s) = {\ overline {f (s ^ {- 1})}} \, \ Delta (s ^ {- 1})}

donde Δ es la función de modular en G . Con esta involución, es un * -algebra .

Teorema. Con la norma:

$${\ displaystyle \ | f \ | _ {1}: = \ int _ {G} | f (s) | \, d \ mu (s),}

C _c ( G ) se convierte en un álgebra normada involutiva con una identidad aproximada .

La identidad aproximada se puede indexar en una base de vecindad de la identidad que consiste en conjuntos compactos. De hecho, si V es una vecindad compacta de la identidad, sea f _v una función continua no negativa soportada en V tal que

$${\ displaystyle \ int _ {V} f_ {V} (g) \, d \ mu (g) ​​= 1.}

Entonces { f _V } _V es una identidad aproximada. Un álgebra de grupo tiene una identidad, a diferencia de solo una identidad aproximada, si y solo si la topología en el grupo es la topología discreta .

Tenga en cuenta que para grupos discretos, C _c ( G ) es lo mismo que el anillo de grupo complejo C [ G ].

La importancia del grupo de álgebra es que captura la teoría de la representación unitaria de G como se muestra a continuación.

Teorema. Sea G un grupo localmente compacto. Si U es una representación unitaria fuertemente continua de G en un espacio H de Hilbert , entonces

$${\ displaystyle \ pi _ {U} (f) = \ int _ {G} f (g) U (g) \, d \ mu (g)}

está limitada a no degenerado * -Representación del álgebra normada C _c ( G ). El mapa

$${\ displaystyle U \ mapsto \ pi _ {U}}

es una bijección entre el conjunto de representaciones unitarias fuertemente continuas de G y representaciones limitadas * no degeneradas de C _c ( G ). Esta bijección respeta la equivalencia unitaria y la fuerte contención . En particular, π _U es irreducible si y solo si U es irreducible.

La no degeneración de una representación π de C _c ( G ) en un espacio de Hilbert H _π significa que

$${\ displaystyle \ left \ {\ pi (f) \ xi: f \ in \ operatorname {C} _ {c} (G), \ xi \ in H _ {\ pi} \ right \}}

Es denso en H _π .

El álgebra de convolución L ¹ ( G ) [ editar ]

Es una teoría estándar del teorema de la medida que la terminación de C _c ( G ) en la norma L ¹ ( G ) es isomorfa al espacio L ¹ ( G ) de las clases de equivalencia de funciones que son integrables con respecto a la medida de Haar , donde, como de costumbre, dos funciones se consideran equivalentes si y solo si difieren solo en un conjunto de Haar medida cero.

Teorema. L ¹ ( G ) es un álgebra de Banach * con el producto de convolución e involución definidos anteriormente y con la norma L ¹ . L ¹ ( G ) también tiene una identidad aproximada limitada.

El grupo C * -algebra C * ( G ) [ editar ]

Deje C [ G ] ser el anillo de grupo de un grupo discreto G .

Para un grupo G localmente compacto , el grupo C * -algebra C * ( G ) de G se define como el álgebra envolvente C * de L ¹ ( G ), es decir, la terminación de C _c ( G ) con respecto al mayor C * -norm:

$${\ displaystyle \ | f \ | _ {C ^ {*}}: = \ sup _ {\ pi} \ | \ pi (f) \ |,}

donde π varía sobre todas las representaciones * no degeneradas de C _c ( G ) en espacios de Hilbert. Cuando Ges discreto, se deduce de la desigualdad del triángulo que, para cualquier π, uno tiene:

$${\ displaystyle \ | \ pi (f) \ | \ leq \ | f \ | _ {1},}

De ahí que la norma esté bien definida.

De la definición se deduce que C * ( G ) tiene la siguiente propiedad universal : cualquier * -homomorfismo de C [ G ] a algunos B ( H ) (la C * -algebra de operadores acotados en algunos espacios de Hilbert H ) se basa en el mapa de inclusión :

$${\ displaystyle \ mathbf {C} [G] \ hookrightarrow C _ {\ max} ^ {*} (G).}

El grupo reducido C * -algebra C _r * ( G ) [ editar ]

El grupo reducido C * -algebra C _r * ( G ) es la terminación de C _c ( G ) con respecto a la norma

$${\ displaystyle \ | f \ | _ {C_ {r} ^ {*}}: = \ sup \ left \ {\ | f * g \ | _ {2}: \ | g \ | _ {2} = 1 \Correcto\},}

dónde

$${\ displaystyle \ | f \ | _ {2} = {\ sqrt {\ int _ {G} | f | ^ {2} \, d \ mu}}}

Es la norma L ² . Dado que la terminación de C _c ( G ) con respecto a la norma L ² es un espacio de Hilbert, la norma C _r * es la norma del operador delimitado que actúa sobre L ² ( G ) por convolución con f y, por tanto, C * - norma.

De manera equivalente, C _r * ( G ) es el álgebra C * generada por la imagen de la representación regular izquierda en ℓ ² ( G ).

En general, C _r * ( G ) es un cociente de C * ( G ). El grupo reducido C * -algebra es isomorfo al grupo no reducido C * -algebra definido anteriormente si y solo si G es susceptible .

Álgebras de von Neumann asociadas a grupos [ editar ]

El grupo de álgebra von Neumann W * ( G ) de G es el álgebra de von * Neumann envolvente de C * ( G ).

Para un grupo G discreto , podemos considerar el espacio de Hilbert ℓ ² ( G ) para el que G es una base ortonormal . Dado que G opera en ℓ ² ( G ) permutando los vectores de base, podemos identificar el anillo complejo del grupo C [ G ] con una subalgebra del álgebra de operadores acotados en ℓ ² ( G ). El cierre débil de esta subalgebra, NG , es un álgebra de von Neumann .

El centro de NG se puede describir en términos de aquellos elementos de G cuya clase de conjugación es finita. En particular, si el elemento de identidad de G es el único elemento de grupo con esa propiedad (es decir, Gtiene la propiedad de clase de conjugación infinita ), el centro de NG consiste solo en múltiplos complejos de la identidad.

NG es isomorfo al factor hiperfinito tipo II ₁ si y solo si G es contable , susceptible y tiene la propiedad de clase de conjugación infinita.

Álgebras del grupo de estereotipos [ editar ]

En la teoría de los estereotipos hay una serie de álgebras de grupos naturales que incluyen los siguientes cuatro ejemplos principales.

• En cada grupo localmente compacto $${\ displaystyle G} uno puede considerar el algebra $${\ displaystyle {\ mathcal {C}} (G)} de todas las funciones continuas $${\ displaystyle f: G \ to {\ mathbb {C}}} Con la topología de convergencia uniforme en conjuntos compactos. $${\ displaystyle T \ subseteq G}. El estereotipo del espacio dual. $${\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {\ star} (G)}, que consiste en medidas de radón con soporte compacto en un grupo localmente compacto $${\ displaystyle G}, es un estereotipo de álgebra con respecto a la operación de convolución : ^[1] $${\ displaystyle \ alpha * \ beta (f) = \ int _ {G} \ left (\ int _ {G} f (s \ cdot t) \, \ alpha (ds) \ right) \ beta (dt), \ quad \ alpha, \ beta \ en {\ mathcal {C}} ^ {\ star} (G), \ f \ en {\ mathcal {C}} (G).}

El algebra $${\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {\ star} (G)}Se llama el álgebra de medidas del estereotipo del grupo localmente compacto.$${\ displaystyle G}. ^[2]

• En cada grupo de mentira real $${\ displaystyle G} uno puede considerar el algebra $${\ displaystyle {\ mathcal {E}} (G)} de todas las funciones suaves $${\ displaystyle f: G \ to {\ mathbb {C}}} Con la topología de convergencia uniforme con todos los derivados en conjuntos compactos. $${\ displaystyle T \ subseteq G}. El estereotipo del espacio dual. $${\ displaystyle {\ mathcal {E}} ^ {\ star} (G)}, que consiste en distribuciones con soporte compacto sobre$${\ displaystyle G}, es un estereotipo de álgebra con respecto a la operación de convolución de distribuciones. El algebra$${\ displaystyle {\ mathcal {E}} ^ {\ star} (G)}se llama el álgebra de distribuciones de estereotipos en el grupo de Lie real$${\ displaystyle G}.

• En cada grupo de Stein ^[3] $${\ displaystyle G} uno puede considerar el algebra $${\ displaystyle {\ mathcal {O}} (G)} de todas las funciones holomorfas $${\ displaystyle f: G \ to {\ mathbb {C}}} Con la topología de convergencia uniforme en conjuntos compactos. $${\ displaystyle T \ subseteq G}. El estereotipo del espacio dual. $${\ displaystyle {\ mathcal {O}} ^ {\ star} (G)}, que consiste en funciones holomorfas sobre $${\ displaystyle G}, es un estereotipo de álgebra con respecto a la operación de convolución de funcionales. El algebra$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} ^ {\ star} (G)}se llama el estereotipo de álgebra de grupo de funcionales analíticos en el grupo de Stein$${\ displaystyle G}.

• En cada grupo algebraico afín. $${\ displaystyle G} uno puede considerar el algebra $${\ displaystyle {\ mathcal {P}} (G)} de todos los polinomios (o funciones regulares) $${\ displaystyle f: G \ to {\ mathbb {C}}}Con la topología localmente convexa más fuerte. El estereotipo del espacio dual. $${\ displaystyle {\ mathcal {P}} ^ {\ star} (G)}, que consiste en corrientes sobre $${\ displaystyle G}, es un estereotipo de álgebra con respecto a la operación de convolución de corrientes. El algebra$${\ displaystyle {\ mathcal {P}} ^ {\ star} (G)}Se llama el estereotipo de álgebra de grupo de corrientes en el grupo algebraico afín.$${\ displaystyle G}.

Un mapa $${\ displaystyle \ pi: G \ a A} de un grupo $${\ displaystyle G} en un álgebra unital asociativa $${\ displaystyle A}se llama una representación de$${\ displaystyle G} en $${\ displaystyle A}, si se trata de un grupo de homomorfismo en el grupo de elementos invertibles de $${\ displaystyle A}, es decir, si satisface las siguientes identidades:

$${\ displaystyle \ pi (1_ {G}) = 1_ {A}, \ qquad \ pi (x \ cdot y) = \ pi (x) \ cdot \ pi (y), \ qquad x, y \ en G. }

La representación $${\ displaystyle \ delta: G \ a {\ mathcal {C}} ^ {\ star} (G)}, $${\ displaystyle \ delta (x) (u) = u (x)}, $${\ displaystyle x \ en G}, $${\ displaystyle u \ in {\ mathcal {C}} ^ {\ star} (G)}Se llama la representación como funciones delta .

Las representaciones $${\ displaystyle \ delta: G \ a {\ mathcal {E}} ^ {\ star} (G)}, $${\ displaystyle \ delta: G \ to {\ mathcal {O}} ^ {\ star} (G)}, $${\ displaystyle \ delta: G \ a {\ mathcal {P}} ^ {\ star} (G)}, se definen de manera similar.

Los siguientes dos resultados distinguen los álgebras grupales de estereotipos entre los otros modelos de álgebras grupales en análisis.

Teorema ( propiedad universal ) . ^[4] Para cualquier estereotipo de álgebra.$${\ displaystyle A} la formula

$${\ displaystyle \ pi = \ varphi \ circ \ delta}

establece una correspondencia uno a uno entre

Propiedad principal del grupo de álgebras.

• las representaciones continuas $${\ displaystyle \ pi: G \ a A} de un grupo localmente compacto $${\ displaystyle G} en el estereotipo algebra $${\ displaystyle A} y los morfismos de los álgebras estereotipos. $${\ displaystyle \ varphi: {\ mathcal {C}} ^ {\ star} (G) \ a A},

• las suaves ^[5] representaciones$${\ displaystyle \ pi: G \ a A} de un verdadero grupo de Lie $${\ displaystyle G} en el estereotipo algebra $${\ displaystyle A} y los morfismos de los álgebras estereotipos. $${\ displaystyle \ varphi: {\ mathcal {E}} ^ {\ star} (G) \ a A},

• los holomórficas ^[6] representaciones$${\ displaystyle \ pi: G \ a A} de un grupo de Stein $${\ displaystyle G} en el estereotipo algebra $${\ displaystyle A} y los morfismos de los álgebras estereotipos. $${\ displaystyle \ varphi: {\ mathcal {O}} ^ {\ star} (G) \ a A},

• el polinomio (regular) ^[7] representaciones$${\ displaystyle \ pi: G \ a A} de un grupo algebraico afín $${\ displaystyle G} en el estereotipo algebra $${\ displaystyle A} y los morfismos de los álgebras estereotipos. $${\ displaystyle \ varphi: {\ mathcal {P}} ^ {\ star} (G) \ a A}.

Teorema . ^[8] El grupo de álgebras.$${\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {\ star} (G)}, $${\ displaystyle {\ mathcal {E}} ^ {\ star} (G)}, $${\ displaystyle {\ mathcal {O}} ^ {\ star} (G)}, $${\ displaystyle {\ mathcal {P}} ^ {\ star} (G)}son álgebras de Hopf en la categoría monoidal ( Ste ,$${\ displaystyle \ circledast},$${\ displaystyle {\ mathbb {C}}}) de estereotipos de espacios.

En el álgebra conmutativa y la geometría algebraica , la localización es una forma formal de introducir los "denominadores" en un anillo o módulo dado. Es decir, introduce un nuevo anillo / módulo a partir de uno existente para que se componga de fracciones.

$${\ displaystyle {\ frac {m} {s}},}

de tal manera que el denominador s pertenece a un subconjunto dado S de R . Si S es el conjunto de elementos no cero de un dominio integral , entonces la localización es el campo de fracciones : este caso generaliza la construcción del anillo Q de los números racionales del anillo Z de los enteros racionales.

La técnica se ha vuelto fundamental, particularmente en la geometría algebraica , ya que proporciona un vínculo natural con la teoría de la gavilla . De hecho, el término localización se origina en la geometría algebraica : si Res un anillo de funciones definidas en algún objeto geométrico ( variedad algebraica ) V , y uno quiere estudiar esta variedad "localmente" cerca de un punto p , entonces uno considera el conjunto S de todas las funciones que no cero están en p y localiza R con respecto a S . El anillo resultante R *Solo contiene información sobre el comportamiento de V cerca de p . Cf. El ejemplo dado en el anillo local .

Un proceso relacionado importante es la finalización : a menudo se localiza un anillo / módulo y luego se completa.

Construcción y propiedades de los anillos conmutativos [ editar ]

El conjunto S se supone que es un submonoide de la multiplicativo monoid de R , es decir, 1 está en S y para s y t en S también tenemos st en S . Un subconjunto de R con esta propiedad se llama conjunto multiplicativamente cerrado , conjunto multiplicativo o sistema multiplicativo . Este requisito en S es natural y es necesario tenerlo ya que sus elementos se convertirán en unidades de la localización, y las unidades deben cerrarse bajo la multiplicación.

Es una práctica estándar suponer que S está multiplicativamente cerrada. Si S no está cerrado de forma multiplicativa, basta con reemplazarlo por su cierre multiplicativo , que consiste en el conjunto de los productos de elementos de S (incluido el producto vacío 1). Esto no cambia el resultado de la localización. El hecho de que hablamos de "una localización con respecto a los poderes de un elemento" en lugar de "una localización con respecto a un elemento" es un ejemplo de esto. Por lo tanto, supondremos que S se cerrará multiplicativamente en lo que sigue.

Construcción [ editar ]

Para dominios integrales [ editar ]

En el caso de que R sea ​​un dominio integral, hay una fácil construcción de la localización. Dado que el único anillo en el que 0 es una unidad es el anillo trivial {0}, la localización R * es {0} si 0 es en S . De lo contrario, se puede usar el campo de fracciones K de R : tomamos R * como el subconjunto de K que consiste en los elementos de la forma r / s con r en R y s en de S ; como hemos supuesto S multiplicativamente cerrado, R* es un subring. La incrustación estándar de R en R * es inyectiva en este caso, aunque puede ser no inyectiva en un entorno más general. Por ejemplo, las fracciones diádicas son la localización del anillo de enteros con respecto a las potencias de dos. En este caso, R * son las fracciones diádicas, R son los enteros, los denominadores son potencias de 2 y el mapa natural de R a R * es inyectivo. El resultado sería exactamente el mismo si hubiéramos tomado  S  = {2}.

Para anillos conmutativos generales [ editar ]

Para los anillos conmutativos generales , no tenemos un campo de fracciones. Sin embargo, se puede construir una localización que consiste en "fracciones" con denominadores que vienen de S ; en contraste con el caso de dominio integral, uno puede de manera segura 'cancelar' de numerador y denominador únicos elementos de S .

Esta construcción procede de la siguiente manera: en R × S, defina una relación de equivalencia ~ estableciendo ( r ₁ , s ₁ ) ~ ( r ₂ , s ₂ ) si existe t en S tal que

t ( r ₁ s ₂ - r ₂ s ₁ ) = 0.

(La presencia de t es crucial para la transitividad de ~)

Pensamos en la clase de equivalencia de ( r , s ) como la "fracción" r / sy , usando esta intuición, el conjunto de clases de equivalencia R * se puede convertir en un anillo con operaciones que parecen idénticas a las del álgebra elemental: a / s + b / t = ( en + bs ) / st y ( a / s ) ( b / t ) = ab / st . El mapa j  : R →R * que mapea r a la clase de equivalencia de ( r , 1) es entonces un homomorfismo de anillo . En general, esto no es inyectivo; si a yb son dos elementos de R tales que s existeen S con s ( a - b ) = 0 , entonces sus imágenes debajo de j son iguales.

Propiedad universal [ editar ]

La propiedad universal mencionada anteriormente es la siguiente: el homomorfismo de anillo j  : R → R * mapea cada elemento de S a una unidad en R * , y si f  : R → T es algún otro homomorfismo de anillo que mapea cada elemento de S a una unidad en T , entonces existe un homomorfismo de anillo único g  : R * → T tal que f = g ∘ j .

Esto también puede ser expresado en el lenguaje de la teoría de categorías . Si R es un anillo y S es un subconjunto, considere todas las R -algebras A , de modo que, bajo el homomorfismo canónico R → A , cada elemento de S se asigna a una unidad . Estos álgebras son los objetos de una categoría , con homomorfismos de álgebra R como morfismos. Entonces, la localización de R en S es el objeto inicial de esta categoría.

Ejemplos [ editar ]

• Deje que R sea un anillo conmutativo y f un elemento no nilpotent de R . Podemos considerar el sistema multiplicativo { f ⁿ  : n = 0,1, ...}. Esta localización se obtiene precisamente al unir la raíz del polinomio$${\ displaystyle ft-1 = 0} en $${\ displaystyle R [t]} y por lo tanto $${\ displaystyle S ^ {- 1} R = R [t] / (ft-1)}. Por lo general, también se denota como$${\ displaystyle R [f ^ {- 1}]}.
• Dado un anillo conmutativo R , podemos considerar el conjunto multiplicativo S de divisores distintos de cero (es decir, los elementos a de R, de modo que la multiplicación por a es una inyección de R en sí mismo). El anillo S ⁻¹ R se llama cociente total anillo de r . S es el conjunto multiplicativo más grande, de modo que el mapeo canónico de R a S ⁻¹ R es inyectivo. Cuando R es un dominio de integridad, este es el campo fracción de R .
• El anillo Z / n Z donde n es compuesto no es un dominio integral. Cuando n es una potencia principal , es un anillo local finito , y sus elementos son unidades o nilpotentes . Esto implica que solo se puede localizar en un anillo cero. Pero cuando n puede factorizarse como ab con a y b coprime y mayor que 1, entonces Z / n Z es según el teorema del resto chino isomorfo a Z / a Z× Z / b Z . Si tomamos S a consiste sólo de (1,0) y 1 = (1,1), entonces la localización correspondiente es Z / un Z .
• Sea R = Z , y p un número primo. Si S = Z  -  p Z , entonces R * es la localización de los enteros en p . Consulte la "Teoría de los números algebraicos" de Lang, especialmente las páginas 3–4 y la parte inferior de la página 7.
• Como una generalización del ejemplo anterior, vamos a R sea un anillo conmutativo y dejar que p sea un ideal primo de R . Entonces R  -  p es un sistema multiplicativo y la localización correspondiente se denota R _p . Es un anillo local con un ideal máximo único pR _p .
• Para el anillo conmutativo. $${\ displaystyle \ mathbb {C} [x, y]}Su localización en el ideal máximo. $${\ displaystyle (x, y)} es

$${\ displaystyle \ mathbb {C} [x, y] _ {(x, y)} = \ {f / g: f, g \ in \ mathbb {C} [x, y] {\ text {y}} g (0,0) \ neq 0 \}.}

Propiedades [ editar ]

Algunas propiedades de la localización R * = S  ⁻¹ R :

• S ⁻¹ R = {0} si y solo si S contiene 0.
• El homomorfismo de anillo R → S  ⁻¹ R es inyectivo si y solo si S no contiene ningún divisor de cero .
• Hay una biyección entre el conjunto de ideales primos de S ^-1 R y el conjunto de ideales primos de R que no se cruzan S . Este biyección es inducida por el dado homomorfismo R → S  ^-1 R .
• En particular: después de la localización en un ideal primo P , uno obtiene un anillo local , o en otras palabras, un anillo con un ideal máximo, a saber, el ideal generado por la extensión de P.
• Deje que R sea un dominio de integridad con el campo de las fracciones K . Entonces su localización.$${\ displaystyle R _ {\ mathfrak {p}}} en un ideal ideal $${\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}puede ser visto como un subanillo de K . Además,

$${\ displaystyle R = \ bigcap _ {\ mathfrak {p}} R _ {\ mathfrak {p}} = \ bigcap _ {\ mathfrak {m}} R _ {\ mathfrak {m}}}

donde la primera intersección es sobre todos los ideales primarios y la segunda sobre los ideales máximos. ^[1]

• La localización conmuta con formaciones de sumas, productos, intersecciones y radicales finitos; ^[2] por ejemplo, si$${\ displaystyle {\ sqrt {I}}}denota el radical de un ideal I en R , entonces

$${\ displaystyle {\ sqrt {I}} \ cdot S ^ {- 1} R = {\ sqrt {I \ cdot S ^ {- 1} R}}.

En particular, R se reduce si y solo si su anillo total de fracciones se reduce. ^[3]

• La localización se puede hacer de forma elemental:

$${\ displaystyle \ displaystyle S ^ {- 1} R = \ varinjlim R [f ^ {- 1}]} donde el límite se extiende sobre todo $${\ displaystyle f \ en S.}

La intuición y aplicaciones [ editar ]

El término localización se origina en la geometría algebraica : si R es un anillo de funciones definidas en algún objeto geométrico ( variedad algebraica ) V , y uno quiere estudiar esta variedad "localmente" cerca de un punto p , entonces se considera el conjunto S de todas las funciones. que no son cero en p y localiza R con respecto a S . El anillo resultante R * solo contiene información sobre el comportamiento de V cerca de p . Para más detalles, ver Anillo de gérmenes .

Dos clases de localizaciones ocurren comúnmente en álgebra conmutativa y geometría algebraica y se usan para construir los anillos de funciones en subconjuntos abiertos en la topología de Zariski del espectro de un anillo , Spec ( R ).

• El conjunto S consta de todas las potencias de un elemento dado r . La localización corresponde a la restricción al subconjunto abierto de Zariski U _r ⊂ Spec ( R ) donde la función r es distinta de cero (los conjuntos de esta forma se denominan conjuntos abiertos de Zariski principales ). Por ejemplo, si R = K [ X ] es el anillo polinomial y r = X, entonces la localización produce el anillo de los polinomios de Laurent K [ X , X- ¹]. En este caso, la localización corresponde a la incrustación U ⊂ A ¹ , donde A ¹ es la línea afín y U es su subconjunto abierto de Zariski que es el complemento de 0.
• El conjunto S es el complemento de un determinado ideal primo P en R . La primalidad de P implica que S es un conjunto multiplicativamente cerrado. En este caso, también se habla de la "localización en P ". La localización corresponde a la restricción a pequeños barrios abiertos arbitrarios del irreducible Zariski subconjunto cerrado V ( P ) definido por el ideal primo P en Spec ( R ).

En teoría de números y topología algebraica , uno se refiere al comportamiento de un anillo en un número n o lejos de n . "Lejos de n " significa "en el anillo localizado por el conjunto de las potencias de n " (que es una Z [1 / n] -algebra). Si n es un número primo, "en n " significa "en el anillo localizado por el conjunto de los enteros que no son múltiplos de n ".

Localización de un módulo [ editar ]

Deje que R sea un anillo conmutativo y S ser un subconjunto multiplicativa cerrado de R , es decir, 1 ∈ S y para cualquier s y t ∈ S , el producto st también se encuentra en S . Entonces, la localización de M con respecto a S, denotada como S ⁻¹ M , se define como el siguiente módulo: como conjunto, consta de clases de equivalenciade pares ( m , s ), donde m ∈ My s ∈ S . Dos de estos pares ( m , s ) y ( n , t ) se consideran equivalentes si hay un tercer elemento u de S tal que

u ( sn - tm ) = 0

Es común denotar estas clases de equivalencia.

$${\ displaystyle {\ frac {m} {s}}}.

Para hacer esto establecer un módulo R , definir

$${\ displaystyle {\ frac {m} {s}} + {\ frac {n} {t}}: = {\ frac {tm + sn} {st}}}

y

$${\ displaystyle a \ cdot {\ frac {m} {s}}: = {\ frac {am} {s}}}

( a ∈ R ). Es sencillo comprobar que la definición está bien definida, es decir, produce el mismo resultado para diferentes elecciones de representantes de fracciones. Una caracterización interesante de la relación de equivalencia es que es la relación más pequeña (considerado como un conjunto) de tal manera que las leyes de cancelación son válidas para elementos en S . Es decir, es la relación más pequeña de tal manera que sm / st = m / t para todos s , t en S y m en M .

Un caso es particularmente importante: si S es igual al complemento de una prime ideales p ⊂ R (que se multiplicativa cerrado por definición de ideales primos), entonces la localización se denota M _p en lugar de ( R \ p) ^-1 M . El soporte del módulo M es el conjunto de ideales primos p tales que M _p ≠ 0. Visualización de M como una función del espectro de R a R- módulos, mapeo

$${\ displaystyle p \ mapsto M_ {p}}

Esto corresponde al soporte de una función. La localización de un módulo en números primos también refleja las "propiedades locales" del módulo. En particular, hay muchos casos en los que la situación más general se puede reducir a una declaración sobre módulos localizados. La reducción se debe a que un módulo R M es trivial si y solo si todas sus localizaciones en primos o ideales máximos son triviales.

Observación :

• Hay un módulo de homomorfismo.

φ: M → S ⁻¹ M

cartografía

φ ( m ) = m / 1.

En este caso, no es necesario que sea inyectable , en general, porque puede haber una torsión significativa . La u adicional que aparece en la definición de la relación de equivalencia anterior no se puede eliminar (de lo contrario, la relación no sería transitiva), a menos que el módulo no esté libre de torsión.

• Por las mismas definiciones, la localización del módulo está estrechamente vinculada a la del anillo a través del producto tensorial.

S ^-1 M = M ⊗ _R S ^-1 R .

Esta forma de pensar acerca de la localización a menudo se denomina extensión de los escalares . La estructura correspondiente del módulo S ⁻¹ R está dada por$${\ displaystyle {\ frac {a} {s}} \ cdot {\ frac {m} {t}}: = {\ frac {am} {st}}}.

Como producto tensorial, la localización satisface la propiedad universal usual .

Propiedades [ editar ]

De la definición, uno puede ver que la localización de los módulos es un funtor exacto , o en otras palabras (la lectura de este en el producto tensorial) que S ^-1 R es un módulo plano sobre R . Este hecho es fundamental para el uso de la planeidad en la geometría algebraica, y dice en particular que la inclusión del conjunto abierto Spec ( S ⁻¹ R ) en Spec ( R ) (ver espectro de un anillo ) es un morfismo plano .

El funtor de localización (normalmente) conserva los productos de Hom y tensor en el siguiente sentido: el mapa natural

$${\ displaystyle S ^ {- 1} (M \ otimes _ {R} N) \ a S ^ {- 1} M \ otimes _ {S ^ {- 1} R} S ^ {- 1} N}

es un isomorfismo y si $${\ displaystyle M} Se presenta finamente, el mapa natural.

$${\ displaystyle S ^ {- 1} \ operatorname {Hom} _ {R} (M, N) \ to \ operatorname {Hom} _ {S ^ {- 1} R} (S ^ {- 1} M, S ^ {- 1} N)}

Es un isomorfismo.

Si un módulo M es un finito generado sobre R ,

• $${\ displaystyle S ^ {- 1} (\ operatorname {Ann} _ {R} (M)) = \ operatorname {Ann} _ {S ^ {- 1} R} (S ^ {- 1} M)}, dónde $${\ displaystyle \ operatorname {Ann}}denota aniquilador . ^[4]
• $${\ displaystyle S ^ {- 1} M = 0} si y solo si $${\ displaystyle tM = 0} para algunos $${\ displaystyle t \ en S} si y solo si $${\ displaystyle S}Se cruza el aniquilador de m . ^[5]

Propiedad local [ editar ]

Sea M un módulo R Podríamos pensar en dos tipos de lo que significa alguna propiedad P para M en un ideal principal$${\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}. Uno significa que P tiene para$${\ displaystyle M _ {\ mathfrak {p}}}; el otro medio que P tiene para un barrio de$${\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}. La primera interpretación es más común. ^[6] Pero para muchas propiedades, la primera y la segunda interpretación coinciden. Explícitamente, el segundo significa que las siguientes condiciones son equivalentes.

• (i) P se mantiene para M .
• (ii) P tiene para$${\ displaystyle M _ {\ mathfrak {p}}} para todos los ideales principales $${\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}de R .
• (iii) P mantiene para$${\ displaystyle M _ {\ mathfrak {m}}} para todo ideal maximal $${\ displaystyle {\ mathfrak {m}}}de R .

Entonces las siguientes son propiedades locales en el segundo sentido.

• M es cero.
• M es libre de torsión (cuando R es un dominio)
• M es plana .
• M es invertible (cuando R es un dominio y M es un submódulo del campo de fracciones de R )
• $${\ displaystyle f: M \ to N}es inyectivo (resp. suryectivo) cuando N es otro R- módulo.

Por otro lado, algunas propiedades no son propiedades locales. Por ejemplo, "noetherian" no es (en general) una propiedad local: es decir, hay un anillo no-noetherian cuya localización en cada ideal máximo es noetherian: este ejemplo se debe a Nagata. ^{[ cita requerida ]}

(Cuasi-) gavillas coherentes [ editar ]

En términos de localización de módulos, se pueden definir poleas casi coherentes y poleas coherentes en espacios localmente anillados . En la geometría algebraica, el cuasi-coherente O _X - módulos para esquemas Xson aquellos que se modela de forma local en gavillas en Spec ( R ) de localizaciones de cualquier R -módulo M . A coherente O _X - módulo es una gavilla tal, modelado de forma local en un módulo finitamente presentadosobre R .

Caso no conmutativo [ editar ]

Localización de anillos no conmutativos es más difícil. Si bien la localización existe para cada conjunto S de unidades prospectivas, puede tomar una forma diferente a la descrita anteriormente. Una condición que garantiza que la localización se comporte bien es la condición de mineral .

Un caso para los anillos no conmutativos donde la localización tiene un claro interés es para los anillos de operadores diferenciales. Cuenta con la interpretación, por ejemplo, junto a una de las formales inversa D ^-1 para un operador de diferenciación D . Esto se hace en muchos contextos en métodos para ecuaciones diferenciales . Ahora hay una gran teoría matemática al respecto, llamada microlocalización , que se conecta con muchas otras ramas. La micro- etiqueta tiene que ver con las conexiones con la teoría de Fourier , en particular.